導數（英語：Derivative），也叫導函數值，又名微商，是微積分中的重要基礎概念。當函數的自變量在點處產生一個增量時，函數值的增量與自變量增量的比值，在趨于0時的極限如果存在，該極限就是在處的導數，此時，稱函數在點可導。如果函數在開區間內每一點都可導，這時函數對于區間內的每一個確定的值，都對應著一個確定的導數值，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數的導函數。導數反映了函數相對于自變量的變化快慢。導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。
導數的思想是法國數學家皮耶·德·費瑪為解決極大、極小問題而引入的。17世紀，數學家牛頓、戈特弗里德·萊布尼茨等從不同的角度研究微積分，他們分別在研究力學與幾何學過程中建立了導數的概念。1797年，約瑟夫·拉格朗日首次給出了“導數”這一名稱，并用來表示。1817年，波爾查諾第一個將導數定義為：當經由負值和正值趨于0時，比無限接近地趨向的量。1823年，奧古斯丁-路易·柯西在他的《無窮小分析教程概論》中用與波爾查諾同樣的方式定義導數。
微分中值定理是導數應用的重要基礎，包括羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。利用導數可以分析函數的單調性，凹凸性和極值等性態，還可以利用洛必達法則計算未定式的極限。
發展歷史
大約在1629年，法國數學家皮耶·德·費瑪研究了作曲線的切線和求函數極值的方法；1637年左右，他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時，他構造了差分，其發現的因子就是導數。
17世紀，生產力的發展推動了自然科學和技術的發展，在前人創造性研究的基礎上，大數
學家艾薩克·牛頓、戈特弗里德·萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓在1671年寫了《流數術和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，他在這本書里指出：變量是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續變量叫作流動量，把這些流動量的導數叫作流數。1675年，數學家萊布尼茲率先使用微商記號。 1677年，萊布尼茲得到了一些正確的微分公式，其中包括四則運算求導數法則，但他沒有給出證明。
1737年，英國數學家辛普森在《有關流數的一篇新論文》中寫道：“一個流動的量，按它在任何一個位置或瞬間所產生的速率（從該位置或瞬間起持續不變），在一段給定的時間內，所均勻增長的數量稱為該流動量在該位置或瞬間的流數。”1750年，讓·達朗貝爾提出了關于導數的一種觀點，可以用現代符號簡單地表示為。也就是說，他把導數看作增量之比的極限，而不是看作微分或流數之比。1786年，拉格朗日用表示對的偏導數，這就是現代的偏導數符號。但是，這一符號當時沒有立即得到通用，1841年，卡爾·雅可比再次強調了這一符號，并引入表示全微分而表示偏微分。1797年，約瑟夫·拉格朗日在《復變函數》中首次給出了“導數”這一名稱，并用來表示。
1817年，波爾查諾第一個將導數定義為：當經由負值和正值趨于0時，比無限接近地趨向的量，并強調不是兩個0的商，也不是兩個消失了的量的比，而是前面所指出的比所趨近的一個數。1823年，奧古斯丁-路易·柯西在他的《無窮小分析教程概論》中用與波爾查諾同樣的方式定義導數。
19世紀60年代以后，卡爾·魏爾施特拉斯又創造了語言，對微積分中出現的各種類型的極限重加表達，導數的定義就成為現在所見的形式。
概念
基本定義
設函數在點的某鄰域內有定義。當自變量在點處有增量(點仍在該鄰域內）時，函數相應地有增量。若極限存在，則稱函數在點處可導（或有導數或導數存在），并稱此極限為函數在點處的導數，記作，，或。即。
若上式的極限不存在，則稱函數f(x)在點x。處不可導或導數不存在。不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導，但連續的函數不一定可導。
左右導數
若單側極限存在，則稱此極限為在點處的左導數，記為。
若單側極限存在，則稱此極限為在點處的右導數，記為。
如果函數在開區間內可導，且在左端點的右導數存在，在右端點的左導數存在，則稱函數在閉區間上可導。
導函數
如果函數在開區間內每一點都可導，在端點上只考慮單側導數。就稱函數在區間內可導。這時函數對于區間內的每一個確定的值，都對應著一個確定的導數值，這就構成一個新的函數，稱這個函數為原來函數的導函數，記作或，簡稱導數。而尋找該函數在某點的導數或其導函數的過程則稱為求導。
高階導數
若函數y=f(x)的導函數f'(x)仍可導，則稱為函數的二
階導數，記為或，即。
一般地，把的階導數的導數稱為的階導數，記為或。
偏導數
設二元函數在點的某個鄰域有定義，固定，給以增量，稱為在點處關于的偏增量。如果存在，則稱該極限為函數在處關于的偏導數，記作或。
