傅里葉變換（Fourier transform），簡稱傅氏變換，是將滿足一定條件的某個函數表示成三角函數（正弦和/或余弦函數）或者它們的積分的線性組合。傅里葉變換的定義分為狹義和廣義兩種，狹義的傅里葉變換滿足狄利克雷條件，具有一維、二維等多種形式。
1822年后，傅里葉（Jcan-Baptiste Fourier）將傅里葉級數從以為周期的周期函數推廣到任意周期的周期函數，又從周期函數推廣到非周期函數，并提出了傅里葉積分的概念。傅里葉級數與傅里葉積分的提出，奠定了傅里葉變換的基礎。傅里葉變換具有線性性質、對稱性、相似性、平移性、微分性、積分性、卷積定理、巴什瓦定理與帕塞瓦爾定理等基本性質。常見的傅里葉變換有矩形函數的傅里葉變換、負指數函數的傅里葉變換、高斯函數的傅里葉變換和單位脈沖函數的傅里葉變換。
傅里葉變換的運算有數值傅里葉變換、用定理生成變換、對分段函數應用導數定理等。傅里葉變換在數學領域、物理領域、計算機科學及工程技術等方面有著廣泛的應用，各種信號和圖像的處理都需要用到傅里葉變換。此外，在量子力學中，它還可以描述波函數和能量譜，它也是求解偏微分方程的一項重要數學工具。
定義
狹義傅里葉變換
在數學上，狹義傅里葉變換是指滿足狄利克雷條件的函數的傅里葉變換，這也是傅里葉變換存在的條件。
一維傅里葉變換
函數滿足狄利克雷條件，即分段連續(xù)，在任意有限區(qū)間內只存在有限個極值點和有限個第一類間斷點，并且在區(qū)間絕對可積，則和的積分變換成立。稱為的傅里葉變換，則稱為的傅里葉逆變換，它們常采用的運算符號表示為、。
二維傅里葉變換
設是定義在平面的空間函數，它的傅里葉變換存在，并用空間頻率平面的二維函數表示，于是有。稱為的空間頻譜，通過對的二維傅里葉逆變換可恢復原函數，。
利用直角坐標與極坐標的坐標變換公式，可直接從直角坐標系中的二維傅里葉變換導出極坐標系中二維傅里葉變換的公式。設平面的極坐標為，頻率平面的極坐標為，坐標變換公式為，直角坐標系的變換公式中，令，，于是極標系中二維傅里葉變換和傅里葉逆變換可表示為，。
廣義傅里葉變換
設是一個不存在狹義傅里葉變換的函數，而是一個存在狹義傅里葉變換的普通序列函數，即有（為整數）。如果可以表示為的極限，即，并且當時，的極限存在，于是可將的廣義傅里葉變換定義為。
相關概念
傅里葉級數
一個以為周期的函數，若在上滿足狄利克雷條件，則在上可以展開成傅里葉級數為。其中，，，，。
傅里葉積分
設是定義在上的非周期函數，將看作是周期為的周期函數當時的極限形式，則由式和式有，又可變?yōu)椋煞e分的定義，有，式子右端的積分式稱為的傅里葉積分。
歷史發(fā)展
17世紀和18世紀，在艾薩克·牛頓（Newton）和戈特弗里德·萊布尼茨（Laibniz）等科學家的推動下，數學獲得了快速的發(fā)展。隨著函數、極限、微積分和級數理論的創(chuàng)立，法國數學家傅里葉（Jcan-Baptiste Fourier）在1822年發(fā)表了題為《熱的解析理論》的論文。在該論文中，傅里葉提出，以為周期的周期函數可展開成無限多個正弦函數和余弦函數的和，即，該式子就是傅里葉級數，式中，。
1822年后，傅里葉將傅里葉級數從以為周期的周期函數推廣到任意周期的周期函數，又從周期函數推廣到非周期函數，并提出了傅里葉積分。傅里葉級數與傅里葉積分的提出，奠定了傅里葉變換的基礎。傅里葉級數就是連續(xù)傅里葉級數變換的逆變換，傅里葉積分則是連續(xù)傅里葉變換的逆變換。拉普拉斯變換也是一種傅里葉變換。早在1782年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（皮埃爾-西蒙·拉普拉斯）就提出了拉普拉斯變換。
