幾何學（英文名：Geometry），主要用來研究空間物體的形狀、大小和相互關系，是一門偏重于推理和論證的高度理論化學科，是數學中一門極為重要的分支學科。
幾何學是在人類生活和生產實踐中產生和發展起來的，是為了解決測量中的實際問題而產生的，其發源于古代中國、古埃及、巴比倫以及古等文明古國，在古希臘幾何學成為了一門獨立學科，并得到了蓬勃的發展。歐幾里得幾何是幾何學中第一個誕生的分支，代表了幾何學早期發展的基本情況；勒內·笛卡爾發明的坐標系創立了解析幾何，使得幾何學代數化；非歐幾里得幾何的發現不僅最終解決了平行公設的問題，而且把幾何學從其傳統模型中解放出來；長城歐拉和加斯帕爾·蒙日使得幾何學的研究由平面曲線轉向了空間曲線和曲面，和伯恩哈德·黎曼提出的內蘊幾何則使幾何學的對象從一維、二維推向高維，改變了導數幾何學的研究方式。
幾何學中的重要概念有點、線、面、長度的測量等。幾何學有一些應用比較廣泛、使復雜問題簡單化的定理，如畢達哥拉斯定理、平行線性質定理、三垂線定理、唯一性定理等。幾何學理論和知識在物理、藝術、醫學等領域中應用廣泛，如借助黎曼幾何構建了，發現規范場與纖維叢的對應關系；設計的，在其棚頂結構中可以看到許多光滑的曲線，里面有兩組彼此垂直的曲線結構，應用了幾何學中的葉狀結構。
定義
幾何學，是研究空間物體的形狀、大小和相互關系的一門基礎學科，在方法論上是一門高度理論化的學科，偏重于推理和論證。在數學各分支學科的形成上，歐幾里得《幾何原本》是最先形成的數學科學體系，解析幾何和非歐幾何的產生，是數學思想上的重大突破和革命，前者導致常量數學到變量數學的轉變，后者導致向空間多樣性的轉變；在科學方法論的創建上，公理化方法的產生，坐標方法的產生，都是從幾何學開始的，因此幾何學是數學領域里一門極為重要的學科。
名稱由來
“幾何學”一詞，拉丁文是geometria，英文名為“Geometry”，希臘文，是由（土地）和（測量）二字合成，原義是土地測量的意思。幾何學的產生與土地測量有關。中文里的幾何學一詞是由中國明朝的數學家徐光啟（公元1562~1633年）翻譯名著《幾何原本》時翻譯得來。
研究對象
幾何學的研究對象是研究物體的形狀、大小和位置關系，只研究物體的形狀、大小和位置關系，而不考慮物體的其他性質。點、線、面或若干個點、線、面組合在一起，就形成了幾何圖形。
恩格斯認為幾何學的對象側重研究現實物質世界的空間形式，而算術、代數和函數等側重研究現實物質世界的數量關系，恩格斯的論斷表明幾何學的對象主要是研究現實世界的空間形式，幾何對象來源于客觀世界，幾何對象是抽象化和理想化的概念。
分類
平面幾何
平面幾何是研究平面上的圖形和性質的，是歐幾里得平面幾何的基礎部分，通常稱具有這些性質的這個平面為歐幾里得平面，或歐幾里得二維空間，它就是解釋平面的一個數學模型。在這個平面上，平行線的理論滿足歐幾里得平行公理：“過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”，根據這條公理可以推出“三角形的內角和等于二直角”等。尼古拉·羅巴切夫斯基平面幾何和伯恩哈德·黎曼平面幾何，也都是研究平面上圖形性質的幾何學，所研究的這個平面，前者稱為羅巴切夫斯基平面，后者稱為黎曼平面，它們也都是解釋平面的不同數學模型。但是，在羅氏平面上，平行線的理論滿足羅氏平行公理：“過直線外任一點至少存在兩條直線與已知直線不相交”，根據這條公理可以推出“三角形的內角和小于二直角”，在平面上不存在“不相交的兩條直線”，即滿足黎氏平行公理：“過直線外任一點不存在直線與已知直線不相交”，根據這條公理可以推出“三角形的內角和大于二直角”。
立體幾何
立體幾何是研究空間圖形大小、形狀和相互位置關系等幾何性質的科學，主要介紹空間幾何學的一些基本概念以及幾何形體之間的關系，著重討論了空間直線和平面的位置關系、空間立體的體積、表面積的計算公式。立體幾何是三維歐氏空間的幾何學的傳統名稱，又稱空間幾何學，即初等幾何學的空間部分。立體幾何是建立在歐幾里得公理體系基礎上的三維歐氏空間幾何學，故又稱為三維歐幾里得幾何，簡稱三維歐氏幾何。
基本概念
圖形
歐幾里得定義點為沒有可以分割的部分。以及通過使用代數或嵌套的集合。在幾何學中，用“點”來標記一個位置，點就是位置的抽象化。抽象地來說，就是一個“動點”從一個點的位置移動到另一個點的位置。
歐幾里得將線定義為只有長度沒有寬度。幾何學中用“線段”表示動點所經過的路徑，且最短路徑唯一存在，把線段的一段無限延伸，可以得到一條射線，射線只有一個端點。各線段中以直線段最簡單也最基本，直線沒有端點，可以向兩端無限延伸。相異兩點定一直線，相反，相交兩直線定一點。
認為面只有長度和寬度，面的邊緣是線。在各種“面”中，以平面為最簡單、最常用，平面就是一個到處平直而且可以向四方無限延伸的面。它的特性是：對于面上任給相異兩點、，其所決定的直線完全包含在這個面之內。主要推論：不共線三點定一平面；一直線及線外一點決定一平面；相交兩直線決定一平面。
由一點出發的兩個射線所構成的圖形叫做角。平面角是在一平面內但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。兩條射線的公共端點叫做角的頂點，組成角的射線叫做角的邊。
