有理數（rational number）是能夠表示為兩個整數之比的數（如：p/q，p、q是整數，q≠0），即整數和分子分母都是整數的分數（分母不為零），整數可以看作是分母為1的分數。它可以寫為有限小數或無限循環小數的形式。由有理數構成的集合為有理數集，用Q來表示。
畢達哥拉斯學派在公元前6世紀左右對數的研究做出了重要貢獻。他們首次提出了有理數的概念，并研究了數的比例關系。公元前3世紀，歐幾里得在其著作《幾何原本》中詳細討論了有理數和比例理論，奠定了有理數理論的基礎。
與有理數有關的概念有正數和負數、整數和分數等。現代隨著數學分析、數論和代數的發展，有理數的理論進一步完善，有理數是“數與代數”領域中的重要內容之一，在現實生活中有廣泛的應用，是實數、代數式、方程、不等式、直角坐標系、函數、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。有理數具有四則運算及混合運算法則，其運算也滿足一定的規律，如分配律、結合律。有理數的運算具有封閉性，有理數具有可比性以及稠密性。在日常生活和生產實踐中，經常會遇到具有相反意義的量，如表示溫度有“零上”和“零下”、經營情況有“盈利”和“虧損”、水位變化有“升高”和“降低”等等。因此，可將有理數相關知識應用到氣候、金融、水文觀測等領域以解決實際問題。
定義
有理數
整數和分數統稱為有理數（rational number）。由于整數可以看成是分母為1的分數，因此有理數可以寫成（，是整數，）的形式；另一方面，形如（，是整數，）的數都是有理數，由有理數的定義知，任何有理數都可以寫為有限小數或無限循環小數的形式。實數中除了有理數還有無理數，如果不滿足上述條件（即不是有理數），它是無限不循環小數，被稱之為無理數；這里的“無理數”并非指沒有道理的數，而是不能精確表示為兩個整數之比的數。
有理數集
一般地，把研究對象統稱為元素（element），把一些元素組成的總體叫做集合（set）（簡稱為集）。所有有理數構成的集合為有理數集，用符號表示。
數集
全體自然數組成的集合稱為非負整數集或自然數集，記作；全體整數組成的集合稱為整數集，記作；全體實數組成的集合稱為實數集，記作。則自然數集、整數集、有理數集和實數集之間的關系如下圖所示：
簡史
古希臘時期的公元前6世紀，畢達哥拉斯學派首次提出了有理數的概念，并研究了數的比例關系。公元前3世紀，歐幾里得在其著作《幾何原本》中系統闡述了有理數和比例理論，為有理數的理論奠定了基礎。
1574年，克拉維烏斯（Christopher Clavius）編著的拉丁語版的《歐幾里得原本十五卷》（Euclidis Elementorum Libri XV）中，將“有理數”翻譯為“proportio”，取“可比數”之意；中世紀的數學家通常用拉丁文詞根“proportio”表示“ratio（比）”和“proportionalital（比例）”。同時，克拉維烏斯也用拉丁文詞根“ratio”表示“比、比例”的意思。英國的數學家翻譯時，選取拉丁文“ratio”作為詞根進行“有理數”的翻譯，全稱是“rational number”，意思是“可比數”。
1607年，中國數學家徐光啟和西方傳教士利瑪竇（Matteo Ricci）將克拉維烏斯的《歐幾里得原本十五卷》翻譯成古漢語的《幾何原本》，將有理數“proportio”翻譯為古漢語中的“理”，意思是“比值”。可是“有理數”傳播到日本的時候出現了偏差，日本學者將中國文言文中的“理”直接翻譯成了“理”，而不是古漢語所解釋的“比值”。直到后來中日兩國才統一了“有理數”的說法。無理數的發現源于畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯，他發現：邊長為1的正方形其對角線長度為，這使得數學史上第一個無理數誕生，的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打擊，直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，引起了數學思想上的大革命，歷史上稱之為第一次數學危機。無理數的發現擴充了數域，使人們對數的認識從簡單的有理數集擴展到實數集，推動了數學的發展。
