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在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對(duì)數(shù)（logarithm）是指數(shù)函的反函數(shù)。如果的次方等于，就意味著是以為底的對(duì)數(shù)，被記為，其中被稱為底數(shù)，被稱為真數(shù)。例如：，所以3就是以10為底1000的對(duì)數(shù)，記為。

在一些底數(shù)特殊的對(duì)數(shù)中，底數(shù)可以省略不寫，比如以10為底的對(duì)數(shù)（常用對(duì)數(shù)），常用于科學(xué)和工程領(lǐng)域；自然對(duì)數(shù)（約等于2.718），在數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域應(yīng)用很廣泛；以2為底的二進(jìn)制對(duì)數(shù)，常用于二進(jìn)制科學(xué)。

對(duì)數(shù)由數(shù)學(xué)家約翰·納皮爾（John Napier）在1614年引入，作為簡(jiǎn)化計(jì)算的方法，并迅速被航海家、科學(xué)家、工程師、測(cè)量員和其他人采用，以更輕松地執(zhí)行高精度計(jì)算。在進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算時(shí)，數(shù)字可能變得非常大或非常小，這會(huì)導(dǎo)致精度損失。使用對(duì)數(shù)可以將這些數(shù)字縮小到一個(gè)更容易處理的范圍，從而減少精度損失。使用對(duì)數(shù)表后，繁瑣的多位數(shù)乘法步驟就可以用查表，以及更簡(jiǎn)單的加法代替。可以遵循公式：乘積的對(duì)數(shù)是因子的對(duì)數(shù)之和，即

（、和均為正且）

當(dāng)數(shù)據(jù)的值很大時(shí)，對(duì)數(shù)刻度（log scale）可以利用對(duì)數(shù)將數(shù)據(jù)降低到一個(gè)容易處理的范圍。比如，分貝（dB）是用功率比轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的單位，主要用于表達(dá)信號(hào)功率和振幅（常見的如聲壓）。在化學(xué)中，溶液的酸堿性與pH值是水溶液酸度的對(duì)數(shù)度量。對(duì)數(shù)在科學(xué)公式、算法復(fù)雜性和稱為分形的幾何對(duì)象的測(cè)量中很常見。對(duì)數(shù)可以用于描述音頻頻率之間的比例關(guān)系，也可以應(yīng)用于計(jì)算孿生素?cái)?shù)猜想和階乘數(shù)等數(shù)學(xué)問題。在心理物理學(xué)領(lǐng)域，對(duì)數(shù)可以用來建立模型。此外，在法務(wù)和會(huì)計(jì)領(lǐng)域，對(duì)數(shù)也有一定的應(yīng)用。總之，對(duì)數(shù)是一種非常實(shí)用的數(shù)學(xué)工具，在許多不同的領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。

作為指數(shù)的反函數(shù)，對(duì)數(shù)的概念也能擴(kuò)展到其他的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在廣義的情形中中，對(duì)數(shù)往往是一個(gè)多值函數(shù)。例如：復(fù)對(duì)數(shù)是復(fù)指數(shù)函數(shù)的多值反函數(shù)。離散對(duì)數(shù)是有限群中指數(shù)函數(shù)的多值反函數(shù)，在公鑰密碼學(xué)中有所應(yīng)用。

特殊點(diǎn)用點(diǎn)線表示，所有曲線相交于。

定義及基本性質(zhì)

給定一個(gè)正實(shí)數(shù)，其中，將個(gè)底數(shù)相乘得到正實(shí)數(shù)，此時(shí)指數(shù)為，數(shù)學(xué)表述為。換句話說，以為底的對(duì)數(shù)是唯一的實(shí)數(shù)，記作，讀為“以為底的對(duì)數(shù)”或最常見的“的以為底的對(duì)數(shù)”。

一個(gè)等效且更簡(jiǎn)潔的定義是函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)。

進(jìn)位加法、乘法和求冪是三種最基本的算數(shù)運(yùn)算。加法的逆運(yùn)算是減法，乘法的逆運(yùn)算是除法。而求冪的逆運(yùn)算就是對(duì)數(shù)。求冪是將（指數(shù)）個(gè)基數(shù)連乘得到的冪值，也就是：，比如，。求以為底數(shù)的對(duì)數(shù)是求冪的逆運(yùn)算，能從冪值求出指數(shù)，，（為正實(shí)數(shù)）。（如果不是正實(shí)數(shù)，則可以手動(dòng)定義求冪和對(duì)數(shù)，但可能因此變?yōu)槎嘀岛瘮?shù)，這使得定義更加復(fù)雜）

例如：

對(duì)數(shù)恒等式

對(duì)數(shù)運(yùn)算中幾個(gè)重要的公式，也被稱為對(duì)數(shù)定律，用來描述不同對(duì)數(shù)之間的關(guān)系。