在平面上不相交的兩條直線叫做平行線。用符號“”表示，若直線平行于直線，則記作。
在幾何學中，體是幾何體的簡稱，比如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體。
如果點集是由開的直線段上的點所組成，它到內的點集建立的對應是一個拓撲映射，則稱B為簡單曲線段。即簡單曲線段是開的直線段在中的同胚象。直觀地說，對直線段進行不粘連、不斷裂的任意彎曲變形后，就得到一條簡單曲線段。例如圓弧、圓柱螺線等。
流形是局部具有歐氏空間性質的拓撲空間，粗略地說，流形上每一點的附近和歐氏空間的一個開集是同胚的，流形正是一塊塊歐氏空間粘起來的結果。流形具有整體上的柔性和可流動性。如果流形上每兩個點之間可以連續地過渡，那么稱為連續流形。而如果流形由離散的點組成，則稱為離散流形。
測量
長度是一維空間的度量，是國際單位制中的七個基本物理量的量綱之一，一般用符號表示。通常在量度二維空間中量度直線邊長時，稱長度數值較大的為長，不比它的值大或者在“側邊”的為寬。所以寬度其實也是長度量度的一種，所以在三維空間中量度“垂直長度”的高。測量工作的法定長度計量單位為公制單位，具體換算如下：1米=10分米=100厘米=1000毫米；1百米=100米；1千米=1000米。
面積是指平面上一個封閉圖形所包圍的平面部分（區域）的大小。取定一個平面圖形（一般取邊長等于長度單位的正方形）作為計算面積的單位，叫做面積單位。將平面封閉圖形包圍的區域所含有面積單位的數量，叫做該圖形的面積，一般用符號表示。比如平行四邊形的面積以底和高的乘積作為度量；三角形的面積以底高乘積的一半作為度量；梯形的面積以兩底之和的一半與高的乘積作為度量。
體積是指物體所占空間的大小，一般用符號表示。計量體積的常用單位有立方厘米、立方分米和立方米。為了唯一地度量體積，取棱長等于單位長的立方體作為體積單位（與它所對應的數是1），于是任何體積的度量數，就是該體積與單位體積的比值。
性質
在幾何學中，如果兩個形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合，則把這兩個圖形叫做全等形（congruent figures）。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等三角形判定定理：兩邊和夾角對應相籌的兩個三角形全等。設有三角形和三角形，如果的長度等于的長度，的長度等于的長度，，則這兩個三角形全等。
在幾何學中，把形狀相同的圖形叫做相似形（similar figures），兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到。兩個邊數相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形（similar polygons）。相似多邊形對應邊的比叫做相似比（similarity ratio）。在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形（similar triangles）。相似三角形判定定理：兩對對應邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似。在兩個三角形與中，如果與的長度比和與的長度比相等，而且與相等，則已知兩個三角形相似。
如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形（axi-symmetric figure），這條直線就是它的對稱軸（axis of symmetry）。此時這個圖形關于這條直線（成軸）對稱；把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點（symmetric points）。
把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱（central symmetry），這個點叫做對稱中心（簡稱中心）。這兩個圖形在旋轉后能重合的對應點叫做關于對稱中心的對稱點。
簡史
古代時期
幾何學是在人類生活和生產實踐中產生和發展起來的，有著古老文化的中國、埃及、巴比倫以及印度等文明古國都是幾何學的重要發源地。古埃及人最早把數學資料寫在草片上（公元前1700年），記載著一些數學問題和他們的解答。古代巴比倫人則把數學資料刻在印泥板上，后來的泥板表明，巴比倫天文學家實施了梯形程序來計算木星在時間速度內的位置和運動空間。這些幾何程序將牛津計算器（包括平均速度定理）提前了14個世紀。在中國，從出土的文物中可以看到，當人類進入石器時代，從打獵、捕魚和采集食物當中，就初步認識了一些簡單的幾何圖形。
幾何學概念的形成