相關概念
正數和負數
在算術數（除零外）前面放上“+”（讀作“正”）號或直接用算術數（除零外）表示的數就叫正數（正號可省略不寫）。與正數表示意義相反、且在算術數（除零外）前面加“-”（讀作“負”）號表示的數叫負數。0既不是正數也不是負數。
整數和分數
正整數（也叫自然數）、0、負整數統稱為整數。正分數、負分數統稱為分數。分數可以化為有限小數和循環小數。
相反數和絕對值
數軸上，在原點兩邊距離原點相等的點所表示的兩個數叫做互為相反數（opposite number），它們分別在原點左右，且關于原點對稱。互為相反數的兩個數符號不同，數值相同。一般地，和互為相反數，表示任意一個數，可以是正數、負數，也可以是0，規定0的相反數是0。
一般地，數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值（absolute value），記作。一個正數的絕對值是它本身；0的絕對值是0；一個負數的絕對值是它的相反數，即
。
倒數
乘積是1的兩個數互為倒數，這兩個數的分子分母顛倒位置。例如：和互為倒數。
運算法則
加法法則
（，都是正數）。
，，。
減法法則
有理數的減法定義為加法的逆運算，減去一個數，等于加這個數的相反數，從而使有理數的減法轉化為求和的運算。有理數減法法則可以表示成。
乘法法則
兩個有理數相乘，可以先確定積的符號，再確定積的絕對值。例如，。一般地，在有理數中仍然有：乘積是1的兩個數互為倒數。例如。此外，多個有理數相乘，可以把它們按順序依次相乘；幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數；幾個數相乘，如果其中有因數為0，那么積等于0。
除法法則
有理數的除法可以化為乘法，所以乘除混合運算中先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果（除數不能為0）。例如。
乘方法則
有理數的乘方法則：負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0。由于乘方是乘法的特例，因此有理數的乘方運算可以用有理數的乘法運算完成。1的任何次冪都是1，-1的偶次冪是1，奇次冪是-1。例如，。
混合運算法則
做有理數的加減乘除乘方混合運算時，應先乘方，再乘除，最后加減；加減法叫第一級運算，乘除法叫第二級運算，乘方叫第三級運算，同級運算，從左到右進行；如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。
例如。
運算定律
加法定律
有理數的加法中，兩個數相加，交換加數的位置，和不變。即。例如。
有理數的加法中，三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。即。
例如。
若，則。
乘法定律
一般地，有理數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。即。例如。
一般地，有理數乘法中，三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即。例如。
若，且，則；若，且，則。
混合運算定律
一般地，有理數運算中，一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。即。例如。
相關性質
有理數運算的封閉性
如果數集中的任意兩個數，進行某一運算的結果都仍在集中，可以說數集對這個運算是封閉的。在有理數集的加、減、乘、除（除數不為零）運算中，對于任意兩個有理數，對應的和、差、積、商（除數不為零）仍是有理數，這樣有理數集對于加、減、乘、除四種運算都是封閉的。
有理數的可比性
在數軸上表示有理數，有理數從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數小于右邊的數。例如，，，，。數學中對有理數的大小作出如下的規定：
1.負數和，如果它們的絕對值相等，就算作是相等的數。例如，這個規定叫做負數的同一化原則。
2.每一個負數都小于零，也小于任意的正數。即，（，是正數）。
3.每一個正數和零都大于任意的負數。即，（，是正數）。
