拉格朗日中值定理（英文：Lagrange平均數 value theorem），又稱拉氏定理、有限增量定理，是微分學中的基本定理之一，拉格朗日中值定理提供了一種評估函數在給定區間內平均變化率的方法，反映了可導函數在閉區間上整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系。
拉格朗日中值定理將函數與導數聯系起來，是研究函數的重要工具。
歷史起源
拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開），與羅爾中值定理、柯西中值定理統稱為微分中值定理，是微分學的核心定理，它將函數與導數聯系起來，是研究函數的重要工具。微分中值定理完整地出現經歷了一個過程。
人們對微分中值定理的認識可以追溯到古希臘時代。古希臘數學家在幾何研究中已經發現: “過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”，這其實是拉格朗日中值定理的特殊情況，當時的數學家阿基米德 (Archimedes) 還利用這一結論求出了拋物線弓形的面積。
1635年，意大利數學家卡瓦列里(Cavalieri)在《不可分量幾何學》中描述：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的幾何形式。
1637 年，法國數學家皮耶·德·費瑪 (Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中給出了費馬定理，即函數在極值點處的導數為零。
1691 年，法國數學家羅爾 (Rolle) 在《方程的解法》一文中,給出多項式形式的羅爾中值定理，后來發展成一般函數的羅爾定理，并且正是由費馬定理推導而出。
1797年，拉格朗日中值定理由法國數學家約瑟夫·拉格朗日 (Lagrange) 在《復變函數》中首先提出，并提供了最初的證明。現代形式的拉格朗日中值定理由法國數學家O.博內提出。
19世紀10年代至20年代，法國數學家奧古斯丁-路易·柯西 (Cauchy)對微分中值定理進行了深入研究：1823年，他在《無窮小計算教程概論》中首次嚴格證明了拉格朗日中值定理；1829年，他在另一部著作《微分計算教程》中將其推廣為廣義中值定理——柯西中值定理，這也是最后一個微分中值定理。他的三部巨著還包括《分析教程》，這三部著作在分析上進行了嚴格的敘述和論證，對微積分理論進行了重構。
基本概念
拉格朗日中值定理
如果函數f(x)滿足下列條件:
(1) 在閉區間上連續；
(2) 在開區間內可導，
則在內至少存在一點，使得
b-a
該定理被稱為約瑟夫·拉格朗日中值定理，上式也被稱為拉格朗日中值公式，顯然，該公式對于也成立。
關于拉格朗日中值定理，有幾點注意事項：
有限增量公式
約瑟夫·拉格朗日中值公式也可以改寫為：
。
設, 在以為端點的區間上，由拉格朗日中值公式，
有quad
記，則有
即
這個公式被稱為有限增量公式，它精確地表達了函數在一個區間上的增量與函數在該區間內某點處的導數之間的關系。
證明
作輔助函數f(x)
容易驗證在連續, 在可導, 且。
根據羅爾中值定理，在內至少存在一點，使。
而
于是 ，
也就是
證畢。
幾何意義
如下圖所示，函數f(x)滿足在閉區間上連續，在開區間內可導，連接，則在中至少存在一點，曲線在點處的切線平行于弦 。由于曲線在點處切線的斜率為，弦的斜率為，因此有
這就是拉格朗日中值定理的幾何意義，它表明：一個可微函數的曲線段，必有一點的切線平行于曲線端點的弦。
推論
推論 1
如果函數在區間上的偏導數恒為零，那么f(x)在區間上是一個常數。
證明如下：
在區間上任取兩點，不妨設，則函數在區間上 滿足拉格朗日中值定理的條件，
即
由于, 所以，因此有
由于是上任意兩點, 故f(x)在上的函數值總是相等的，即在上是一個常數。
證畢。
推論 2
如果函數和在區間上的導函數處處相等，即，則和在上只相差一個常數，即存在一個常數，使得。
證明如下：
構造函數，則
由推論 1 知，即
證畢。
應用
拉格朗日中值定理的應用比羅爾中值定理和柯西中值定理的應用更加廣泛，因為它對函數的要求更低，而且建立了函數增量、自變量增量及導數之間的聯系，這為利用導數解決函數的相關問題提供了重要支撐。拉格朗日中值定理在微分學中占有重要的地位，在研究函數的單調性、凹凸性以及求極限、恒等式、不等式的證明、判別函數方程根的存在性、判斷級數的斂散性、證明與函數差值有關的命題、計算未定式極限等方面都可能會用到，其幾何意義也有較為廣泛的應用。在化學、物理等其他專業領域，也可以利用拉格朗日中值定理來進行計算和研究，例如在化學中計算相對于時間的反應級數，在物理中研究航空重力異常向下延拓方法等。在經濟學中，拉格朗日中值定理被用于優化問題，特別是在研究成本和收益函數時。
不等式的證明
證明: 當時，恒成立。
證明過程如下：
構造，
對求導可得
。
當時，在上滿足拉格朗日中值定理條件，
即-0
整理可得：
由于，因此有
即
證畢。
恒等式的證明
證明：等式arccos恒成立。
證明過程如下：
構造-1，
對求導可得
sqrt，
由推論1可知，在內為常數，即。
又因為， 所以。
因為 在處右連續，在處左連續，
所以-1
即arccos。
證畢。
相關概念
羅爾中值定理
如果函數滿足下列條件:
(1) 在閉區間上連續；
(2) 在開區間內可導；
(3) 在區間端點的函數值相等，即，
則在內至少存在一點，使得
羅爾中值定理的幾何意義如右圖所示，函數滿足在閉區間上連續，在開區間內可導，區間的端點高度相同，連接，則在中至少存在一點，曲線在點處的切線平行于軸。
如果取消羅爾中值定理的第三個條件，就得到更一般的拉格朗日中值定理。或者說，拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣。
柯西中值定理
如果函數及滿足：
(1) 在閉區間上連續；
(2) 在開區間內可導；
(3) 在區間內任一點，都有，
則在內至少存在一點，使得
柯西中值定理具有如下幾何意義：用參數方程表示的曲線上至少存在一點，使過該點的切線平行于過曲線兩端點所在的直線。
柯西中值定理包含了拉格朗日中值定理和羅爾中值定理。在柯西中值定理中令， 可得到拉格朗日中值定理。或者說，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形。
積分中值定理
如果函數在在閉區間上連續，則存在使得
如圖所示，積分中值定理表面：曲邊梯形的面積和一個以為高的同底矩形的面積相等。
復數域中的拉格朗日中值定理
設復變函數在區域內解析，為內任意一點，那么對于點的某鄰域subset，及任意點 ，存在滿足一點，使得。
該定理可以看作拉格朗日中值定理在復數域中的推廣。
復數域中的柯西中值定理
設復變函數在區域內解析，為內任意一點，是的圓形鄰域， ，則存在滿足的一點，使得。
參考資料 >
mean-value theorem.britannica.2023-05-19
拉格朗日中值定理.術語在線.2023-05-19