在人類生活和從事生產的各種實踐活動中，通過接觸自然界一些物體的形狀、大小和位置關系，經過人類的思考、抽象逐步形成了形體的觀念。古埃及人為了治理尼羅河定期泛濫情況，促進幾何學——測地術的誕生。在埃及南部，古代努比亞人建立了一個幾何系統，包括早期版本的太陽鐘。“蘭德”紙草書（Rhind papyri）是尚存的最古老的數學文獻，載有85個數學問題，其中26個是關于幾何學的；印度幾何學最早記錄于《繩法經》（Sulba sutras），記載了各種祭壇的結構和測量準則。《繩法經》之后，算家之第一人當推（Aryabhata，公元前476年~?），他的著作《阿耶波多文集》中涉及到的幾何知識有勾股定理、三角形的面積、圓的面積等。繼阿耶波多之后的另一位數學家兼天文學家（Brahmagupta，公元598~665年以后），他在公元628年完成了《婆羅摩修正體系》，婆羅摩多在幾何方面的杰出成果是獲得了四邊形的面積公式；在中國，幾何萌芽于舊石器時代。在公元前6000年左右，中國祖先就已經會制造許多幾何形狀的彩陶器了。隨著農牧業、手工業、土木建筑等的出現和發展，人們為了解決生產中遇到的測量、制圖、幾何計算、天文等實際問題，開始探討各種幾何圖形的性質和相互聯系，概括出某些幾何規律，逐步積累了更多的幾何知識，并在很早就發現了重要的直角三角形和簡易測量的知識。
歐幾里得幾何
在幾何學的早期發展中，希臘人吸收了埃及的文化并加以發展，他們把從古埃及和古巴比倫得來的經驗知識加以思考、整理使其理論化，而且把理論知識應用于實際。在這方面做出重要貢獻的是世界上最早的數學家塔利斯（Thales，前624~前546年），他被人們推崇他為古希臘七賢之首，在歷史上人們稱他為“科學之祖”。他在研究對頂角、三角形全等和相似及其應用等方面做出了重要貢獻。著名哲學家和數學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580~前568年生，公元前501~前500卒）在數學方面的主要成就是畢達哥拉斯定理，中國稱為勾股定理，也稱商高定理。此后，數學家（Euelid，約公元前330~前275年）系統地總結前人工作，寫出了偉大的著作《》（Elements），定義了最原始的點、線、面，并且提出了5條公理和5條公設。
歐幾里得之后的平面幾何學
在歐幾里得之后，公元前2世紀，古希臘數學、力學家阿基米德（Archimedes，公元前287~前212年）證明了圓面積等于以半圓周為長邊，以半徑為短邊的長方形的面積；給出了圓周率的界：，以及正圓柱、圓錐表面與球面積的計算公式等。與阿基米德幾乎同一時期的古希臘數學家阿波羅尼斯（Apollonius，公元前262~前190年）系統地研究了圓錐曲線的性質，他還證明了：平面上給定兩點和，以及常數，使的動點的軌跡是圓，其中的圓即是阿波羅尼奧斯圓。公元1世紀，古希臘數學家梅涅勞斯（D.Menelaus，公元1世紀）證明了，分別在的三邊，和上的點，和共線的充要條件是。這就是梅涅勞斯定理。之后，古希臘數學家克羅狄斯·托勒密（C.Ptolemy，約公元100~170年）證明了下面的托勒密定理：凸四邊形內接于圓的充要條件是，它的對角線乘積之和等于對邊乘積之和，古希臘數學家海倫曾經評注過的《》，增補了一些新定理，包括他本人給出的正多邊形面積公式，圓臺、棱臺、截球體和正多面體等的體積公式，以及阿基米德所發現的海倫公式。到公元3世紀，古希臘數學的黃金時代已成過去，這時期的古希臘數學家主要工作是搜集、整理和評注歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼斯等人的著作。
近代時期
推動幾何學第二個重要的、歷史性發展的人是勒內·笛卡爾（Descarte，1596~1650年）。他是法國哲學家，不是專門研究數學的。他用坐標的方法，把幾何學變成了代數。在此期間，歐幾里得的第5公設（平行公設）存在一定問題，人們對“第五公設”整整研究了兩千多年，最終非歐幾里得幾何的發現不僅解決了平行公設的問題，而且把幾何學從其傳統模型中解放出來，創造了許多不同體系的幾何學道路。非歐幾何的發現具有較大的社會意義，因為它表示空間不一定只有一個。一個空間可以有好幾種坐標，怎樣描述空間，空間有什么樣的幾何學性質，針對這一問題高斯與伯恩哈德·黎曼建立和發展了這方面的理論。他們把坐標一般化，使坐標不一定有意義，即空間的個數是無窮的，有很多很多不同的空間。
射影幾何
射影幾何學是一門討論在把點射影到直線或平面上的時候，圖形的不變性質的一門幾何學。射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開辟的，最終由彭賽勒的研究使得射影幾何真正獨立。1822年，他發表了《論圖形的射影性質》一文。后來，他的許多概念被斯坦納進一步發展。1847年，斯陶特發表了《位置幾何學》一書，使射影幾何最終從測量基礎中解脫出來。射影幾何學在航空、攝影和測量等方面都有廣泛的應用。18世紀后期，加斯帕爾·蒙日提出了二維平面上的適當投影表達三維對象的方法，因而從提供的數據能快速算出炮兵陣地的位置，避開了冗長的、麻煩的算術運算。后來研究證明，采用度量適當的射影定義，能在射影幾何的范圍內研究度量幾何學。將一個不變圓錐曲線添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統的非歐幾何學。在19世紀晚期和20世紀初期，對射影幾何學作了多種公設處理，并且有限射影幾何學也被發現。事實證明，逐漸地增添和改變公設，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何，其間經歷了許多其它重要的幾何學。
