微分幾何的概念，用來描述曲面上法曲率為零的方向，所形成的曲線。在解析幾何和微分學中，漸近線是一條使得當x或y坐標之一或兩者趨于無窮大時，曲線與該線之間的距離接近零的線。漸近線分為水平、垂直和傾斜三種類型，它們傳達有關曲線大致特性的信息，是繪制函數圖的重要步驟。
基本介紹
曲面上一點，使法曲率為零的方向稱為曲面在該點的漸進方向。若a(t)是曲面S上的曲線，且a(t)在每點的切向量a'(t)均為S在該點的漸進方向，則稱a(t)為S的漸近線。在射影幾何中，漸近線是在無窮大點處與曲線相切的線。如果兩條曲線之間的距離趨于無窮大，則兩條曲線之間的距離趨向于零，則一條曲線是另一條曲線的漸近線，盡管術語“漸近線”通常是為線性漸近線保留的。
漸近線可以分為以下三種類型：
- **水平漸近線**：是水平線，函數的圖隨著x趨于+∞或-∞趨近于水平線。
- **垂直漸近線**：是垂直線，函數在該垂直線附近無限增長。
- **斜漸近線**：斜率非零但有限，因此當x趨于+∞或-∞時，函數的圖接近該斜率。
依據
求漸近線可以依據以下結論：若極限{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a}存在，且極限{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b}也存在，那么曲線{\displaystyle y=f\left(x\right)}具有漸近線{\displaystyle y=ax+b}。
例子
例如，求{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{1+x}}}的漸近線。解：(1){\displaystyle x=-1}為其垂直漸近線。(2){\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}}，即{\displaystyle a=1}；{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1}，即{\displaystyle b=-1}；所以{\displaystyle y=x-1}也是其漸近線。
直線{\displaystyle y={\frac {b}{a}}x}是雙曲線{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}的漸近線，因為雙曲線上的點{\displaystyle M}到直線{\displaystyle y={\frac {b}{a}}x}的距離{\displaystyle MQ
參考資料 >