乘積、商、冪和根

乘積的對(duì)數(shù)是被乘數(shù)的對(duì)數(shù)之和；商的對(duì)數(shù)是對(duì)數(shù)之差。一個(gè)數(shù)的次方的對(duì)數(shù)是該數(shù)本身的對(duì)數(shù)的倍；一個(gè)數(shù)的次方根的對(duì)數(shù)是該數(shù)的對(duì)數(shù)除以。下表列出了這些標(biāo)識(shí)和示例。通過對(duì)數(shù)的定義式或，在下表中進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，即可證明各恒等式的結(jié)論。

底數(shù)的變化

對(duì)數(shù)可以使用以下公式從和相對(duì)于任意底數(shù)的對(duì)數(shù)計(jì)算得出：。

典型的科學(xué)計(jì)算器可以計(jì)算以10和為底的對(duì)數(shù)。可以通過前面的公式，使于任何底數(shù)b的對(duì)數(shù)都變換為用這兩個(gè)特殊底數(shù)對(duì)數(shù)來?yè)Q算，也就是：。

給定一個(gè)數(shù)字及其對(duì)數(shù)到未知底數(shù)，底數(shù)就可以表示為，該關(guān)系可以通過對(duì)定義式求次冪給出。

特殊底數(shù)

有3個(gè)常見底數(shù)，分別是，(數(shù)學(xué)常數(shù)，約為2.71828）和。在數(shù)學(xué)分析中，以為底的對(duì)數(shù)很常見。而以10為底的對(duì)數(shù)常用于十進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)中的手動(dòng)計(jì)算：

。

因此，的小數(shù)位數(shù)與正整數(shù)的位數(shù)有關(guān)：位數(shù)是嚴(yán)格大于的最小整數(shù)。例如，約為3.15。下一個(gè)整數(shù)是4，也就是1430的位數(shù)。自然對(duì)數(shù)和二進(jìn)制對(duì)數(shù)在信息論中都有使用，分別對(duì)應(yīng)使用奈特(nats)或者比特(bits)作為信息的基本單位。以2為底的對(duì)數(shù)稱為二進(jìn)制對(duì)數(shù)，二進(jìn)制對(duì)數(shù)也用于計(jì)算機(jī)科學(xué)，其中二進(jìn)制系統(tǒng)無處不在；在樂理中，音高比為二（即相差八度）是普遍存在的，任何兩個(gè)音高之間的音分數(shù)是它們的比率乘以1200的二進(jìn)制對(duì)數(shù)（即每等律半音100音分）；在攝影中，“stop”通常是用來表示曝光值（Exposure Value，EV）的單位。曝光值是一個(gè)綜合考慮光圈、快門速度和感光度的量，通常用數(shù)字表示。兩個(gè)曝光值之間的差異，如果用“stop”來度量，相當(dāng)于曝光值之間的二進(jìn)制對(duì)數(shù)差異。

下表列出了這些底數(shù)的常用對(duì)數(shù)符號(hào)以及使用它們的字段。當(dāng)?shù)讛?shù)基本上可以從上下文中確定時(shí)，許多學(xué)科會(huì)省略底數(shù)，直接寫而不是。符號(hào)也會(huì)出現(xiàn)。“ISO符號(hào)”欄列出了國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織(ISO80000-2)建議的名稱。因?yàn)榉?hào)已用于所有三個(gè)底數(shù)（或當(dāng)?shù)讛?shù)不確定或無關(guān)緊要時(shí)），通常必須聯(lián)系上下文或文章的學(xué)科領(lǐng)域來推斷需要選擇何種底數(shù)。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，通常指，而在數(shù)學(xué)中通常指。在其他情況下，通常表示。

歷史

概念提出與發(fā)展

1614年，約翰·納皮爾(英文：John Napier)在一本名為 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio（對(duì)數(shù)奇妙法則的描述）的書中公開提出了對(duì)數(shù)方法。而在納皮爾的發(fā)明之前，已經(jīng)有類似范圍的其他技巧，例如積化和差法(prosthaphaeresis)與數(shù)列表，在1600年左右數(shù)學(xué)家約斯特.比爾吉(英文：Jost Bürgi)發(fā)展了大量這類技巧。第一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)數(shù)的啟發(fā)式方法就是將乘法轉(zhuǎn)化為加法，從而實(shí)現(xiàn)了快速計(jì)算。其中一些方法使用從三角恒等式派生的表格。這種方法稱為積化和差法。約翰·納皮爾在中古拉丁語(yǔ)中創(chuàng)造了對(duì)數(shù)的術(shù)語(yǔ)“l(fā)ogarithmus”，源自希臘語(yǔ)，字面意思是“比率數(shù)”，來自logos“比例、比率、詞”+arithmos“數(shù)”。