4.在兩個負數里，絕對值大的那一個數較小，絕對值小的那個數較大。即如果，那么；如果，那么（，是正數）。
有理數是有序的，即任何兩個有理數可以比較大小。由數的擴展原則，有理數集的大小關系符合下面五個基本順序律：設，，是任意三個有理數。
1.順序的三分性：對于，，必有且僅有三種關系之一成立：，，；
2.相等的反身性：若，則；
3.相等的傳遞性：若，，則；
4.不等的反對稱性：若，則；若，則；
5.不等的傳遞性：若，，則。
有理數的稠密性
有理數集與整數集的一個重要區別是，有理數集是稠密的（即任意兩個有理數之間存在無窮多個有理數），而整數集是稀疏的。有理數是實數的稠密子集。反映在數軸上是任意兩個不同的有理點（有理數的對應點）和（有理數的對應點）之間存在無限多個有理點（有理數的對應點）。如有兩個有理點和之間的中點是一個有理點，而有理點和之間的中點及有理點和之間的中點也是有理點；且有理點和，有理點和，有理點和，有理點和之間的中點分別為，，，也都是有理點，這說明兩個有理數和之間存在無限多個有理點。有理點稠密地分布在整個數軸上。有理數的這一性質，叫有理數的稠密性。
相關證明
單調律
加法單調律：若，則。
證明：由可知，，，
所以。
乘法單調律：若，且，則；若，且，則。
證明：由可知，，根據乘法對加法的分配律得。如果，根據乘法法則有，即，所以；如果，根據乘法法則有，即，所以。
傳遞性
下面證明上一章中不等的傳遞性，即有理數的大小關系具有傳遞性。如果，，是有理數，且，，證明。
證明：如果，，這三個數中，沒有一個是負數，那么該論斷成立。如果，，中至少有一個是負數，這時有以下幾種可能：
1.，，中只有一個是負數。這個負數應該是，而可能是0，也可能是正數，一定是正數。見有理數大小比較法則，這時必有。
2.，，中有兩個是負數。這兩個負數應該是和，而可能是0，也可能是正數。根據有理數的大小比較法則，必有。
3.，，都是負數。已知，，根據有理數的大小比較法則，可推得，，于是再根據正數不等的傳遞性，可推得，可知。通過列舉各種可能的情況，并都得出了的結論，因此證得論斷是成立的。
應用
在日常生活和生產實踐中，經常會遇到具有相反意義的量，如表示溫度有“零上”和“零下”、經營情況有“盈利”和“虧損”、水位變化有“升高”和“降低”等等。因此，可將有理數相關知識應用到氣候、金融、水文觀測等領域以解決實際問題。
氣候領域
例：某市今天的最高溫為7℃，最低氣溫為0℃。據天氣預報，兩天后有一股強冷空氣將影響該市。屆時將降溫5℃。問兩天后該市的最高氣溫、最低氣溫約為多少攝氏度。
解：氣溫下降5℃，記為-5℃。則有
（℃），（℃）
所以，兩天后該市的最高氣溫約為2℃，最低氣溫約為-5℃。
金融領域
例：某公司去年1~3月平均每月虧損1.5萬元，4~6月平均每月盈利2萬元，7~10月平均每月盈利1.7萬元，11~12月平均每月虧損2.3萬元。這個公司去年總的盈虧情況如何。
解：記盈利額為正數，虧損額為負數。公司去年全年盈虧額（單位：萬元）為
（萬元）
答：這個公司去年全年盈利3.7萬元。
例：一儲蓄所在某時段內共受理了8項現款儲蓄業務：存入637元，取出1500元，取出2000元，存入1200元，存入3000元，存人1120元，取出3000元，存入1002元。問該儲蓄所在這一時段內現款增加或減少了多少元。
解：記存入為正，由題意可得
（元）
所以，該儲蓄所在這一時段內現款增加了459元。
水文觀測領域
在水文觀測中，常遇到水位的上升與下降問題，請根據日常生活經驗，回答下面問題。
（1）如果水位每天上升4厘米，那么3天后的水位比今天高或低多少厘米；3天前的水位比今天高或低多少厘米。
（2）如果水位每天下降4厘米，那么3天后的水位比今天高或低多少厘米；3天前的水位比今天高或低多少厘米。
解：規定水位上升為正，水位下降為負；幾天后為正，幾天前為負。
（1）按上面的規定，水位上升4厘米記作“+4”，3天后記作“+3”，則3天后的水位變化是；3天前的水位變化是。所以，3天后的水位比今天高12厘米；3天前的水位比今天低12厘米。
（2）按上面的規定，水位下降4厘米記作“-4”，3天后記作“+3”，則3天后的水位變化是；3天前的水位變化是。所以，3天后的水位比今天低12厘米；3天前的水位比今天高12厘米。
參考資料 >