傅里葉級數、傅里葉積分和拉普拉斯變換形成了早期傅里葉變換家族的三種變換。在19世紀的數學研究中產生了傅里葉變換，早期的傅里葉變換是數學分析的一個分支。傅里葉變換又是工程技術的理論基礎，20世紀的信息科學以傅里葉變換為基石。隨著電磁理論和技術的產生和發(fā)展，尤其是電子通信與電信號理論和技術的產生與發(fā)展，傅里葉級數、傅里葉變換和皮埃爾-西蒙·拉普拉斯變換在物理學等領域得到了廣泛的應用。
在模擬信號傳輸和模擬信號處理的時代，傅里葉變換只是一種用于分析連續(xù)時間信號和系統(tǒng)的數學工具。為了實際地獲得各種復雜信號中特定頻率的分量，工程師們應用由電阻、電容、電感等模擬元器件為基礎構成的模擬濾波器。通過不同頻率的窄帶濾波，得到由傅里葉變換所預計的信號中頻率分量的幅度和相位。
這種用模擬濾波器給出傅里葉變換數值的方法不僅麻煩，而且由于窄頻帶信號是由多個頻率分量組成的，因此所得到的數值很不準確。隨著大規(guī)模集成電路和超大規(guī)模集成電路的發(fā)展以及計算機技術的進步，隨著模擬信號變?yōu)?a href="/hebeideji/7802548392724394782.html">數字信號，從20世紀60年代開始，由計算機和各種數字硬件處理信號的理論和方法逐漸產生。在它們產生和發(fā)展的過程中，傅里葉變換家族出現了新的成員。這些新的成員是離散周期信號的離散傅里葉級數變換、離散時間信號的序列傅里葉變換、離散時間信號的變換和典型有限序列的離散傅里葉變換。
性質
線性性質
設與為任意的兩個函數，和為任意常數，則有，即函數線性組合的傅里葉變換等于各函數傅里葉變換的相應線性組合。同樣地，傅里葉逆變換也是線性變換。
對稱性
傅里葉變換并不改變函數的奇偶性，通常把這個性質稱為傅里葉變換的對稱性。若函數的像函數是，則作為的函數的像函數為，即。
以兩次連續(xù)傅里葉變換為例，則有。這個性質表明，對函數連續(xù)作兩次傅里葉變換，即得其“鏡像”。兩次以上的情形當可類推。
相似性
設，則。這一性質表明，如果函數的圖像變窄，則其傅里葉變換的圖像將變寬變矮；如果變寬，則將變窄變高。
平移性
若，為實常數，則。這個性質在無線電技術中也稱為時移性，它表示時間函數沿時間軸向右平移（也稱延時）后的傅里葉變換等于的傅里葉變換乘以因子。同理還可得。
像函數的平移性：設，為常數，則。
微分性
若，且，則。這個性質說明一個函數的導數的傅里葉變換等于這個函數的傅里葉變換乘以因子。
像函數的微分性：若，則。由這個性質可知，若已知的傅里葉變換，則的傅里葉變換也可求出。
積分性
若的函數滿足傅里葉積分定理的條件，則。
設，則有，。和這兩個積分分別表示曲線和曲線各自覆蓋的面積。
卷積定理
含參變量的積分是的函數，稱作函數與的卷積函數，簡稱卷積，記作，即。。
兩個函數卷積的像函數，等于兩個函數各自的像函數的乘積，即。
兩個函數乘積的像函數，等于它們各自像函數（在實用上稱為頻譜函數）卷積的倍，即。
巴什瓦定理與帕塞瓦爾定理
當兩個復數實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數（當虛部不等于0時，也叫做互為共軛虛數）。復數的共鉅復數可以用來表示，所以如果，那么，顯然，而且復平面內表示兩個互為共軛復數的點與關于實軸對稱。
若函數以及平方可積，設，，則（式中*表示共軛復數），該式稱為巴什瓦（Parseval）定理。特別地，對于平方可積函數，有，該式稱為帕塞瓦爾（Plancherel）定理。這兩個定理表明，傅里葉變換是平方可積空間上的一個運算符（若不考慮因子）。