居住在布拉格的比利時(shí)耶穌會(huì)士格雷瓜爾·德·圣文森特(Grégoire de Saint-Vincent)試圖對(duì)矩形雙曲線求積分，從而發(fā)明了現(xiàn)在稱為自然對(duì)數(shù)的函數(shù)。對(duì)數(shù)提供了一種將等比數(shù)列的比值關(guān)系轉(zhuǎn)換為等差數(shù)列的加減關(guān)系的方式，由于其的這種特性，安東尼奧-德-薩拉薩（A. A. de Sarasa）將圣文森特的正交法與積化和差公式中的傳統(tǒng)計(jì)算方法聯(lián)系起來，從而產(chǎn)生了術(shù)語(yǔ)“雙曲對(duì)數(shù)”，也就是自然對(duì)數(shù)。不久，這個(gè)新功能受到了物理學(xué)家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huyg）和數(shù)學(xué)家詹姆斯·格雷戈里（James Gregory）的贊賞。數(shù)學(xué)家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（G.W. Leibniz）于1675年采用了對(duì)數(shù)的符號(hào)，第二年他將其與積分聯(lián)系起來。

現(xiàn)代對(duì)數(shù)的概念來自數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler），他在18世紀(jì)將對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，并引入了字母作為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)。在歐拉發(fā)展出他的復(fù)數(shù)自然對(duì)數(shù)的現(xiàn)代概念之前，數(shù)學(xué)家羅杰柯特斯（Roger Cates）在1714年發(fā)表了幾乎相同的結(jié)果

。

對(duì)數(shù)表和計(jì)算尺

在計(jì)算器和計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化了困難的計(jì)算，為科學(xué)的進(jìn)步做出了貢獻(xiàn)，尤其是測(cè)量和天文學(xué)。皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace）這樣評(píng)論對(duì)數(shù)：“......（一種）令人欽佩的計(jì)算技巧，這種技巧將數(shù)月的勞動(dòng)減少到幾天，使天文學(xué)家的生命翻倍，并使他免于長(zhǎng)時(shí)間計(jì)算所帶來的錯(cuò)誤和厭倦。”

對(duì)數(shù)表是使對(duì)數(shù)得到實(shí)際應(yīng)用的一個(gè)關(guān)鍵工具。英國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·布里格斯(Henry Briggs)于1617年編制了第一個(gè)此類表格，緊隨約翰·納皮爾的發(fā)明，但創(chuàng)新之處在于使用10作為底數(shù)。布里格斯的第一個(gè)表格包含1到1000范圍內(nèi)所有整數(shù)的常用對(duì)數(shù)，精度為14位。隨后，人們編寫了范圍越來越大的表格。這些表列出了任意數(shù)字的在一定的范圍內(nèi)，在一定的精度下的值。以10為底的對(duì)數(shù)普遍用于計(jì)算，因此得名常用對(duì)數(shù)，因?yàn)橄嗖?0的倍數(shù)的數(shù)字，在整數(shù)部分相差1，的常用對(duì)數(shù)可分為整數(shù)部分和小數(shù)部分，稱為首數(shù)和尾數(shù)。對(duì)數(shù)表只需要包括尾數(shù)，因?yàn)榭梢酝ㄟ^從小數(shù)點(diǎn)開始計(jì)算數(shù)字來輕松確定該特性。的特征是一與的特征的和,而它們的尾數(shù)相同。因此，使用三位對(duì)數(shù)表，3542的對(duì)數(shù)就能近似為：

通過插值可以獲得更高的精度：

的值可以通過同表反向查找來確定，因?yàn)閷?duì)數(shù)是單調(diào)函數(shù)。

兩個(gè)正數(shù)和的乘積和商通常計(jì)算為它們對(duì)數(shù)的和與差。乘積或商來自通過同一張表查找和或差的反對(duì)數(shù)：

和

。

對(duì)于需要任何可觀精度的手動(dòng)計(jì)算，執(zhí)行兩個(gè)對(duì)數(shù)的查找、計(jì)算它們的和或差以及查找反對(duì)數(shù)比通過早期方法（例如依賴于三角函數(shù)的積化和差公式）執(zhí)行乘法要快得多。

冪和根的計(jì)算可以簡(jiǎn)化為乘法或除法和查找

和

。

包含了常用三角函數(shù)的對(duì)數(shù)值表格使得三角函數(shù)的計(jì)算變得更加容易。換句話說，人們可以通過這些表格來快速地進(jìn)行三角函數(shù)的計(jì)算，節(jié)省了大量的時(shí)間和精力。