解析幾何
在迪沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時，勒內·笛卡爾和皮耶·德·費瑪開始構思解析幾何的概念。這兩項研究之間存在一個根本區別：前者是幾何學的一個分支，后者是幾何學的一種方法。塔比特·伊本·古拉（Thābitibn Qurra，公元836~901年）處理了應用于幾何數量比率的算術運算，并為解析幾何的發展做出了貢獻。奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyám，1048~1131年）發現了三次方程的幾何解。1637年，笛卡爾（Descarte，1596~1650年）出版《幾何》一書，發明了笛卡爾坐標系，創立了解析幾何。《幾何》通過使用代數方法解決幾何問題，重點討論了冠以古希臘數學家帕普斯（Pappus of Alexandria，公元前290年~公元前350年）名字的帕普斯問題。在解析幾何出現之前，幾何和代數是分開的，幾何的問題只能通過幾何的方法解決，代數的問題也只能通過代數的方法解決。
解析幾何的基本思想是用代數法研究幾何性質，把形和數完全融合為一體，用有序的實數組表示點，用方程表示直線，平面或其他曲線和曲面。十六世紀末，維特（Viete）所著的“代數”啟發了笛卡爾（Descarte，1596~1650年）和皮耶·德·費瑪（Fermat，1601~1655年），使他們想到可以用新興的代數學作為研究幾何學的有力工具，解析幾何的產生不但為空間的研究開辟了新的途徑，而且把整個幾何學的研究從原先“定性的層面”推進到能進行有效計算的“定量的層面”。費馬和笛卡爾研究解析幾何的方法不同，費馬是從方程出發來研究它的軌跡，而笛卡爾是從軌跡出發建立它的方程，這是解析幾何中一個問題的正反兩個方面的提法，這兩種提法各有側重，費馬是從代數到幾何學，而笛卡爾是從幾何學到代數。解析幾何的產生，對數學產生深遠的影響，并為牛頓、萊布尼茲發現微積分開辟了道路，為數學分析的出現提供了基礎。
非歐幾何
非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏（尼古拉·羅巴切夫斯基）幾何學；廣義的，泛指一切和歐氏（歐幾里得）幾何不同的幾何學；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。歐幾里得的第5公設（平行公設）在數學史上占有特殊的地位，它與前4條公設相比，性質顯得太復雜了。為了尋求真理，許多數學家對平行公理進行了長期艱苦的工作。最終非歐幾何的發現不僅解決了平行公設的問題——平行公設被證明是獨立于歐氏幾何的其它公設的，而且把幾何學從其傳統模型中解放出來，創造了許多不同體系的幾何學道路。
尼古拉·羅巴切夫斯基（JIoóayeBKй，1792~1856年）認識到歐幾里得平行公理是建立歐氏幾何所必需的，如果采用一個與此相矛盾的命題從一組新公理來推導結論，便產生了新的幾何學——羅氏幾何。以羅巴切夫斯基的觀點為例，在所有不用歐氏平行公理的地方證明與歐氏幾何相同的結果，而涉及第五公設時，他假設過直線外一點至少可作兩條直線與已知直線不相交，都是該直線的平行線，繼而推導出一整套的與歐氏幾何平行的理論體系，并且在物理學中得到應用。羅氏幾何的發現是19世紀關于數學本質認識上的最大進展。它的直接結果使歐氏平行公理對其他公理是獨立的。尼古拉·羅巴切夫斯基為非歐幾里得幾何的生存和發展奮斗了三十多年，為了擴大非歐幾何的影響，爭取早日取得學術界的承認，除了用俄文外，他還用法文、德語發表了自己的著作，同時還精心設計了檢驗大尺度空間幾何學特性的天文觀測方案。不僅如此，他還發展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個完整的、有系統的理論體系。羅氏幾何的發現，打破了歐氏幾何一統空間的觀念，促進了人類對幾何學廣闊領域的進一步探索。
非歐幾何除了羅氏幾何還有黎曼幾何，黎曼幾何是德國數學家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826~1866）在繼承和發展高斯的內蘊幾何思想的同時，把幾何學的對象從一維、二維推向高維，引入了流形的概念，并利用高斯曲率定義了黎曼曲率張量，由此創立了黎曼幾何。內蘊幾何最早由高斯提出，并給出若干內蘊研究方式的案例，使得更多的微分幾何問題的解決成為可能。gaussian形成內蘊幾何思想并認識到內蘊思想重要性的關鍵，在于一個被他稱為絕妙的：“如果一個曲面可以展到另一個曲面，對應點的曲率保持不變?！奔纯偳适莾忍N的。1854年，黎曼在就職講師的演講中，提出了另一種不同于、也不同于尼古拉·羅巴切夫斯基的新幾何學，首次提出流形的概念，在流形上定義度量、曲率，通過引入這些新概念，解決空間本質和幾何學建構的基本問題。黎曼認為，平行是不存在的，即“在一個平面上過直線外一點的所有直線，都與這一直線相交?！崩杪蒙鲜雒}作為公理，替代歐幾里得的平行公理，并由此推出了“三角形內角和大于180°”的結論。黎曼不但將內蘊導數幾何學推廣至高維，而且轉變了內蘊微分幾何學的研究對象，使得不依賴于歐氏空間背景的流形成為研究對象。
