有限群（英文：finite group）是特殊的群，其定義為：如果群G的元的個數是一個有限整數，則G就稱為有限群；反之，稱G為無限群。有限群的元的個數稱為群G的階，記為|G|。
群的思想最早可見于古希臘數學家歐幾里得（Euclid）的著作《幾何原本》中，但并沒有真正出現群的概念。抽象群的發展可追溯到18世紀，法國數學家約瑟夫·拉格朗日（J.L.Lagrange）在討論代數方程根之間的置換時，置換群的概念已經形成。1830年前后，法國數學家伽羅瓦（E.Galois）在專業意義上第一次使用“群”這個術語，并用群論的方法來研究代數方程的解。從他開始，代數的研究中心由代數方程逐漸轉變為各種抽象的代數結構。1858年，德國數學家戴德金（R.Dedekind）在著作《代數講義》中致力于群的一般理論的研究，給出了有限群的一般定義及其相關性質。1887年，德國數學家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frobenius）證明了有限抽象群的西羅定理，并于1895年發表了關于抽象群概念的著作《有限群》。進入20世紀后，有限群的可解性問題得到了進一步解決。20世紀初，英國數學家伯恩賽德（W.Burnside）證明了伯恩賽德定理，并于1911年出版了群論著作《有限階群論》。1965年，楊科（Z.Janko）找到了除馬蒂厄群外的第一散在單群，并在1981年前后基本上解決了著名的有限單群分類問題，進一步發展了有限群理論。
有限群與子群、陪集等概念密切相關，它能分解為兩兩不相交陪集的并。有限群的主要類型包括有限阿貝爾群、置換群、循環群等。有限群理論具有很多相關定理，其中拉格朗日定理揭示了有限群的階與其子群的階之間的關系。此外，有限群在現實世界中具有廣泛的應用價值，如在密碼學中，基于喬治·阿貝爾有限群上的高效密鑰協商方案，能有效地抵抗各種攻擊方案，提高信息加密的安全性。
定義
群
設是一個非空集合，如果在上定義了一個代數運算，稱為乘法，記作（或稱為加法，記作），而且它適合以下條件，那么稱為一個群：
（1）對于中任意元素有
（結合律）；
（2）在中有一個元素，它對中任意元素有
；
（3）對于中任一元素都存在中一個元素使
。
有限群
如果群的元的個數是一個有限整數，則就稱為有限群；反之，稱為無限群。有限群的元的個數稱為群的階，記為。
簡史
早期研究
群的思想最早可見于古希臘數學家歐幾里得（Euclid）的著作《幾何原本》中，但并沒有真正出現群的概念。抽象群的發展可追溯到18世紀，法國數學家約瑟夫·拉格朗日（J.L.Lagrange）在討論代數方程根之間的置換時，已有置換群的概念。1830年前后，法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦（E.Galois）在專業意義上第一次使用“群”這個術語，并用群論的方法來研究代數方程的解。方程的群是伽羅瓦思想理論的核心概念，它被定義為保持根的有理函數不變的置換群，后來被稱為伽羅瓦群，揭示了方程的系數域與根的置換群對應的關鍵思想。
從埃瓦里斯特·伽羅瓦開始，代數的研究中心由代數方程逐漸轉變為各種抽象的代數結構。法國數學家奧古斯丁-路易·柯西（A.L.Cauchy）被認為是有限階理論的創始人，他于1844年證明了柯西定理。1854年，英國數學家凱萊（A.Cayley）在《哲學雜志》上發表的文章《依賴于符號方程θn=1的群理論》中，給出了群的第一個抽象定義。1858年，德國數學家戴德金（R.Dedekind）在著作《代數講義》中致力于群的一般理論的研究，他從有限個對象的置換出發，將置換群概念拓展到一般的有限群，給出有限群的一般定義及其相關性質。
后續發展