另一個(gè)重要的應(yīng)用是計(jì)算尺，一對(duì)刻度呈對(duì)數(shù)分布的用于進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算的尺子。在約翰·納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)后不久，英國(guó)數(shù)學(xué)家埃德蒙岡特（Edmund Gunter）就發(fā)明了岡特尺(Gunter's rule)——一種非滑動(dòng)的刻度尺。英國(guó)數(shù)學(xué)家威廉奧特萊德（William Oughtred）對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，創(chuàng)造了計(jì)算尺——一對(duì)可以相對(duì)移動(dòng)的對(duì)數(shù)刻度尺。對(duì)應(yīng)數(shù)字的刻度的位置與其對(duì)數(shù)值成正比。滑動(dòng)上刻度，也就相當(dāng)于機(jī)械地添加對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)，如下所示：

例如，將下標(biāo)尺上從1到2的距離與上標(biāo)尺上從1到3的距離相加得到乘積6，在下面的尺子上我們也可以發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的數(shù)值。直到20世紀(jì)70年代，計(jì)算尺都是工程師和科學(xué)家必不可少的計(jì)算工具，它以犧牲精度為代價(jià)，實(shí)現(xiàn)了比對(duì)數(shù)表方法更有效率的計(jì)算。

解析特性

對(duì)數(shù)的深入研究需要函數(shù)的概念。一個(gè)例子是從任何實(shí)數(shù)產(chǎn)生的次方的函數(shù)，其中底數(shù)是一個(gè)固定數(shù)。該函數(shù)寫為。對(duì)數(shù)函數(shù)的各類解析特性如下：

存在性

令為不等于1的正實(shí)數(shù)并令。

任何連續(xù)的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)在其域和值域之間都是雙射的，這是實(shí)分析中的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果。這個(gè)事實(shí)是根據(jù)介值定理得出的。現(xiàn)在，嚴(yán)格遞增（對(duì)于）或嚴(yán)格遞減（對(duì)于），是連續(xù)的，具有函數(shù)定義域,并且有范圍.因此，是來自到的雙射。換句話說，對(duì)于每個(gè)正實(shí)數(shù)，恰好有一個(gè)實(shí)數(shù)使得。

我們用來表示的反函數(shù)。，也就是，是唯一一個(gè)滿足關(guān)系的實(shí)數(shù)。這個(gè)函數(shù)稱為底數(shù)為的對(duì)數(shù)函數(shù)（或直接簡(jiǎn)稱為對(duì)數(shù)）。

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形

如上所述，對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此，它們的圖形是相互對(duì)應(yīng)的，只需交換和坐標(biāo)（或在對(duì)角線處反射），如下圖所示：函數(shù)圖形上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的圖形上的點(diǎn)，反之亦然。因此，如果大于1，則會(huì)在趨向正無窮時(shí)趨向正無窮（大于任何給定的數(shù)）。在這種情況下，是一個(gè)遞增的函數(shù)。當(dāng)大于0小于1時(shí)，會(huì)在趨向正無窮時(shí)趨向于負(fù)無窮。當(dāng)趨近于零時(shí)，如果，則趨向于負(fù)無窮（如果，則趨向于正無窮）。

導(dǎo)數(shù)和原函數(shù)

函數(shù)的解析性質(zhì)傳遞給它們的反函數(shù)。因此，由于是一個(gè)連續(xù)且可微分的函數(shù)，也是如此。粗略地說，如果連續(xù)函數(shù)的圖形沒有尖銳的“棱角”，則它是可微分的。此外，由于的導(dǎo)數(shù)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算為，鏈?zhǔn)椒▌t意味著的導(dǎo)數(shù)為：

也就是說，在點(diǎn)處與以b為底的對(duì)數(shù)圖形相切的切線的斜率等于。

的導(dǎo)數(shù)是，在時(shí)對(duì)數(shù)值為0。以作為底數(shù)，很多式子都能獲得簡(jiǎn)化；這也是常數(shù)重要的主要原因之一。

具有廣義泛函參數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

。

上式右側(cè)的商稱為f的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)。通過的導(dǎo)數(shù)計(jì)算的方法稱為對(duì)數(shù)微分。自然對(duì)數(shù)的原函數(shù)為：

可以使用底數(shù)變換公式從這個(gè)公式中推導(dǎo)出其他底數(shù)的對(duì)數(shù)反函數(shù)等相關(guān)公式，例如，對(duì)數(shù)的原函數(shù)等。

自然對(duì)數(shù)的積分表示

的自然對(duì)數(shù)可以定義為定積分：

這個(gè)定義的優(yōu)點(diǎn)是它不依賴于指數(shù)函數(shù)或任何三角函數(shù)；該定義是根據(jù)簡(jiǎn)單倒數(shù)的積分得出的：作為一個(gè)積分等于x軸和函數(shù)的圖形之間的面積，范圍從取到。可以通過微積分基本定理以及可以通過微積分基本定理以及的導(dǎo)數(shù)為的事實(shí)所得出的結(jié)果。此公式還可推導(dǎo)出乘積對(duì)數(shù)公式和冪對(duì)數(shù)公式。例如，乘積公式推導(dǎo)為：