就在黎曼逝世的第三個年頭，羅巴切夫期基逝世的第十二個年頭，1868年，意大利數學家歐金尼奧·貝爾特拉米（Beltrami，1935~1900年）發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實現，這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。同時，他還給出了非歐幾里得幾何在歐氏空間的曲面上的實際解析。例如，把黎曼幾何看成類似于球面上的幾何學等。兩年后，德國數學家菲利克斯·克萊因（Klein，1849~1925年）也給出了另一種實際解析，他把歐氏幾何稱為“拋物幾何”，因為它的直線有一個無窮遠點；而羅氏制藥幾何稱為“雙曲幾何”，因為它的直線有兩個無窮遠點；黎曼幾何則稱為“橢圓幾何”，它的直線沒有無窮遠點。經歐金尼奧·貝爾特拉米和克萊因兩人的解析，非歐幾何終于得到了人們的認可。尼古拉·羅巴切夫斯基和黎曼的獨創性研究也由此得到學術界的高度評價和一致贊美，這時的羅巴切夫斯基則被人們贊譽為“幾何學中的尼古拉·哥白尼”。
現代時期
拓撲學
拓撲學（Topology）原名叫做位置分析（Analysis situs），是研究圖形（或集合）在連續變形下還能保持不變的一些整體性質的一門學科。在拓撲學中人們只關心對象間的位置關系而不考慮它們的形狀和大小。拓撲學可分為一般（點集）拓撲學、組合拓撲學（代數拓撲）和微分拓撲學。拓撲學最早可以追溯到兩千多年前（Euclid，約公元前330~公元前275年）所建立的歐氏幾何學，當時的Klein最先定義拓撲學為空間（在Klein那里意味著歐氏空間）的從屬于最一般的一對一連續變換群的幾何學。即維實數空間的一對一連續變換稱的拓撲變換，簡寫為。后來經過法國數學家H.龐伽萊（H.Ponicaré，1854~1912年）工作的研究，拓撲學逐漸成為比較成熟的數學分支和活躍的研究方向。中文“拓撲學”一詞最早由陳省身根據英文Topology音譯而來。主要研究幾何學圖形或空間在連續變換形狀后保持不變的一些性質，這些性質通常稱為拓撲性質。
計算幾何學
計算幾何學于20世紀70年代末從算法設計與分析中分化而來，既是一門數學，又是計算機理論，已在計算機領域被廣泛認同的新型學科。主要研究幾何學模型和數據處理的相關問題，探討幾何學形體的計算機表示，并分析和設計，如何靈活、有效地建立幾何學形體的數學模型以及在計算機中更好地存儲和管理這些模型數據。在圖形學、機器人技術、超大規模集成電路設計和統計等諸多工程與數學領域有著十分重要的應用。
凸幾何學
凸幾何學（Convex Geometry）是19世紀下半葉萌芽、20世紀初形成、20世紀中后期蓬勃發展起來的一門現代幾何學科。凸幾何學的核心內容為Brunn-Minkowski理論，主要發端于經典的等周問題。19世紀末期，H.Minkowski證明了下面的著名不等式：
等號成立當且僅當與同位相似。這里，表示維歐氏空間中的凸體（即中有非空內點的緊致凸集），，表示上的Lebesgue測度，+表示Minkowski加法。上面的不等式被稱為Brunn-Minkowski不等式，其三維情形最早由H.Brunn在19世紀中后期給出。
20世紀初，凸幾何學繁榮發展。A.D.Aleksandrov、W.Fenchel、B.Jessen等數學家的工作使得凸幾何學得到了進一步的發展。他們提出了混合面積測度的概念，討論了凸體的投影理論和均質積分，得到了另一個有著基本重要性的不等式一Aleksandrov-Fenchel不等式。A.D.Aleksandrov還將凸幾何學理論應用到了橢圓型偏微分方程的研究當中；W.Blaschke和他領導的積分幾何學派主要討論了二維和三維的凸幾何學，定義了凸體的Blaschke和等重要的幾何學概念，建立了著名的Blaschke-Santalo不等式。中國數學家陳省身、吳大任在這一時期也對凸幾何學做出了重要的貢獻。
進入20世紀90年代，R.J.Gardner、G.Y.Zhang、A.Koldobsky、K.Ball、A.A.Giannopoulos等數學家對于Busemann-Petty截面問題的研究使得整個凸幾何學理論的發展達到高潮。比如E.Lutwak，D.Yang和張高勇（G.Zhang）等人在凸幾何學與傳統的信息論之間建立了聯系，通過R.J.Gardner和A.Vassallo等人的工作，使得凸幾何學在體視學（stereology）與機器人學中的幾何學探索（geometric probing）等領域得到了應用，并且已經形成了一門新的交叉學科——“幾何斷層學”（Geometric Tomograply）。凸幾何學還在醫學（X-射線光機、CT掃描、核磁共振）、計算機模式識別、仿晶學（sryslallography）、數理經濟學等領域得到了越來越多的應用。