類似的方法，可以定義關于的偏導數。
意義
幾何意義
如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在點處的導數就是該曲線在點處的切線的斜率，從而得切線方程為。
物理意義
物體作變速直線運動的運動方程為，設當時，物體位置在處，就是物體在時刻的瞬時速度，即。
導數的記號
表示導數的符號，有它發展變化的歷史。
早在1671年，數學家艾薩克·牛頓在他的著作《流數法和無窮級數)一書中，稱變量為“流量”，把流量的變化率叫做“流數”。這里所說的流數就是指“導數”的意思。如果以表示流量時，牛頓的流數用符號表示。并把的流數，記作。
用或者來表示導數的符號是法國數學家約瑟夫·拉格朗日創用的，所以又稱為拉格朗日記號。
從微分之比來觀察導數，又把導數叫做微商。也是表示導數的常用符號。1675年，數學家戈特弗里德·萊布尼茨率先使用微商，稱為萊布尼茲記號。
計算方法
基本公式
參考資料
四則運算
設函數在點可導，則也在點可導；當時，在點可導，且
(1)；
(2)；
(3)。
鏈式法則
復合函數的求導滿足鏈式法則。
設復合函數在點附近有定義，且，函數在點可導，函數在點可導，則函數在點可導，且。對于由多個函數復合而得的復合函數，其導數可以反復應用上式而得。
隱函數求導
設函數在點的某鄰域內具有連續的偏導數，且則方程在點的某鄰域內確定唯一一個函數，滿足，。
函數在的某鄰域內單值、有連續的偏導數，且有偏導數公式
。
參數方程
設參數方程其中在(a，β）上可導，確定了函數關系，則該函數的導數為。
性質
可導與連續
若函數f在處有導數，則在處必連續。但是函數的連續性不能保證可導性。例如，在處連續，但是在處不可導
中值定理
羅爾定理
如果函數滿足：
(1)在閉區間上連續；
(2)在開區間內可導；
(3）在區間端點函數值相等，即，
則在內至少存在一點，使得。
拉格朗日中值定理
若函數滿足：
(1)在閉區間上連續；
(2)在開區間內可導；
則在內至少存在一點，使得。
柯西中值定理
若函數滿足：
(1)在閉區間上連續；
(2)在開區間內可導；
則在內至少存在一點，使得。
泰勒公式
設函數在點處有階導數，則在附近可表示為
其中
可導的條件
函數在一點處可導的充要條件是其在此點處的左導數和右導數都存在且相等。
對于多變量函數，函數在定義域內點的可微性保證了它在此點關于每個變量的偏導數的存在
性，但是相反的命題是不對的。
復變函數在點可導的充分必要條件是二元函數均在點可微且在該點滿足。此時 ，函數在點的導數滿足公式：。
導數應用
求未定式極限
當極限時，極限有多種可能的結果，有時這個極限存在，而有時這個極限不存在。通常稱這類極限為未定式，并記為符號。同樣，當極限時，極限也有多種可能的結果，也稱這類極限為未定式，并記為符號。洛必達法則就是專門用來確定上述兩種未定式極限的一種有效方法。
洛必達法則一
設函數與滿足：
（1）在點的某一鄰域內（點可除外）有定義，且
（2）在該鄰域內可導，且；
（3）存在（或為）
則存在（或為）。
洛必達法則法則二
設函數與滿足：
（1）在點的某一鄰域內（點可除外）有定義，且
（2）在該鄰域內可導，且；
（3）存在（或為）
則存在（或為）。
以上兩個法則對于時的未定式”“，”“同樣適用。
例：求極限
解：設，滿足洛必達法則的條件，因為所以
。
研究函數性質
應用導數可以研究函數以及曲線的某些性態，這些形態包括單調性、凹凸性、極值與最值問題等。
函數的單調性
設f在開區間內可導，則有：
(1)在內單調增加的充要條件是；
(2)在內單調減少的充要條件是。
例：討論函數的單調性。
解：因為，解得
。當時，所以函數在上單調增加。當時，，所以函數在上單調減少，當時，，所以函數在上單調增加。
極值問題
設函數在開區間內連續。任給一點，如果存在，使得函數在左右兩側，的單調性不同，則為函數的極值點。若單調性相同則不是。
設函數在點的一個鄰域內可導。
(1)若在上，在上，
則在點取得極大值；
(2)若在上，在上，
則在點取得極小值。
設函數在處二階可導，，則：
(1)當時，在取極小值；
(2)當時，在取極大值；
(3）當時，不能判斷在是否取到極值。
例：求函數的極值。
解：是以為周期的周期函數，只考察的情況。
因為，解得。
由于，是極大值點，極大值為
由于，是極小值點；極小值為
凹凸性
設函數在區間上連續，如果對于上任意兩點恒有，那么稱曲線弧在區間上是(向上)凹的(或有凹弧)，也稱在區間上為凹函數（如圖1）；
如果恒有，那么稱曲線弧在區間上是(向上)凸的(或有凸弧)，也稱在區間上為凸函數（如圖2）。
可以利用下面的結論分析函數的凹凸性。
設函數在區間上連續，在內具有一階和二階導數
(1)如果在內，那么曲線弧在區間上是凹的；
(2)如果在內，那么曲線弧在區間上是凸的。
例：判定曲線的凹凸性。
解：因為。當時，所以曲線在內是凸的；當時，所以曲線在內是凹的。
證明不等式
例：證明：當0時，。
證明：設，在閉區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，從而存在，有又因為，，所以，而當時，，所以。
參考資料 >