雙曲線（希臘語‘Υπερβολ?α’，字面意思是“超過”或“超出”，英文：hyperbola）是常見的一類圓錐曲線，雙曲線是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。
對雙曲線的研究始于古希臘時期，當時人們是從純幾何的思路進行研究的。隨著17世紀解析幾何的建立，人們開始采用方程思想研究雙曲線的性質。雙曲線在生產實踐中具有廣泛的應用。
歷史
約公元前 4 世紀，古希臘學者梅內克謬斯(Menaechmus)在研究平面與圓錐相交時最先發現了圓錐曲線，即橢圓，拋物線和雙曲線是圓錐體表面與平面的交點產生的。如圖所示，為直角三角形，首先以的短直角邊 AB 為軸旋轉一周得到圓錐體，然后取一垂直于斜邊（BC邊）的平面截取這個圓錐體切口形成的曲線即為雙曲線。
公元前2世紀，古希臘數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）從純幾何的思想出發，建立起系統的圓錐曲線理論。討論如右圖所示，他在同一個圓錐體中使用不同的切割面得到了圓、橢圓、雙曲線、拋物線4種圖形。阿波羅尼奧斯發表了數學著作《圓錐曲線論》，該著作詳細介紹了雙曲線等圓錐曲線的性質。
16世紀，德國數學家約翰尼斯·開普勒（Johannes Kepler）發現了行星三大定律，意大利數學家伽利略·伽利萊（Galileo di Vincenzo Bonaulti de Galilei）基于運動合成的思想，發現了物體斜拋運動的軌跡為拋物線，人們開始意識到圓錐曲線不單是圓錐體的切割面，還與自然界的運動變化息息相關。
17世紀，法國數學家勒內·笛卡爾（René Descartes）和皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）創立了解析幾何，建立起坐標系的概念，用數學方程來研究圓錐曲線的各種性質。1745 年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）發表了《分析引論》，基于方程思想對圓錐曲線進行了系統的研究。解析幾何這種使用坐標系的方法，使得將計算機應用到幾何定理的證明中成為可能。然而當時條件有限，計算僅是使用手搖計算機進行手工操作，因此這一想法未能實現。20世紀以后，計算機的迅速發展使一些數學家又開始探討幾何定理證明機械化的可能性。中國數學家吳文俊在數學機械化領域做出了重要貢獻，他提出的用計算機證明幾何定理的“吳方法”被認為是自動推理領域的先驅性工作。
基本概念
定義
把平面內與兩個定點的距離差的絕對值等于常數 (小于并且大于0) 的點的軌跡叫作雙曲線，這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距，焦距的一半長度稱為半焦距。
如圖所示，直角坐標系中在軸上，且線段的中點與直角坐標系的原點相重合。設為雙曲線上任意一點，焦距為，兩焦點坐標為。根據雙曲線的定義，得方程。
上述方程的曲線即為雙曲線。
標準方程
對整理可得：
。
上式記為式（1）。由于，即。
令代人式得：
。
兩邊同除以, 得：
。
該方程稱為焦點在軸上的雙曲線的標準方程。式中, 滿足關系式。
如果雙曲線的焦點在軸上, 焦點為。雙曲線的標準方程為：
式中, 同樣滿足關系式。
幾何性質
焦點在軸上的雙曲線的標準方程具有如下的幾何性質，焦點在軸上的雙曲線的標準方程的性質可類似得出。
范圍
整理方程可以得到 。
也就是說，即或者時，才有意義。因此，雙曲線不存在位于兩條直線和之間的區域。
對稱性
從雙曲線的標準方程可以看到，雙曲線的圖像關于軸、軸和原點都是對稱的，也就是說，兩條坐標軸是雙曲線的標準方程圖像的對稱軸，其中兩個焦點所在的軸（軸）稱為焦點軸或實對稱軸，另一條軸稱為虛對稱軸。此外，坐標原點為雙曲線圖像的對稱中心點或者中心。
頂點
將代入方程可得，。也就是說，雙曲線與軸存在兩個交點，可記為 和，這兩個交點也稱為雙曲線的頂點，頂點相連的線段 稱為雙曲線的實軸，實軸的一半稱為實半軸，長度為。
將代入方程，解得，可以看到并沒有實數解，也就是說，雙曲線與軸不能相交。如果在軸上取兩個點，把線段稱為雙曲線的虛軸，虛軸的一半稱為虛半軸，長度為。
從上述分析也可以看出，雙曲線的焦點在實軸上，焦點和頂點總是在同一條對稱軸。
漸近線