相關著作
《幾何原本》
《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果與精神于一身，既是數學巨著，也是哲學巨著，并且第一次完成了人類對空間的認識。該書自問世之日起，在長達兩千多年的時間里，歷經多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，已有一千多種不同版本。《幾何原本》共有十三卷，首先給出了點、線、面等定義，接著給出了關于幾何學和量的10條公理，如“凡直角都相等”“整體大于部分”，以及后來引起許多紛爭的“平行線公理”，等等，公理后面是一個一個的命題及其證明。比如有平面作圖、、余弦定理等問題，此外還有比例的理論，正整數的性質與分類，無理量等，公理化結構是近代數學的主要特征，《》是公理化結構的最早典范。
《幾何》
《幾何》由法國數學家勒內·笛卡爾出版于1637年，被公認為解析幾何學誕生的標志。《幾何》一書把代數應用于幾何，使兩者結合起來的產物，建立了曲線和方程的對應關系，對一個含有被笛卡爾稱作“未知和未定的量”和的代數方程，如果任意給一個值，從這個方程就可得到的一個值?！稁缀巍饭卜譃槿糠郑旱谝徊糠质恰皟H使用直線和圓的作圖問題”。在這一部分中，笛卡爾將作圖問題歸納為作出未知線段；第二部分是“曲線的性質”，主要介紹曲線的含義、分類及軌跡問題。在這一部分中，勒內·笛卡爾認為前人對曲線的分類毫無意義，他重新對曲線的概念進行論述。第三部分是“立體與超立體問題的作圖”。這部分內容關注的是方程的性質以及如何求解方程。
《幾何基礎》
戴維·希爾伯特的《幾何基礎》第一版出版于1899年，以嚴格的公理化方法重新闡述了歐幾里得幾何學，書中首先給出不定義的概念一點、線、平面、在……之間、一對點重合、角的重合，然后列舉了歐幾里得幾何的公理系統，并用這些公理證明了歐幾里得幾何的一些基本定理。此外還證明了這些公理是獨立的?！稁缀位A》是數學史上的一部具有劃時代意義的著作。希爾伯特在世時，他所著的《幾何基礎》的最后一版是第七版。去世以后，他的學生P.貝爾耐斯（Ber. nays）對第七版進行多次增補、修訂，到1977年出到第十二版。補篇中所增加的大部分內容是受H.弗里敦塔爾（H.Freuden- thal）所寫的“關于幾何基礎的歷史”（Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie，見數學的新記錄（Nieuw Archief Voor Wiskunde）（4），第105頁一第142頁（1957））一文的啟發，特別是其中對原書闡述面積的理論及其應用所作的批評，他曾以此文題獻于戴維·希爾伯特《幾何基礎》第八版一書。
相關定理
平面幾何
1.平行線性質定理：兩條平行線與第三條直線相交，則同位角、內錯角相等，同旁內角和等于二直角。
2.三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面內的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條直線垂直。
3.畢達哥拉斯定理：在直角三角形夾直角的兩個邊上畫出的兩個正方形面積之和等于直角所對的斜邊上畫出的正方形面積。
4.三角形面積公式：
5.三角形共邊定理：設直線與直線相交于點，則
解析幾何
在平面內畫兩條相互垂直、原點重合的數軸叫做平面直角坐標系，（rectangular coordinate system），水平的數軸稱為軸（x-axis）或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為軸（y-axis）或縱軸，取向上方向為正方向；兩坐標軸的交點為平面直角。
數學中，把既有大小又有方向的量叫做向量。通常用有向線段（directed line segment）表示向量，以為起點、為終點的有向線段記作向量，線段的長度也叫做有向線段的長度，記作。
1.若向量，則向量和向量共線的充分必要條件是可以寫成的數乘，即，其中是由，唯一確定的一個實數。
2. 若、、為三個不共面的向量，則空間中的任意一個向量都可以寫成、、的線性組合，即存在不全為零的實數、、使得
。其中數量、、由、、、唯一確定。
3.設空間坐標系Ⅰ到坐標系Ⅱ的過渡矩陣是。則Ⅰ和Ⅱ同定向的充分必要條件為；從而它們是反定向的充分必要條件為。
4. 已知平面內兩點和，且點分的比是，那么分點的坐標是。
微分幾何
給出一點集，如果對于中每一個點，有一個確定的問量和它對應，則可以說，在上給定了一個向量函數，記作。
如果曲線中的每個分量都是函數；，對任意t∈ （a,b） 成立。則曲線稱為正則曲線。
平面上不自交的閉曲線稱為約爾當（Jordan）曲線．約爾當曲線分平面為兩部分，并且每一部分都以此曲線為邊界，它們中間一個是有限的，另一個是無限的，其中有限的區域稱為初等區域。如果平面上初等區域到三維歐氏空間是一一對應的，雙方連續的在上映射，則把三維歐氏空間中的象稱為簡單曲面。
1.唯一性定理：設，是中兩條以弧長為參數的正則參數曲線，。如果它們的曲率處處不為零，且有相同的曲率函數和撓率函數，即，，則有中的一個剛體運動將變成。