等式(1)將積分分為兩部分，而等式(2)對(duì)應(yīng)變量的變化()。下面的圖示中，將整個(gè)區(qū)域分為黃色部分和藍(lán)色部分。將左側(cè)的藍(lán)色部分在垂直方向上擴(kuò)大倍，在水平方向上也縮小t倍，其面積大小并沒有改變。通過適當(dāng)?shù)钠揭疲瑢⑺{(lán)色部分恰好移動(dòng)到了函數(shù)的曲線上。因此，從到的的積分所對(duì)應(yīng)的左側(cè)藍(lán)色面積，與從1到的積分所對(duì)應(yīng)的面積相同。這樣的幾何論證證明了等式(2)的正確性。

冪公式可以通過類似的方式導(dǎo)出：

。

第二個(gè)等號(hào)處使用了變量的變換(代換積分)，。

自然數(shù)導(dǎo)數(shù)之和為

，

稱為調(diào)和級(jí)數(shù)，它與自然對(duì)數(shù)密切相關(guān)：當(dāng)趨于無窮大時(shí)，差值

，

收斂至(即任意趨近于)一個(gè)稱為歐拉-馬歇羅尼(Euler–Mascheroni)常數(shù)的數(shù)字。這種關(guān)系有助于分析如快速排序（quicksort）等算法的性能。

對(duì)數(shù)的超越性

不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)被稱為超越數(shù)，比如和就是超越數(shù)，而不是。幾乎所有的實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都是超越數(shù)。對(duì)數(shù)就是一個(gè)超越函數(shù)的例子。格爾豐德-施奈德(Gelfond–Schneider)定理認(rèn)為，對(duì)數(shù)函數(shù)通常會(huì)取超越數(shù)，即“比較難算”的值。

對(duì)數(shù)的計(jì)算

在某些情況下，對(duì)數(shù)的計(jì)算很容易，比如。通常，對(duì)數(shù)可以通過冪級(jí)數(shù)展開或求算術(shù)-幾何平均值來計(jì)算，或者從預(yù)先計(jì)算的對(duì)數(shù)表中檢索，該表提供固定的精度。牛頓法，一種用于近似解方程的迭代方法，也可以用于計(jì)算對(duì)數(shù)，因?yàn)樗?a href="/hebeideji/7298241876570095616.html">反函數(shù)——指數(shù)函數(shù)可以更加高效地計(jì)算。使用查找表，類似CORDIC的方法可以使用加法和位移操作來計(jì)算對(duì)數(shù)。此外，二進(jìn)制對(duì)數(shù)算法通過對(duì)x重復(fù)平方的方式，遞歸地計(jì)算，這個(gè)過程中利用了以下關(guān)系：

。

泰勒級(jí)數(shù)

對(duì)于任意滿足的實(shí)數(shù)，下列公式成立：

下面是一種簡(jiǎn)便的表述，表明可以通過以下表達(dá)式逐漸逼近更加精確的值：

例如，對(duì)于，第三個(gè)近似值是，比大約。只要求和項(xiàng)的數(shù)量足夠大，這個(gè)級(jí)數(shù)就能任意精確地逼近。在微積分基礎(chǔ)中，就是這個(gè)級(jí)數(shù)的極限。這是自然對(duì)數(shù)在處的泰勒級(jí)數(shù)。當(dāng)很小，時(shí)，的泰勒級(jí)數(shù)對(duì)的逼近特別有用，因?yàn)榇藭r(shí)：

例如，當(dāng)，一階近似的值為，這與實(shí)際結(jié)果0.0953僅有不到的偏差。

反雙曲正切函數(shù)

另一類級(jí)數(shù)是基于反雙曲函數(shù)：

，

為滿足的任意實(shí)數(shù)。上述關(guān)系也可以寫成求和的形式：

此級(jí)數(shù)可以通過上述泰勒級(jí)數(shù)得到。相比泰勒級(jí)數(shù)，它可以更快收斂，尤其是當(dāng)?shù)娜≈第吔?時(shí)。例如，當(dāng)，第二個(gè)級(jí)數(shù)展開方法的前三項(xiàng)給出的近似結(jié)果與的實(shí)際結(jié)果相比，誤差大概是。這種在趨近于1時(shí)快速收斂的特性可以用于如下這個(gè)方面：已知一個(gè)低精度的近似，設(shè)

，

則的對(duì)數(shù)為

最初的近似越精確，則的取值就會(huì)越接近1，因此可以有效計(jì)算其對(duì)數(shù)值。可以通過指數(shù)級(jí)數(shù)計(jì)算，而由于并不是特別大，這個(gè)級(jí)數(shù)收斂的很快。對(duì)更大的值的對(duì)數(shù)的計(jì)算可以被約化，因?yàn)榇嬖陉P(guān)系，于是有。