1878年，凱萊（A.Cayley）強調一個群可以看作一個普遍的概念，并指出每個有限群可以表示成一個置換群。1887年，德國數學家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frobenius）證明了有限抽象群的西羅定理。1889年，德國數學家霍爾德（H?lder）證明了卡米爾·若爾當—霍爾德定理，隨后又詳細地研究了單群和可解群，證明了一個素數階循環群是單群，個全部偶置換組成的交換群是單群。從90年代開始，弗羅貝尼烏斯致力于可解群的研究，他發現階不能被一個素數的平方整除的群全都是可解的，并于1895年發表了關于抽象群概念的著作《有限群》。
進入20世紀后，有限群的可解性問題得到了進一步解決。20世紀初，英國數學家伯恩賽德（W.Burnside）用特征標理論證明了伯恩賽德定理，并于1911年出版了群論著作《有限階群論》。1962年，費特（W.Feit）和湯普森（J.G.Thompson）證明了奇數階群的可解性。1965年，楊科（Z.Janko）找到了除馬蒂厄群外的第一散在單群，并在1981年前后基本上解決了著名的有限單群分類問題，進一步發展了有限群理論。
相關概念
子群
定義：如果群的非空子集對于的代數運算也作成一個群，則稱是的一個子群，記作。任何一個非單位元群至少有兩個子群，自身以及由單位元作成的單位元群，稱它們為的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群的非空子集為的子群的充分必要條件：對任意的，恒有。
子群的指數：若是群的子群，則可以分解為的左（右）陪集的無交并，在中的全部左陪集所成之集合和全部右陪集所成之集合有相同的基數（勢），稱為在中的指數，記為。
陪集
定義：設是一個群，是的子群，對固定的元，形如的元所成的集合，記為，稱為（在中）的左陪集。同樣地，稱為的右陪集。
結論：設是有限群，是的非平凡子群，則能分解為兩兩不相交陪集的并。
舉例
例1 非空集合只包含一個元，乘法是。對于該乘法來說作成一個群，它是一個有限群。
例2 集合在數的乘法下成為一個群，單位元為，的逆元是它自身，它是一個只有兩個元素的有限群。
例3 設是一正整數，全體次單位根（即方程的個根）對于復數的乘法成一個群，該群記為，且有，它是一個有限群。特別地，當時，。
例4 模同余類的子集是一個可交換的、階數為的有限群。例如，當時，是一個階有限群。
例5 保持平面上正三角形不變只有一個軸的轉動構成的對稱群稱為群。它包括繞垂直正三角形平面并通過正三角形中心的軸轉和的三個轉動，轉動的轉動為單位元素，是一個有限群。
常見類型
有限阿貝爾群
阿爾貝群：如果群的運算適合交換律，即對于群中任意元素，有，那么稱群為交換群或阿貝爾群。
有限阿貝爾群結構定理：有限加群可唯一地分解為素數冪循環群的直和，即設，是不同素數，則
（1），其中是階為的循環群。
（2）自然數集由群唯一確定。
置換群
定義：設是一個非空集合，是上若干一一變換的集合。若關于變換的乘法，即合成運算，構成一個群，則稱是的一個變換群。特別地，上所有一一變換關于變換乘法構成對稱群。若，則上的對稱群稱為次對稱群，記為。有限集合上的一一變換稱為置換，有限集合上的變換群稱為置換群。
結論：任意一個有限群都同構于一個置換群。
循環群
一般地，對階有限群，任取，那么
因為中只有個元素，所以上面個元素中必有兩個相等，換言之，對于有限群中任何元素，一定存在正整數，使得是單位元。根據最小數原理，一定存在最小正整數，使得，稱為的周期。
定義：設是階有限群，，是的周期，稱是由生成的循環子群。顯然，循環子群是阿貝爾群。如果存在一個元素，使得的周期，即
那么稱為循環群。
結論：若有限群的階是素數，則一定是循環群。
有限李型群
弗羅貝尼烏斯同態是素特征域上代數群的一類自同態。一般地，設是簡約代數群，是代數群同態。若存在到的嵌入以及正整數與，使得與在的限制是一致的，則稱是弗羅貝尼烏斯同態。
定義：弗羅貝尼烏斯同態的固定點集是有限子群，這種有限群稱為有限李型群。
相關定理
拉格朗日定理
內容：設是有限群，是的任一子群，則