2.存在性定理：設，是定義在區間上的任意二個給定的連續可微函數，并且。則除了相差一個剛體運動之外，存在唯一的中的正則曲線，使得是的弧長參數，且分別以給定的函數和為它的曲率和撓率。
3.梅尼埃（Meusnicr）定理：曲面曲線在給定點的曲率中心就是與曲線曲線具有共同切線的法截線上同一個點的曲率中心在曲線的密切平面上的投影。
4.羅德里格（Rodrigues）定理：如果方向是主方向，則，其中，是曲面沿方向的法曲率。反之，如果對于方向有，則是主方向，且，是曲面沿方向的法曲率。
幾何作圖
尺規作圖
尺規作圖是指用無刻度的直尺和圓規作圖。直尺的功能僅僅是作為一個畫直線的工具，而不能用以測量或標示出距離。只用直尺和圓規作圖的傳統要回溯到古希臘時期，希臘人認為直線和圓是最基本的圖形，而直尺和圓規使它們具體化，所以便選擇只用這兩種工具作圖。尺規作圖有五項“公法”：
（1）根據兩個已經確定的點作出經過這兩個點的直線。
（2）以一個已經確定的點為圓心，以兩個已經確定的點之間的距離為半徑作圓。
（3）確定兩個已經作出的相交直線的交點。
（4）確定已經作出的相交的圓和直線的交點。
（5）確定已經作出的相交的兩個圓的交點。
古希臘人在研究尺規作圖過程中，提出了三個著名的尺規作圖問題，稱為三大不可能問題。即三分角問題：把一個給定角三等分；倍立方問題：作一個立方體使它的體積是已知立方體體積的兩倍；圓化方問題：作一個正方形使它的面積等于已知圓的面積。要想用圓規和直尺解決以上3個作圖問題，是根本不可能的。古希臘三大作圖問題直到19世紀，經過兩千多年的探索，最后才證明在尺規的限制下，根本不可能作出所要求的圖形。并在探索這三個問題的過程中隱含了近代代數學的思想。其中，法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦解決了古希臘三大尺規作圖問題的兩個問題：“三等分任意角”和“倍立方體”。
軟件做圖
隨著現代教育技術的發展，數學軟件的應用使得數學教學與學習技術更加方便，簡化了教學過程中存在的問題，具有較強的直觀性和針對性，大大地促進了學生對知識的理解。 而幾何畫板軟件根據其自身優點實現了教學過程中圖形和數據方面的直觀表達，將抽象的數學論述可視化，形象、 直觀、動態地展示數學知識。幾何畫板是由美國 Key Curriculum Press 研制的數學軟件，主要功能有繪制函數、幾何圖形度量計算、動畫、迭代等，其在動畫過程中，能保持和突出幾何關系，可以構造出各種幾何圖形和解析幾何中的所有曲線。
幾何學公理系統
希爾伯特的前驅者
19世紀以后，幾何學空間概念發展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何學都對應著一種定理系統。在幾何學公理法結構的領域里，第一個巨大的成就是帕士的研究“新幾何學講義”（Pasch，Vorlesungen über neuere Geometrie，1882）”。帕士認為，幾何學的基本命題應該從實驗得來，但是幾何學系統的進一步的展開應該循著純邏輯推斷的途徑進行。為此他提出了12條公理以及關于圖形的合同概念的10條公理。雖然帕士的公理存在一定功績，但過分夸大了為建立點的順序所需要的公理的個數，也只是非常接近于達到展開幾何學的公理系統。
以后，意大利的學者們——G.丕阿諾（G.Peano）和他的學生們對幾何學基礎提供了一系列的工作。G.丕阿諾自己的研究“邏輯地敘述的幾何基礎”（Principii di geometria logicamente esp-osti，1889）講述了比較狹窄的課題。丕阿諾給出的只相當于戴維·希爾伯特的第一和第二組公理，即關聯公理和順序公理。M.庇愛里（M.Pieri）在“作為演繹系統的初等幾何學”（Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo，1899）中獨創地提出了歐幾里得幾何的公理系統的建立。他認為每一個運動是點集合到自身的雙射，但是這還不是運動的完備的定義，因為其余的公理還把補充性的限制加在這個概念上。但由于M.庇愛里為了形式的簡單，想要達到基本概念的極小個數，卻在實質上把公理系統弄得非常復雜化，也就使得公理形態變得極為笨重。
希爾伯特的公理系統
人們對《幾何原本》中在邏輯結果方面存在的一些漏洞、破綻的發現，正是推動幾何學不斷向前發展的契機。最后德國數學家希爾伯特（Hilbert，1862~1943）在總結前人工作的基礎上，在1899年發表了《幾何基礎》。在這本書上，他不但提出了完備的幾何公理系統，而且還給出證明一個公理對于別的公理的獨立性和證明已知公理系統確實完備的普遍原則。希爾伯特的工作，完成了幾何學完善的公理體系——“希爾伯特公理體系”，希爾伯特的公理體系結構包括基本概念和公理兩部分，其中基本概念包括“點”“直線”“平面”3個基本概念以及“點在直線上”“點在平面上”“一點介于兩點之間”“兩線段相等”“兩角相等”5個基本關系；公理分為5組、20條。主要有結合公理、順序公理、合同公理、連續公理以及平行公理。這個公理體系自然地劃分公理，使得幾何學的邏輯結構變得非常清楚，公理系統的這種劃分，首先能夠單純而又簡明地寫出公理。其次，即使作為基礎的不是整個公理系統，而是按照自然方式劃分公理系統而成的某些組公理，依然能夠研究幾何學究竟可以展開到多遠。