在計(jì)算整數(shù)的對(duì)數(shù)時(shí)，存在一個(gè)和上式緊密相關(guān)的方法。令上述級(jí)數(shù)中，則有

。

若已經(jīng)知道了大整數(shù)的對(duì)數(shù)值，則我們可以通過這個(gè)級(jí)數(shù)給出的一個(gè)快速收斂的級(jí)數(shù)，其收斂速率為。

算數(shù)-幾何平均值近似

算數(shù)-幾何平均值可以得到自然對(duì)數(shù)的高精度近似。佐佐木和卡納達(dá)(Kanada)在1982年的研究結(jié)果給出這類方法在小數(shù)位400到1000位時(shí)非常快，而Taylor級(jí)數(shù)方法則通常在需要更低精確度時(shí)更快。在文章中通過以下方法被近似到的精度：

這里的表示和的算術(shù)-幾何平均數(shù)。算術(shù)-幾何平均數(shù)的計(jì)算方法是，反復(fù)計(jì)算和的算術(shù)平均數(shù)(即)和幾何平均數(shù)，然后將這兩個(gè)數(shù)作為下一次迭代的和值進(jìn)行計(jì)算。通過這樣的迭代計(jì)算，和會(huì)很快收斂到一個(gè)共同的極限值，這個(gè)極限值就是的值。在計(jì)算中，常常需要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)某跏贾担沟?/p>

從而確保所需要的精度。選取較大的初始值會(huì)使得計(jì)算需要更多的迭代步驟（由于初始和相差較大，所以需要更多的迭代才能達(dá)到收斂），但會(huì)得到更高的計(jì)算精度。常數(shù)和可以通過使用快速收斂的級(jí)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

Feynman算法

物理學(xué)家理理查德·費(fèi)曼（英文：Richard Feynman）在曼哈頓計(jì)劃期間在洛斯阿拉莫斯國(guó)家實(shí)驗(yàn)室開發(fā)了一種比特處理算法，用于計(jì)算對(duì)數(shù)，類似于長(zhǎng)除法。該算法利用了每個(gè)介于1和2之間的實(shí)數(shù)可以表示為形如的不同因子的乘積的事實(shí)。該算法順序構(gòu)建乘積P，從和開始：如果，則將更改為。然后無論如何都要增加k。當(dāng)k足夠大以提供所需的精度時(shí)，計(jì)算終止。因?yàn)槭桥c那些包含因子的相對(duì)應(yīng)的形式為的項(xiàng)的總和，所以可以通過簡(jiǎn)單的加法計(jì)算，并使用所有的的表。任何底數(shù)都可以用于對(duì)數(shù)表。

應(yīng)用范圍

概率論與統(tǒng)計(jì)

對(duì)數(shù)也出現(xiàn)在概率論中：大數(shù)定律規(guī)定，對(duì)于一枚公平的硬幣，隨著拋硬幣次數(shù)增加到無窮大，觀察到的正面朝上的比例接近二分之一。這個(gè)比例實(shí)際的測(cè)量值相對(duì)于二分之一的波動(dòng)（或漲落），可以用重對(duì)數(shù)率來描述。

對(duì)數(shù)也出現(xiàn)在對(duì)數(shù)正態(tài)分布中。當(dāng)隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)服從正態(tài)分布時(shí)，稱該變量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。對(duì)數(shù)正態(tài)分布在湍流研究等許多領(lǐng)域都會(huì)出現(xiàn)，相關(guān)場(chǎng)景下一個(gè)變量是許多獨(dú)立的正隨機(jī)變量的乘積。

對(duì)數(shù)用于參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型的最大似然估計(jì)。對(duì)于這樣的模型，似然函數(shù)取決于至少一個(gè)必須被估計(jì)的參數(shù)。似然函數(shù)的最大值出現(xiàn)在與似然對(duì)數(shù)（“對(duì)數(shù)似然”）的最大值相同的參數(shù)值處，因?yàn)閷?duì)數(shù)是遞增函數(shù)。對(duì)數(shù)似然更容易最大化，尤其是對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量的乘法似然。

本福德定律描述了許多數(shù)據(jù)集中首位數(shù)字的出現(xiàn)頻率。根據(jù)本福德定律，無論測(cè)量單位如何，數(shù)據(jù)樣本中某項(xiàng)的第一個(gè)十進(jìn)制數(shù)字為d（從1到9）的概率等于。因此，大約30%的數(shù)據(jù)可以預(yù)期以1作為第一位數(shù)字，18%的數(shù)字以2開頭，以此類推。審計(jì)員可以檢查對(duì)本福德定律的偏差，以檢測(cè)財(cái)務(wù)造假。