，
從而的任一子群的階是的階的因數。
推論：設是有限群，則的任一元素的階是的階的因數，從而。
柯西定理
內容：設為有限群，為素數且，則群中必包含階元。
凱萊定理
內容：若是一個群，則存在集，使得同構于上的一個置換群。
由凱萊定理可知：當是階有限群時，不同構的階群只能有有限多個。
西羅定理
第一定理：設是一個有限群，且，其中為整數，且不能整除，那么一定有一個彼得·盧德維格·梅德爾·西羅子群。
第二定理：設是一個階有限群，為一個素數，且整除，則的每個子群必含在的某個西羅子群中，進一步，的任一兩個西羅子群均在中共軛。
第三定理：設是一個階有限群，為一個素數，且整除，則的西羅子群的個數整除，進一步，。
伯恩賽德定理
內容：階為的有限群是可解群，其中是素數，是非負整數。
推論：每個非尼爾斯·亨利克·阿貝爾有限單群的階至少能被三個不同的素數整除。
費特—湯普森奇階定理
內容：奇階的有限群必為可解群。
施密特定理
內容：如果有限群的每個真子群是冪零的，則是可解的。
推論：如果有限群的每個真子群是群，則是可解的。
若爾當—霍爾德定理
內容：有限群的任意兩個無重復項的合成群列有相同的長度，而且它們的因子群組在同構意義下不計次序一一相等。
有限單群的分類定理
內容：設是一個有限單群，則同構于下列單群之一：
（1）素數階的循環群；
（2）交錯群，其階為；
（3）李（Lie）型單群；
（4）散在單群。
推論：設是單群，，則同構于或，其中。
特殊性質
可解群
定義：設有一個正規群列
，
其商群
都是阿貝爾群，則稱為可解群。任何阿貝爾群都是可解群。
充要條件：是可解群存在使。
由該條件可得，若為可解群，為的子群，則也是可解群。若是滿同態，則也是可解群。
超可解群
定義：若且為的一個極小正規子群，則稱為群的一個主因子。如果有限群的主因子均為循環群時，就叫為超可解群。
性質：（1）超可解群的每個子群亦超可解；
（2）超可解群的每個同態像也是超可解的；
（3）兩個超可解群之直積仍為超可解的；
（4）若有兩個正規子群與使與都是超可解的，則也是超可解群。
分類
對于任何整數，總有一個有個元素的群，即循環群。對于每個大于的偶整數，至少有兩個具有個元素的非同構群，即循環群和二面體群。對于大于的形式的每一個整數，至少有三個具有個元素的非同構群，即循環群、二面體群和廣義四元群。對于階數小于的阿貝爾群和非阿貝爾群，群的數量如下表所示：
應用
地理學
地理學中，地震滑移的巖石動摩擦過程包含了多尺度、多重物理機制，其研究過程較為復雜。基于分離式霍普金森壓桿桿束技術對含傾斜界面的花崗石進行沖擊實驗，在微動滑移條件下，表面仍非常粗糙，很難觀察到大位移滑移時的光滑滑移面。在此基礎上，應用斜條型有限子群表示，結合微界面相對滑移磨損擴散的控制方程，可建立巖石界面粗糙形態動力學演化的描述方法。該方法有一定的可行性，對界面動摩擦演化過程及其機制的認識具有良好的參考意義。
密碼學
在信息安全系統中，密鑰是合法訪問的唯一憑證。安全的密鑰管理方案不僅影響著系統的安全性，而且還將涉及系統的可靠性、有效性和經濟性等內容。考慮到傳統的密鑰協商方案在安全性、時效性、經濟性等方面存在的不足，可設計新的基于尼爾斯·亨利克·阿貝爾有限群上離散對數問題的求解困難性的高效密鑰協商方案，該方案無需繁瑣的身份鑒別認證過程，也不需要引入時戳服務器，就能有效地抵抗各種攻擊方案，具有較高的安全性，且操作簡單，可應用于各種軟硬件環境中。
計算機科學
計算機科學中，哈希是算法設計中的重要技術之一，哈希計算的有效性和哈希指紋的清晰度并不總是一致的，在計算有效性的高優先情況下，運算的簡單可能致使弱哈希所產生的指紋很不清晰。在算法設計中，單獨一個弱哈希的作用有限，可通過有限群來構造一個快速連續弱哈希序列，它能夠應用于設計實時算法來解決順序抽取公共子串問題，還能設計快速同步協議來解決寬帶網絡和云計算環境下的文檔多歷史版本內容的實時備份和實時檢索問題。
參考資料 >