維納—辛欽定理
設，，則有（式中*表示共軛復數）。習慣上，稱乘積為函數與的互能量譜密度。因此，互相關定理表明，兩個函數的互相關函數與它們的互能量譜密度構成傅里葉變換對。
設，則有（式中*表示共軛復數）。習慣上，稱為函數的能量譜密度。因此，自相關定理表明，一個函數的自相關函數與能量譜密度構成傅里葉變換對。
示例
矩形函數的傅里葉變換
設，求它的傅里葉變換。根據公式給出的矩形函數的定義，它的傅里葉變換為。在物理光學中，習慣將的主瓣寬度定義為矩形函數的帶寬，由圖可知，的頻帶寬度。
負指數函數的傅里葉變換
設，則。為復函數，它的振幅和相位分別為，。
高斯函數的傅里葉變換
設，則，式中最后一步應用了普哇松積分。這個例子表明，高斯函數具有自傅里葉變換的性質。
歐幾里得空間上的傅里葉變換
不確定性原理
不確定性原理或稱為—帶寬積定理，是對傅里葉變換的一種基本描述。給出時域信號為，相應的頻域信號為，它們是一對傅里葉變換對。不確定性原理的本質就是：較窄的時間波形產生較寬的頻譜，而較寬的時間波形產生較窄的頻譜，時間波形的寬度和頻譜寬度不可能同時任意小。
傅里葉正余弦變換
設為上的函數奇偶性，它的傅里葉變換。積分稱為定義在上的函數的傅里葉余弦變換。它的逆變換。
設為上的函數奇偶性，它的傅里葉變換。積分稱為定義在上的函數的傅里葉正弦曲線變換。它的逆變換為。
球諧函數
當研究的定解問題非軸對稱時（），方程在單值且有限的定解條件下，所對應的本征值及本征函數為，即是球諧函數的表達式。
為了應用的方便，可將歸一化常數得到歸一化的球諧函數。利用締合勒讓德函數的表達式，可得到相應的歸一化的球諧函數：
；
；
；
；
；
。
運算
數值傅里葉變換
如果一個函數的值是由物理測量得到的，若需要求出它的傅里葉變換，就有幾種可能性發(fā)生。首先，物理數據的某些限制會響到結果，所以要先從數值變換方面入手。該數據是在自變量的許多離散值上給出的。間隔可能如此之小，以致不必關心中間值的內插，但不論在何種情況下，總可以認為對于周期小于的傅里葉分量，其數據不可能含有它們的任何重要信息。因此，沒有必要對高于的頻率進行計算。
此外，觀測數據是在的一個有限范圍內給出的，如。按照同樣的論證，傅里葉變換不需要列出間隔比更細密的數值表。如果在中有任何需要間隔比更精細的數值表才能刻畫的重要細節(jié)，那么為了把它揭示出來，對于的測量就必須擴展到之外。
物理數據的另一個性質是含有誤差。因此，傅里葉變換計算的值所能保證的精度是有限的。這種限制可用誤差成分的功率頻譜簡明的表示出來（或者等效的用誤差成分的自相關數）。有時，誤差只有數值大小的改變，而它們的頻譜不變；有時，誤差的大小和頻譜都不清楚。無論何時，誤差都使得變換的計算值的小數部分的位數受到限制，而它們恰好具有重要的物理意義。
設是用處的值來表示的，其中整數跑在到之間。一般地，在計算的傅里葉變換之前，必須知道對于在的整個無窮范圍內的信息。因此，只能求助于物理知識，并對測量范圍之外的性質作某種假定。在這種況下，假定當時為零。那么其和就是的一個近似值。在實際上，可分別計算其實部和虛部，它們是由和式和構成。這一跑遍項的和必須對每個選定的值都求和。
用定理生成變換
一旦證明了某種性質，它使某個定理能夠簡單地應用。例如，考慮一個連續(xù)分段線性函數，如下圖所示這個函數可以表示為一個三角窗函數和一系列沖激函數的卷積，可以把沖激函數的傅里葉變換和三角窗函數的傅里葉變換相乘，于是。取梯形脈沖，顯然，。
對分段函數應用微分定理