對(duì)數(shù)變換是一種數(shù)據(jù)變換，用于使經(jīng)驗(yàn)分布更接近假設(shè)分布。

分形

分形是具有自相似的幾何對(duì)象，從某種意義上說，每個(gè)小部分粗略近似于整體結(jié)構(gòu)。謝爾賓斯基三角形可以被自身的三個(gè)副本覆蓋，每個(gè)副本的邊長(zhǎng)都是原始長(zhǎng)度的一半。這使得該結(jié)構(gòu)的豪斯多夫維數(shù)。另一種基于對(duì)數(shù)的維數(shù)概念是通過計(jì)算覆蓋所討論的分形所需的框數(shù)獲得的。鸚鵡螺科殼的每個(gè)腔室都是下一個(gè)腔室的近似復(fù)制品，按常數(shù)因子縮放。這會(huì)產(chǎn)生對(duì)數(shù)螺線。

數(shù)論

自然對(duì)數(shù)與數(shù)論中的一個(gè)重要問題——素?cái)?shù)計(jì)數(shù)（2，3，5，7，11，...）密切相關(guān)。對(duì)于任意整數(shù)，小于或等于素?cái)?shù)數(shù)量用表示。素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)論函數(shù)，其性質(zhì)一直是數(shù)學(xué)家研究的重要課題之一。素?cái)?shù)定理是關(guān)于素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)的一個(gè)基本定理，它斷言可以近似為，這是由于當(dāng)趨近于無窮大時(shí)，與這個(gè)分?jǐn)?shù)的比值趨近于1。由此可以推出，在區(qū)間中隨機(jī)選擇一個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)的概率與的十進(jìn)制位數(shù)成反比。更好的估計(jì)的方法是使用偏移對(duì)數(shù)積分函數(shù)，其定義如下：

黎曼假設(shè)是數(shù)學(xué)界最古老的公開數(shù)學(xué)猜想之一，它涉及比較素?cái)?shù)計(jì)數(shù)函數(shù)和偏移對(duì)數(shù)積分函數(shù)的大小關(guān)系。厄多斯-卡茨定理描述了不同質(zhì)因子的數(shù)量，也涉及到自然對(duì)數(shù)。

對(duì)于正整數(shù)，其階乘的對(duì)數(shù)可以表示為：。這個(gè)關(guān)系可以被用來得出斯特林（Stirling）公式，從而近似得到大情況下的數(shù)值。

用對(duì)數(shù)來描述尺度

科學(xué)量通常使用對(duì)數(shù)標(biāo)度。例如，分貝是與對(duì)數(shù)標(biāo)度量相關(guān)的測(cè)量單位。還有基于比值的常用對(duì)數(shù)——功率比：常用對(duì)數(shù)的10倍或電壓比：常用對(duì)數(shù)的20倍。用于量化傳輸電信號(hào)時(shí)電壓水平的損失，描述聲學(xué)中聲音的功率水平，以及光譜和光學(xué)領(lǐng)域中光的吸收率。描述相對(duì)于更有意義的信號(hào)時(shí)，不需要的噪聲量的信噪比也以分貝為單位進(jìn)行測(cè)量。同樣，峰值信噪比通常用于評(píng)估聲音質(zhì)量，使用對(duì)數(shù)的聲音，還可以用于使用對(duì)數(shù)的圖像壓縮方法。

地震的強(qiáng)度是通過取地震時(shí)釋放的能量的常用對(duì)數(shù)來衡量的。這用于矩震級(jí)或里氏震級(jí)。例如，5.0級(jí)地震釋放的能量是4.0級(jí)的32倍(），而6.0級(jí)地震釋放的能量是4.0級(jí)的1000倍()。視星等以對(duì)數(shù)方式測(cè)量恒星的亮度。在化學(xué)中十進(jìn)制對(duì)數(shù)的負(fù)數(shù)，小數(shù)余對(duì)數(shù),由字母p表示。例如，pH值水合氫活性的十進(jìn)制余對(duì)數(shù)氫離子形式吸水。水合氫離子在中性水中的活性為，因此pH值為7。醋的pH值通常約為3。差值為4相當(dāng)于濃度相差，即醋的水合氫離子活度約為。

半對(duì)數(shù)（對(duì)數(shù)線性）圖使用對(duì)數(shù)尺標(biāo)度概念進(jìn)行可視化：一個(gè)軸，通常是垂直軸，按對(duì)數(shù)比標(biāo)度。例如，右側(cè)的圖表將從從100萬到1萬億的急劇增長(zhǎng)壓縮到與從1到100萬的增長(zhǎng)相同的空間（在垂直軸上）。在此類圖中，形式為的指數(shù)函數(shù)顯示為斜率等于的對(duì)數(shù)的直線。雙對(duì)數(shù)圖以對(duì)數(shù)方式縮放兩個(gè)軸，這導(dǎo)致形式的函數(shù)被描述為斜率等于指數(shù)的直線。這適用于冪律的可視化和分析。

