歐拉公式(英文：Euler's formula)，是瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（英文：Leonhard Euler）于1748年發表的數學公式，歐拉公式指出，對于任何實數x，有：，其中是自然對數的底數，是虛數單位，和分別是三角函數余弦和正弦；當x = π時，歐拉公式可重寫為或，后者也被稱為歐拉恒等式。
歐拉公式將三角函數的定義域擴大到復數，建立了復數域中三角函數和指數函數的關系，在復變函數論里占有非常重要的地位。歐拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。
基本概念
在復數域中，指數函數和三角函數可以通過以下簡單的等式聯系起來。
其中是自然對數的底，是-1的平方根。
由該公式可以推出
這兩個式子也稱為歐拉公式。
此外，令，可得，這個公式被稱為歐拉恒等式。
相關概念
除了復數域的長城歐拉公式，數學家歐拉在其他領域也發表了多個類型的歐拉公式。
三角形的歐拉公式
關于三角形的歐拉公式，是指
其中是三角形的外接圓半徑，是內切圓半徑，是外心到內心的距離。三角形的歐拉公式的幾何意義如右圖所示，揭示了三角形的內心和外心奇妙的聯系。
多面體的歐拉公式
關于多面體的歐拉公式，是指
其中 是一個多面體的頂點數，是棱數，是面數。歐拉公式揭示了空間凸多面體的頂點、棱和面之間的關系，用于幾何圖像分類等研究中。
分式的歐拉公式
分式的歐拉公式指的是下面的式子。
歷史
在1740 年，歐拉在運用級數求解同一個微分方程，分別得出了（指數形式）和（三角形式）兩個不同形式的解，這兩個同一方程的解應相等，從而發現了復數的指數形式與三角形式的關系。1748 年，歐拉發表了下面的公式，這被稱為歐拉公式。
為了表示-1的平方根，萊昂哈德·歐拉在他的《微分公式》一文中首創了用符號i作為虛數的單位。因而上述公式也可表示為：
證明
采用極限
利用分析中極限的方法可以對歐拉公式進行證明。
由極限可得，
對于復數而言，其幅角為：，則有：
由棣莫弗公式（英文：De Moivre's formula）得:
對上式的兩端取極限，有：
下面求解上述等式的右端的兩個極限，再相乘。
令，則當時，，因此
再令，可得和，當時，，因此:
故。
至此，兩個極限求解完成，代回等式有：
令，可得
由可得，
以為未知數，即有：
采用冪指數
首先構造以下復數項級數。
式中，是一個復數，其實部和虛部分別為，均為實常數或者實函數。則的模為。
實部的和可以表示為：
虛部的和可以表示為：
如果所有的模構成的級數收斂，則稱復數項級數絕對收斂。
且該級數的和為，即：
由于，也可表示為：
當時，，則
用替換，即為歐拉公式。
采用極坐標
對于以下公式，如果能夠證明，則歐拉公式得證。
上式兩端同時求導，可得：
用代替并整理可得：
為了使得上述等式成立，必須有實部和虛部同時為0，
解得。
也就是說：為一常數，，為常數。
又，可得，，代入，歐拉公式得證。
幾何解釋
歐拉公式具有直觀的幾何解釋。在如右圖圖所示的坐標系上畫出一個單位圓，其中橫軸為實軸，縱軸為虛軸。對于實數“1”而言，可以在實數軸上可以用一個單位向量表示。現對其逆時針旋轉弧度，則實數“1”變為純虛數“”，依次類推，每旋轉一周能得到“的循環。若實數單位向量保持長度不變，旋轉角度，其軌跡為該坐標系上的單位圓，且則所得向量即為:
因此，代表實單位向量逆時針旋轉角度后所得到的向量。因此當旋轉了弧度時，自然有即，。
相關應用
用于復數域三角式值的計算
利用歐拉公式可以計算復數域內三角函數值。
用于高次冪三角式值的計算
利用歐拉公式可以將轉換為的線性組合，在求解定積分時更加簡便。
用于信號分析處理
傅里葉變換是信號的時域和頻率分析與處理的基本工具。歐拉公式結合傅里葉變換對信號進行分析處理。
用于頻譜信號實部和虛部的分離
對于一個頻譜信號，一般為實數的復變函數，利用傅里葉變換可以將實部和虛部信號分離：
該性質被稱為傅里葉變換的奇偶虛實性質，利用該性質可以結合時域函數的奇偶性，判斷其實頻譜和虛頻譜的奇偶性。上述證明過程利用了歐拉公式：
用于傅里葉級數形式的轉換
對于一個周期為連續周期信號來說，可以用一個傅里葉級數來表示：
式中：，且
利用歐拉公式可以將傅里葉級數變換為以下復數形式。
式中：
參考資料 >
Euler’s formula.britannica.2023-04-12