微分定理有一個特殊應用，它被廣泛地用于開關波形。考慮如圖（1）所示的一個分段的線性函數，它的一階導數如圖（2）所示，包含一個沖激。由于沖激函數的變換是已知的，去掉這個沖激，再求一次微分如圖（3）所示。這時只剩下一系列的沖激。如果一階導數包含一系列沖激，而不是只有一個沖激，或者如果原來的函數中包含沖激，那么變換為。
這種方法可以擴展到由由多項式分段組成的函數，在這種情況下，就需要進行進一步的導數。如，考慮拋物線脈沖，這里。進行兩次微分，可以得到，。等式左邊的變換是已知，即。因此，所求的變換為。這里的和是積分常量，這是因為給初始的拋物線脈沖加上一個常量并不影響它的一階導數，同樣，二階微分也是如此。對給定脈沖的積分表明沒有疊加常量（零階項）或線性項（一階項），所以并且有。
傅里葉變換簡表
相關變換
拉普拉斯變換
對定義在區(qū)間上的實自變的函數做運算并取反常積分得到一個復數的復值函數，，函數與另一函數的對應律叫做拉普拉斯變換，用記號表示，即，所以有。函數稱為函數的像函數，也稱為的拉普拉斯變換的結果，簡稱為的拉普拉斯變換。
希爾伯特變換
函數的希爾伯特環(huán)形山變換由積分定義。由定義可知，函數的戴維·希爾伯特變換，可看作是與的卷積，即。戴維·希爾伯特變換可以看作是一個線性—平移不變系統(tǒng)，該系統(tǒng)的原點脈沖響應為，相應的傳遞函數則為。希爾伯特變換的原點脈沖響應與傳遞函數的圖像分別如下圖（1）、（2）所示。
阿貝爾變換
函數的尼爾斯·阿貝爾變換一般定義為，符號和分別表示同平面內的橫坐標和半徑。上面的公式也可以寫為，其中。令和，再設以及，有，其中，或者，再有。必要時，可以把稱為的改進的尼爾斯·阿貝爾變換”。
應用
傅里葉變換在數學領域、物理領域、計算機科學及工程技術等方面有著廣泛的應用，各種信號和圖像的處理都需要用到傅里葉變換，同時它也是求解導數、積分方程、數學物理方程等問題的一種有效數學工具。
在數學中的應用
傅里葉變換在數學和物理方程中有著廣泛的應用，可用于解波方程、熱方程、色散方程等著名的偏微分方程。運用傅里葉變換的線性性質、微分性質以及積分性質，對欲求解的常系數微分方程（包括積分方程和微積分方程）的兩端取傅里葉變換，可將其轉化為像函數的代數方程，通過解代數方程求出像函數，然后再取傅里葉逆變換，就可得到原來微分、積分方程的解。
在量子力學中的應用
在量子力學中，傅里葉變換用于描述量子力學中的波函數和能量譜。通過傅里葉變換，可以將波函數從坐標空間轉換到動量空間，從而更好地描述粒子的位置和動量信息。傅里葉變換為通過描述粒子狀態(tài)的等效性，利用動量表象對平面波進行展開，從而實現坐標表象下的狀態(tài)波函數與動量表象下的表示之間的轉化。在確定傅里葉變換本質的前提下，利用的性質找出坐標表象下的動量本征函數，通過動量本征函數為基矢的表象即動量表象對平面波函數進行展開，即得傅里葉變換式，同時，根據動量本征函數的正交歸一性，得其逆變換。
在信號處理中的應用
傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法，該算法表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。在數學角度，傅里葉變換可將函數轉換為疊加的周期函數進行處理。在物理角度，傅里葉變換則是將圖像從空間域轉換到頻率域，將圖像的灰度分布函數變換為圖像的頻率分布函數，其逆變換是將圖像從頻率域轉換到空間域，將圖像的頻率分布函數變換為灰度分布函數。
