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菲利克斯·克萊因（Felix Christian Klein），德國數學家，1849年4月25日出生于德國杜塞多夫，逝世于1925年6月22日卒于哥廷根。畢業于波恩大學，克萊因被譽為數學界的巨匠，他的代表作品包括《高觀點下的初等數學》。

克萊因在杜塞爾多夫讀的中學，畢業后，考入波恩大學學習數學和物理。在普律克教授的指導下完成博士論文，后擔任數學講師和教授，包括哥廷根大學、埃爾朗根大學和萊比錫大學。他于1872年至1895年擔任哥廷根數學年刊主編，主要研究領域包括非歐幾里得幾何、群論和函數論。其愛爾蘭根綱領的發表對當時數學有重大影響。

克萊因與李合作在1870年發現了庫默爾面上曲線漸近線的基本性質，進一步研究了W-曲線。1871年，他發表了有關非歐幾何的論文，證明了非歐幾何與歐氏幾何的相容性。他在數學上的貢獻主要包括推動了幾何的統一分類，以及在函數理論、方程求解和力學等領域的研究。在函數理論方面，他以幾何方法處理函數理論，聯系了勢論和保形映射。此外，他發展了自守函數論，與數學家羅伯特·弗里克合作出版了關于自守函數和橢圓模函數的著作。在力學方面，他在哥廷根大學推動了應用力學的發展，成立了應用力學系。

克萊因的著作被編為《全集》，共3卷，1902～1923年出版。此外，他與德國物理學家A．阿諾德·索末菲合著《陀螺理論》4卷，于1897～1903年出版。1885年，克萊因被倫敦皇家自然知識促進學會選為國外會員，并授予科普勒獎金。1908年，他被國際數學會選為在羅馬召開的數學家大會的主席。

人物生平

菲利克斯·克萊因是德國數學家。1849年4月25日生于杜塞爾多夫。1925年6月22日卒于哥廷根市。

1908年克萊因被國際數學會選為在羅馬召開的數學家大會主席。

克萊因在杜塞爾多夫讀的中學，畢業后，他考入了波恩大學學習數學和物理。他本來是想成為一位物理學家，但是數學教授普律克改變了他的主意。1868年克萊因在普律克教授的指導下完成了博士論文。在這一年里普律克教授去世了，留下了未完成的幾何基礎課題，克萊因是完成這一任務的最佳人選。后來克萊因又去服了兵役。1871年，克萊因接受哥廷根大學的邀請擔任數學講師。1872年他又被埃爾朗根大學聘任為數學教授，這時他只有23歲。1875年他在慕尼黑高等技術學院取得了一個教席。1880～1886年任萊比錫市大學教授。1886年，克萊因接受了哥廷根市大學的邀請來到哥廷根，開始了他的數學家的生涯，他在這里直到1913年退休。1872～1895年任哥廷根數學年刊主編，倡導編輯《數學百科全書》并編寫了其中的第4卷。

他的主要課題是非歐幾何、群論和函數論。他的將各種幾何用它們的基礎變換群來分類的愛爾蘭根綱領（1872年在埃爾朗根大學就職正教授的演講）的發表影響深遠：是當時數學內容的一個綜合。著作有《高觀點下的初等數學》。

主要成就

數學

克萊因在數學上做出的第一個貢獻是在1870年與李合作發現的。他們發現了庫默爾面上曲線的漸近線的基本性質。他進一步地與李合作研究W-曲線。1871年克萊因出版了兩篇有關非歐幾里得幾何的論文，論文中證明了如果歐氏幾何是相容的，那么非歐幾何也是相容的。這就把非歐幾何置于與歐氏幾何同樣堅實的基礎之上。克萊因在他的著名的埃爾朗根綱領中，以變換群的觀點綜合了各種幾何的不變量及其空間特性，以此為標準來分類，從而統一了幾何學。今天這些觀點已經成為大家的標準。變換在現代數學中扮演著主要角色。克萊因指明了如何用變換群來表達幾何的基本特性的方法。

而克萊因自己認為他對數學的貢獻主要在函數理論上。1882年他在一篇論文中用幾何方法來處理函數理論并把勢論與保形映射聯系起來。他也經常把物理概念用在函數理論上，特別是流體力學。

克萊因對大于四次的方程特別是用超越方法來解五次的一般方程感興趣。在厄爾米特和克隆耐克爾建立了與布里奧斯奇類似的方法之后，克萊因立刻就用二十面體群去試圖完全解決這個問題。這個工作導致他在一系列論文中對橢圓模函數的研究。

1884年，克萊因在他的一本關于二十面體的重要著作中，得到了一種連接代數與幾何的重要關系，他發展了自守函數論。他和一位來自萊比錫市的數學家羅伯特·弗里克合作出版了一套四卷本的關于自守函數和橢圓模函數的著作，這本著作影響以后20年。另一個計劃是出版一套數學百科全書。他積極地參與到這個工作中，與K·穆勒一起編輯力學部分的四卷。我們還要提到克萊因發現的克萊因瓶，一種只有一個面的曲面。

力學

克萊因對力學的貢獻在于他在哥廷根市任職期間推動了應用力學的發展。1893年克萊因在美國芝加哥參觀世界博覽會后，深感基礎學科對于發展工業的重要性。他回德國后在哥廷根竭力促進數學、力學和其他基礎學科在工程技術中的應用，并在哥廷根大學成立應用力學系。1904年，他推薦學工程出身的L．路德維希·普朗特為該系主任。這個系是現代力學發源地之一。以普朗特和T．馮·卡門為代表的近代力學學派首先在哥廷根大學成長發展，是和克萊因的努力分不開的。克萊因在哥廷根講授的課程非常廣泛，主要是在數學和物理之間的交叉課題，如力學和勢論。他實現了要重建哥廷根大學作為世界數學研究的重要中心的愿望。著名的數學雜志《數學年刊》就是在克萊因的主持管理下才能在重要性上達到和超過了《克萊爾雜志》的。這本雜志在復分析、代數幾何和不變量理論方面很有特色。在實分析和群論新領域也很出色。