柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學(xué)的基本定理之一。其幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式。
柯西中值定理粗略地表明，對于兩個端點(diǎn)之間的給定平面弧，至少有一個點(diǎn)，弧的切線通過其端點(diǎn)平行于切線。
柯西簡介
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），出生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔(dān)任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護(hù)波旁王朝的正統(tǒng)派，是一位虔誠的天主教徒。并且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很高的建樹和造詣。很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。
定理定義
柯西（Cauchy）中值定理 設(shè)函數(shù)滿足:
⑴在閉區(qū)間上連續(xù)；
⑵在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；
(3)對任意的;
那么在 內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得成立.
在柯西中值定理中，若取時，則其結(jié)論形式和拉格朗日中值定理的結(jié)論形式相同。
因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。
證明
可構(gòu)造輔助函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且有
由羅爾中值定理可知，存在，使得，即又，所以有
此外，在柯西中值定理中，若取時，其結(jié)論形式和拉格朗日中值定理的結(jié)論形式相同。
所以，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；相反，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。
幾何意義
若令，這個形式可理解為參數(shù)方程，而則是連接參數(shù)曲線兩端點(diǎn)弦的斜率，表示曲線上某點(diǎn)處切線的斜率，在定理的條件下，結(jié)論可理解如下：用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，在這一點(diǎn)處的切線平行于連接兩個端點(diǎn)的弦。
值得注意的是，雖然用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。
但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(diǎn)和都存在切線，因為可能存在一些c值使,換句話說取某個值時位于曲線的駐點(diǎn);在這些點(diǎn)處，曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子
在區(qū)間上，曲線由到卻并無一個水平切線;然而它有一個駐點(diǎn)(實際上是一個尖點(diǎn))
柯西中值定理可以用來證明洛必達(dá)法則，拉格朗日中值定理是柯西中值定理當(dāng)時的特殊情況。
應(yīng)用例子
泰勒公式的證明
柯西中值定理最主要的應(yīng)用是證明帶有約瑟夫·拉格朗日余項的階泰勒公式，只要反復(fù)使用柯西中值定理多次就能證明，下面以為例說明。
例1設(shè)在內(nèi)二次可微，證明：任意的，在之間存在，使
這就是函數(shù)在點(diǎn)鄰域內(nèi)的一階泰勒公式。
證明：令利用在兩次應(yīng)用到柯西中值定理后可以得到：
命題得證。
洛必達(dá)法則的證明
柯西中值定理的一個最重要的應(yīng)用就是可以推導(dǎo)計算待定型的極限最有效的方法——洛必達(dá)法則。
洛必達(dá)法則是求兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限。在滿足一定條件下可以化成兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值極限，這樣就有可能使得原待定型變成簡便而有效的求非待定型極限的問題。
我們得出下面這個定理（洛必達(dá)法則）：
⑴兩個函數(shù)和在開區(qū)間可微，并且在這個開區(qū)間上，的導(dǎo)數(shù)不等于0；
⑵存在極限（或），其中A為一個有限的常數(shù)。則在以下情況下：（或者和）。那么就有：（或）。在區(qū)間的另一個端點(diǎn)也存在類似的結(jié)果。這個定理就稱之為洛必達(dá)法則，能有效地應(yīng)用于待定型的極限計算。
不等式的證明
柯西中值定理在不等式的證明也有廣泛應(yīng)用，關(guān)鍵是和要選得恰當(dāng)。
例3.試證明當(dāng)時，（引用文內(nèi)原題，解法重新作出）。
證明:設(shè)則在區(qū)間上滿足柯西中值定理條件，所以存在，使，
即
結(jié)論得證。
中值點(diǎn)的存在性證明
中值點(diǎn)的存在性的證明是柯西中值定理最典型的應(yīng)用之一。
例4設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得證明:設(shè)，，顯然在上滿足柯西中值定理的條件，于是存在，使得
即存在，使得，即可得結(jié)論。
求極限的用法
奧古斯丁-路易·柯西(Cauchy)中值定理是微分中值定理的三大定理之一，它比羅爾(Rolle)定理與約瑟夫·拉格朗日(Lagrange)中值定理更具一般性，也具有更廣泛的應(yīng)用性，但大多高等數(shù)學(xué)的教材中僅介紹了柯西中值定理及其證明，對該定理的應(yīng)用涉及較少，不利于學(xué)生對該定理的理解并發(fā)揮其應(yīng)用價值。下面介紹一下利用柯西中值定理在求極限中的應(yīng)用。
例：求極限
解:①當(dāng)時，故②當(dāng)時，令，
則與在上滿足柯西中值定理的條件，故存在，使得即故從而故又因為，所以，所以。綜合1、2，得：說明：柯西中值定理常用來求含形式的極限問題。
參考資料 >