應用
幾何學主要用來研究空間結構及性質，是數學中最基本的研究內容之一，與代數、概率與統計在初中階段發揮著重要作用。幾何學可以很好得培養學生的邏輯推理能力，并且已經被應用到更多領域。
物理領域
物理學發展到20世紀，幾何學被引入到物理理論中。阿爾伯特·愛因斯坦借助黎曼幾何構建了廣義相對論，楊振寧發現規范場與纖維叢的對應關系，而到1980年代后拓撲量子場論的誕生，又將物理學推向了新的高峰。幾何學理論和相關概念在物理理論中大量使用，以至于有很多人說“物理就是幾何學”。1915年的廣義相對論，是物理學幾何化的第一個里程碑，微分幾何從此成為物理學家必須掌握的一門數學語言。流形（manifold），可以認為就是各種各樣的圖形。為了能夠計算流行，必須得在流形上建立坐標系。平直空間中向量可以隨便平移都不會發生改變，可是在彎曲空間中這種自由就不存在了。例如在球面上移動向量，同樣從赤道上出發開始“平動”（注意2維球面內的向量方向只能切于球面），經過橙色路徑后到達北極的指向與經過藍色路徑到達北極的指向并不相同，這就是由球面的彎曲造成的效果。黎曼曲率就是利用這種效果來定義流形上每點的曲率。具體做法是讓初始向量從自家位置點出發，沿著閉合環路在家附近溜達一圈再回家，旅行之后的向量就會與出發前的向量有所差別。我們用向量代表這個變化量。
藝術領域
國際著名建筑師--女魔頭扎哈·哈迪德設計的北京的大興國際機場，被稱為世界七大奇跡之首。哈迪德本身是學數學出身，她創立了一個新的學派。這個學派最大的特點就是，用黎曼幾何，來取代歐式幾何。從空中鳥瞰大興機場的棚頂結構，可以看到一個六芒星的結構，建筑上有很多非常光滑的曲線，里面有兩組彼此垂直的曲線結構。而它在幾何學中是對應一個非常深刻的數學概念，叫做葉狀結構。大興機場內部的鋼架結構，從本質上講，它得到了兩族調和的葉狀結構，結構中間存在一個穩定的奇異點。所以北京大興國際機場，完美的將藝術和幾何學結合在一起。
醫學領域
在醫學圖像領域，共形幾何應用非常廣泛，比如共形腦圖。人的大腦，形狀非常地復雜，有很多溝回，這些溝回，會隨著時間發生變化，比較兩個大腦是非常困難的，但通過共形變換可以把大腦映到單位球面上，并且這個映射基本是唯一的。得到這個映射之后，為大腦的每一點確定唯一的經緯坐標。這樣可以在大腦上精確地定位，進行比較。
在醫學圖像中幾何的另一個應用是關于癌癥檢測。大腸癌是男子常得的疾病，普通男子過了中年之后，腸子里面會長出一些息肉。如果息肉的位置長得不對，經不斷摩擦它的脫氧核糖核酸復制次數就會非常多，這樣就非常容易出錯，出錯之后就會形成癌變。于是便有了虛擬腸鏡的方法，核心的想法就是——把腸子的皺褶打開攤平到整個平面上。如果以傳統方式來檢查，在活人身上是不可能實現的，但是用數字模型可以解決這個問題。虛擬腸鏡可以把所有腸壁的皺褶給攤開，把所有的息肉暴露出來，然后用CT來掃描人的直腸得到數字模型。最后，醫生通過戴上VR眼鏡就可以清楚的觀察腸道的內壁。
安防領域
在安防領域，也用到大量的計算機視覺的知識。三維人臉識別、三維人臉注冊，非常普遍用到的數學幾何學原理。比如人臉曲面配準。給定兩張三維人臉，在他們之間建立雙射。使用方法就是把三維人臉，用伯恩哈德·黎曼映照，映到二維的圓盤上。這樣通過降維攻擊，就把這三維問題變成了二維問題。二維問題，會簡化非常多。比如要把男孩的臉映到女孩的臉上。首先利用一些機器學習的方法，找到人臉上的特征點，比如眼角、鼻窩還有鼻尖，然后使特征點對齊。其次，使得整個的畸變達到最小。
參考資料 >
幾何在物理學中的妙用.中國科學院理論物理研究所.2023-11-11
幾何為萬物賦能——建筑、醫療、動漫、游戲…… | 世紀大講堂. 中國物理學會期刊網.2023-11-11
數學三大核心領域概述之幾何. 中國科學院數學與系統科學研究院.2023-11-11
Neolithic Skywatchers.the Archaeological Institute of America.2023-11-16
陳省身：什么是幾何學.成都市人民政府.2023-11-18
Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani.School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland.2023-11-16
Omar Khayyam.School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland.2023-11-16
【哥德巴赫】三大幾何作圖不能問題.中量大理學.2023-11-08
3個看似簡單卻難倒了無數人的幾何問題，該如何解?.中國科學院高能物理研究所.2023-11-08
尺規作圖與古希臘三大作圖問題.中科院物理所.2023-11-08
淺談幾何的重要性.上海藝文教育.2023-11-13