分別作兩條對角線，其斜率的絕對值為虛軸和實軸的長度之比，可以看到，雙曲線圖像局限在兩條對角線之內，直線稱為雙曲線的漸近線。 對于焦點在軸上的雙曲線而言，其漸近線方程為。
如圖所示，可以根據如下步驟作出漸近線。
分別過 作出四條直線和 ，它們圍成一個矩形。再畫出該矩形的兩條對角線，顯然，這兩條對角線為，也就是該雙曲線的漸近線。雙曲線不與漸近線相交，但在離中心很遠的地方，雙曲線將無限接近于其漸近線。
離心率
定義雙曲線的離心率為焦距與實軸之比，即：
由于，離心率，離心率決定了雙曲線的形狀。離心率越大，雙曲線的開口也就越大。若兩條雙曲線的離心率相等，那么這兩條雙曲線相似。
準線
如圖所示，直線（即）和直線（即）稱為這條雙曲線的準線，其中叫作左準線，叫作右準線。雙曲線的準線具有以下的性質：
雙曲線上任意一點到左焦點的距離與它到左準線的距離之比等于這雙曲線的離心率，任意一點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比也等于這雙曲線的離心率。
切線
對于雙曲線的標準方程或來說，
曲線上的一點對應的切線方程分別為：
或
若已知切線方程的斜率為，則該切線方程分別為：
和
下表是雙曲線兩類標準的方程的部分性質。
表示方法
幾何表示
如圖所示，用一個不通過直圓錐面的頂點的平面去截取圓錐體的兩個葉，所得的截痕是一條雙曲線。該雙曲線的焦點為兩個葉的內切球切點。
標準方程
當焦點位于軸，即，雙曲線的標準方程為：
上述方程也稱為第一標準方程。
當焦點位于軸，，雙曲線的標準方程為：
或
上述方程也稱為第二標準方程。
在雙曲線的標準方程中，滿足以下關系：
極坐標方程
建立如右圖所示的極坐標，則雙曲線的極坐標方程為：
式中，與標準方程中的存在如下關系：,。
當焦點在x軸上時，，方程表示雙曲線的右支，當時，方程表示雙曲線的左支；當焦點在y軸上時，方程表示雙曲線的上支與下支。
參數方程
雙曲線的參數方程有如下多種表達形式。
類似地，雙曲線的參數方程也有以下對應的表達形式。
特殊的雙曲線
等軸雙曲線
實軸和虛軸相等的雙曲線，稱為等軸曲線，也稱為直角雙曲線。
由等軸雙曲線的定義可知，以下曲線均為等軸雙曲線。
所有等軸雙曲線的離心率，也就是說等軸雙曲線都是相似的。此外，等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直。
共軛雙曲線
如果一條雙曲線的實軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實軸(這里的實軸和虛軸指的是線段)，則稱這兩條雙曲線是共軛的。每條雙曲線都叫作另一條雙曲線的共軛雙曲線。如果兩條雙曲線共軛，則這兩條雙曲線的四個焦點到共同中心是等距的，此外，它們有共同的漸近線。
由共軛雙曲線的定義可知：
雙曲線和互為共軛雙曲線。
反比例函數
形如的函數稱為反比例函數。如右圖所示，在平面直角坐標系中,反比例函數 的圖象是二次雙曲線，時,該雙曲線的兩支分別位于一、三象限；時,該雙曲線的兩支分別位于二、四象限。
反比例函數的曲線是一種特殊的等軸雙曲線，其圖像關于原點對稱，漸近線為軸和軸。反比例函數的圖像可以看作把等軸雙曲線的漸進線作為坐標軸后得到圖像。
證明如下：
在直角坐標系中，焦點位于軸時，等軸雙曲線的方程可以表示為：
等軸雙曲線的兩條漸近線互相垂直，因此可以將雙曲線旋轉45°得到新的坐標系，其坐標軸分別記為軸。
該等軸雙曲線上點在新的坐標系中的坐標與原坐標系坐標存在如下關系：
則新的坐標系中可以得到：
如果令，
則有。
不妨使用代替，
則有，
即得到反比例函數的圖像。
應用
雙曲線是一種常見的圓錐曲線，在許多領域都有著廣泛的用途。例如,在軍事上,根據觀察站所測得的炮聲的時間差,借助于雙曲線方程,就可以 確定出敵人的炮兵陣地的位置. 又如,巴黎有名的埃菲爾鐵塔、廣州的廣州塔等著名城市地標建筑是雙曲線形的建筑。由雙曲線生成 的曲面具有良好的抗壓能力,被廣泛用于多類工程設計中,能節省大量的建筑材料,進而減少投資,降低成本。如許多水電站大壩就是采用的是雙曲面構型。發電廠的冷卻塔往往設計成下部大、腰部收細、上部又擴口的旋轉雙曲面型，它是由雙曲線繞其（不經過焦點的）對稱軸旋轉一周形成的。這樣形狀的冷卻塔具有對流快、散熱效果好等優點，有利于水蒸氣的冷卻。
參考資料 >
雙曲線.術語在線.2023-04-30