在通信系統(tǒng)中，信號從發(fā)射端傳輸到接收端一般需要進行調制和解調。因為無線電通信系統(tǒng)是通過空間輻射方式傳送信號，由電磁波理論可知，天線尺寸為被輻射信號波長的1/10左右最為有效。對于語音信號，算出來的天線尺寸就要達到幾十千米以上，這是不可能的。而且如果不進行處理，各個發(fā)射臺可用的頻段就極為有限，很容易產生混疊。為解決這一問題，實際通信系統(tǒng)中采用了調制的方法發(fā)射信號，即通過把各種信號的頻譜搬移到較高的頻率范圍，使發(fā)射簡便，各發(fā)射臺信號不混疊，而其原理正是傅里葉變換。
在圖像處理中的應用
傅里葉變換在圖像處理中主要應用方向有：圖像增強與去噪、邊緣檢測、特征提取、圖像壓縮等。其核心思想是使用傅里葉變換將圖像由空間域轉換至頻率域，通過對頻率域進行不同的運算操作，實現預期的圖像處理效果。
若簡單將圖像的頻率譜劃分為高頻分量和低頻分量，則其中的高頻分量代表了圖像的突變部分（即邊緣信息），低頻分量代表了圖像的平緩區(qū)域（即輪廓信息）。圖像增強和去噪即是通過不同的傳遞函數對頻率函數進行卷積運算，得到新的頻率函數。新的頻率函數中，期望保留的頻率信號被增強，期望去除的頻率信號（噪聲）被減弱。可通過傅里葉逆變換得到新的圖像函數，即增強和去噪后的圖像。
邊緣檢測原理與圖像增強一致，圖像的邊緣信息即是頻譜圖中的高頻分量，有效地保留并處理這些高頻分量，以達到邊緣檢測的目的。
圖像特征可分為顏色特征、紋理特征、形狀特征、空間關系特征等。顏色特征是一種描述圖像表面性質的全局特征，包含了圖像區(qū)域的所有像素點。常用的顏色特征提取方法有：顏色直方圖法、顏色集法、顏色矩法、顏色聚合向量法、顏色散布圖法等；紋理特征與顏色特征類似，也是一種全局特征，與顏色特征不同的是，紋理特征是基于全部像素點的統(tǒng)計運算而非基于單個像素點。常用的紋理特征提取方法有：統(tǒng)計法、模型法、幾何法、信號處理法等；形狀特征是一種局部特征，常用的形狀特征提取方法有：邊界特征法、傅里葉形狀描述法、幾何參數法、形狀不變法等；空間關系特征是指圖像中分割出來的多個目標之間相互的空間位置或相對方向關系，這些關系可分為連接/鄰接關系、交疊/重疊關系和包含/包容關系等。
利用壓縮編碼理論，對頻率空間進行重新編碼及傳輸，可實現圖像壓縮的效果。由于圖像相關性的明顯降低，頻率域的編碼比空間域更為簡單。
在電路分析中的應用
在電力工程中，采用正弦制，并力圖得到正弦交流電流；在電子技術中，電路常常工作在非正弦狀態(tài)中。非正弦量可分為周期的和非周期的。線性電路在非正弦周期電源作用時，常運用諧波分析法。諧波分析法的數學工具是傅里葉級數展開法，所依據的是線性電路的疊加定理。其過程：應用傅里葉級數將非正弦量分解為一系列不同頻率的正弦量之和，然后用疊加定理，分別計算各種正弦量單獨作用時產生的電壓、電流，最后疊加即可。在暫態(tài)分析之中，常常利用傅里葉變換的基本關系式，它把響應的傅里葉變換與輸入函數的傅里葉變換及電路的傳遞函數聯(lián)系起來。
參考資料 >
Lecture 8:Fourier transforms.scholar.harvard.edu.2023-10-26
A General Geometric Fourier Transform.informatik.uni-leipzig.2023-10-28
14.2.7.5: Fourier Series and Transform.LibreTexts libraries.2023-10-28
Highlights in the History of the Fourier Transform.embs.2023-10-28
Lecture 8 ELE 301: Signals and Systems.princeton.edu.2023-10-28