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離散傅里葉級數（DFS）是對離散周期信號進行頻域分析的工具，其系數序列具有周期性。與連續傅里葉級數不同，離散傅里葉級數的頻譜是周期性的，這是由時域的離散性導致的。
簡介
和連續周期信號相比，離散周期信號的離散傅里葉級數的頻譜是周期性的，因為時域的連續對應于頻率的非周期，時域的離散對應于頻率的周期。所以我們只需要在的頻域區間上取N個點就可以完整表示出來了。這是連續周期信號和離散周期信號傅里葉級數的最根本區別。
計算公式
對于一個周期為N的離散周期序列，其離散傅里葉級數的系數序列可以通過以下公式計算得到：
而離散傅里葉級數的逆變換，用于從系數序列重構原始序列，其公式為：
這里的表示對一個周期N內的值求和。
進一步分析
對于連續周期信號的離散化，我們首先需要理解連續信號是周期為T的函數。
然而，當這個信號被離散化時，它的離散版本不一定是周期的。只有當是有理數時，離散信號才是周期函數。
在這個條件滿足的情況下，連續周期信號的離散版本對于k也是周期為N的函數。這意味著在一個周期內，只有N個不同的值。
離散傅里葉變換（DFT）實際上是離散時間傅里葉級數在主值區間上的取值。當我們將非周期函數定義拓廣為周期函數：，并且當時，就變成了，這時我們可以求出的傅里葉級數。
當時，級數變成了積分，得到的結果是一個連續的周期函數，這就是的離散時間傅里葉變換。在它的主值區間上采樣，就可以得到離散傅里葉變換的變換序列。
參考資料 >