心理學(xué)

心理學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，幾乎沒有接受過數(shù)學(xué)教育的人傾向于以對(duì)數(shù)方式估計(jì)數(shù)量，也就是說，讓他們標(biāo)記10與100之間的距離，可能會(huì)和100和1000之間的距離一樣。在某些情況下，教育程度的提高將會(huì)改變這種情況，將其轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性估計(jì)（對(duì)應(yīng)剛才的例子，100和1000之間的距離會(huì)是10和100之間的距離的10倍遠(yuǎn)），僅僅在目標(biāo)數(shù)字很難進(jìn)行線性標(biāo)記時(shí)，才使用對(duì)數(shù)方法。

計(jì)算復(fù)雜度

算法分析是計(jì)算機(jī)科學(xué)的一個(gè)分支，研究算法（解決某特定問題的計(jì)算機(jī)程序）的性能。對(duì)數(shù)對(duì)于描述將問題分成更小的問題并加入子問題的解決方案的算法很有價(jià)值。

例如，要在排序列表中查找一個(gè)數(shù)字，二分搜索法會(huì)檢查中間條目，如果仍未找到該數(shù)字，則繼續(xù)查找中間條目之前或之后的那一半。該算法平均需要次比較，其中是列表的長(zhǎng)度。類似地，合并排序算法通過將列表分成兩半并在合并結(jié)果首先對(duì)未排序的列表進(jìn)行排序。合并排序算法通常需要大約與成正比的時(shí)間。此處沒有指定對(duì)數(shù)的底數(shù)，因?yàn)楫?dāng)使用另一個(gè)底數(shù)時(shí)，結(jié)果只會(huì)改變一個(gè)常數(shù)因子。在標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一成本模型下的算法分析中，常數(shù)因子通常被忽略。

如果函數(shù)與對(duì)數(shù)（精確或近似）成正比，則稱函數(shù)呈對(duì)數(shù)增長(zhǎng)。例如，任何自然數(shù)都可以用不超過位的二進(jìn)制形式表示。換句話說，存儲(chǔ)所需的內(nèi)存量隨呈對(duì)數(shù)增長(zhǎng)。

此外，由于對(duì)數(shù)函數(shù)相對(duì)于x的增長(zhǎng)非常緩慢，因此可以使用對(duì)數(shù)標(biāo)度來壓縮大規(guī)模科學(xué)數(shù)據(jù)。對(duì)數(shù)也出現(xiàn)在許多科學(xué)公式中，例如齊奧爾科夫斯基（Tsiolkovsky）火箭方程、芬斯克（Fenske）方程或能斯特（Nernst）方程。

熵與混沌

熵廣泛地衡量了某些系統(tǒng)的混亂程度。在統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)中，一些物理系統(tǒng)的被定義為

這個(gè)和是關(guān)于所討論系統(tǒng)的所有可能狀態(tài)的，例如容器中氣體粒子的位置。此外，是達(dá)到狀態(tài)的概率，是玻爾茲曼常數(shù)。同樣，信息論中的熵度量的是信息量。如果消息接收者可能期望個(gè)可能消息中的任何一個(gè)具有相同的可能性，那么任何一個(gè)這樣的消息所傳達(dá)的信息量被量化為比特。

李亞普諾夫指數(shù)（Lyapunov exponent）使用對(duì)數(shù)來衡量一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的混亂程度。例如，對(duì)于在橢圓臺(tái)球桌上運(yùn)動(dòng)的粒子，即使初始條件有微小的變化，也會(huì)導(dǎo)致粒子的路徑大不相同。這樣的系統(tǒng)在確定性方面是混沌的，因?yàn)槌跏紶顟B(tài)的小測(cè)量誤差可預(yù)見地導(dǎo)致了最終狀態(tài)大不相同。確定性混沌系統(tǒng)的至少一個(gè)李亞普諾夫指數(shù)是正的。

音樂

對(duì)數(shù)與音調(diào)和音程有關(guān)。在同等音律中，頻率比僅取決于兩個(gè)音調(diào)之間的音程，而不取決于單個(gè)音調(diào)的特定頻率或音高。例如，音符A的頻率為440赫茲，降B的頻率為466Hz。A和降B之間的音程是一個(gè)半音，降B和B（頻率493Hz）之間的音程也是半音。因此，頻率比一致：

因此，可以使用對(duì)數(shù)來描述音程：半音的音程是通過取頻率比的以為底的對(duì)數(shù)來劃分的，而頻率比為底的對(duì)數(shù)劃分的音程，則稱為音分，即百分之一半音。后者用于更精細(xì)的編碼，因?yàn)樗欠堑嚷煞忠羲枰摹?/p>

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