圓錐曲線是指由圓錐與平面相交所產(chǎn)生的曲線，包括橢圓、雙曲線和拋物線。
圓錐曲線經(jīng)歷了論證幾何、解析幾何、射影理論、線代理論等多方面的研究，形成了多種定義。目前使用的主要是第一定義和第二定義（統(tǒng)一定義）。
圓錐曲線的統(tǒng)一定義指的是到定點F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比e是常數(shù)的點的軌跡叫作圓錐曲線，其中e（e=c/a）是圓錐曲線的離心率，定點F是圓錐曲線的焦點，定直線l是圓錐曲線的準(zhǔn)線。當(dāng)0＜e＜1時為橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2+y2/b2=1（a＞b＞0），準(zhǔn)線方程為x=±a2/c（a2=b2+c2）；當(dāng)e=1時為拋物線，標(biāo)準(zhǔn)方程包括y2=2px等類型；當(dāng)e＞1時為雙曲線，標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2-y2/b2=1。
圓錐曲線應(yīng)用廣泛。宇宙中天體的運(yùn)動軌跡是圓錐曲線，根據(jù)圓錐曲線性質(zhì)可推算天體運(yùn)動。每種圓錐曲線擁有獨特的光學(xué)性質(zhì)，應(yīng)用于探照燈、手電筒等器件的設(shè)計中。圓錐曲線還可用于機(jī)械零件設(shè)計和位置定位等。
歷史沿革
古代起源
圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)和研究可能源于制作日晷的工作過程。在機(jī)械鐘表發(fā)明之前, 人們通過測量同一物體在陽光下影子的變化來確定太陽的運(yùn)行情況, 從而得到精確的時間，并根據(jù)這一原理制作出日。圓錐曲線起源的另一說法是在解著名的三大尺規(guī)作圖問題 (化圓為方、倍立方和三等分角) 時發(fā)現(xiàn)的。
公元前四世紀(jì)，古希臘幾何學(xué)家梅內(nèi)克繆斯（Menaechmus）最早給圓錐曲線命名，并利用拋物線解決了“立方倍積問題”。令一個平面垂直于頂角分別是銳角、直角和鈍角的圓錐的母線，截得的邊線即是圓錐曲線。
阿波羅尼斯（Apollonius）第一個依據(jù)同一個圓錐的截面來研究圓錐曲線理論，也是首先發(fā)現(xiàn)雙曲線有兩支的人。其著作《圓錐曲線論》較系統(tǒng)地研究了圓錐曲線的性質(zhì)。阿波羅尼斯從幾何直觀上給出了圓錐曲線靜態(tài)的原始定義：用一個平面去截一個圓錐面，得到的交線就稱為圓錐曲線。在《圓錐曲線論》中圓錐曲線也稱為“圓錐截線”。嚴(yán)格來講，得到的交線除了圓、橢圓、雙曲線和拋物線外，還包括三種退化情形（一條直線、一個點和兩條相交直線）。
近代發(fā)現(xiàn)
直到16世紀(jì)，人們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線不僅是依附在圓錐面上的靜態(tài)曲線，也是自然界物體運(yùn)動的普遍形式。17世紀(jì)初，約翰尼斯·開普勒（Galilei Kepler）發(fā)現(xiàn)行星繞太陽運(yùn)動軌跡是橢圓，伽利略·伽利萊（Galileo Galilei）確定拋物線軌道是拋物線等。
解析幾何
解析幾何以論證幾何為基礎(chǔ)，利用坐標(biāo)系通過“幾何問題→代數(shù)問題→求解→反演”的方式將幾何代數(shù)化，還可由已知的代數(shù)結(jié)果發(fā)現(xiàn)新的幾何性質(zhì)。解析幾何的創(chuàng)始人勒內(nèi)·笛卡爾和皮耶·德·費(fèi)瑪重現(xiàn)了圓錐曲線的理論，此后論證幾何的研究方法被逐漸棄。
約翰·沃利斯（John Wallis）在《論圓錐曲線》中，第一次用方程分別定義了橢圓、拋物線和雙曲線。
牛頓 （艾薩克·牛頓） 在他所著的《光學(xué)》 (1704) 中推證了圓錐曲線的切線和曲率問題及其在光學(xué)中的應(yīng)用。
洛必達(dá)在他的《圓錐曲線解析論》（1720） 中采用第一定義推導(dǎo)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時也給出了焦點-準(zhǔn)線定義及其統(tǒng)一方程。
1745年萊昂哈德·歐拉發(fā)表《分析引論》，給出了現(xiàn)代形式下圓錐曲線的系統(tǒng)闡述：在勒內(nèi)·笛卡爾平面上，二元二次方程的圖象是圓錐曲線，這個二次方程包含了圓、橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。歐拉還建立極坐標(biāo)系等坐標(biāo)系，并研究圓錐曲線在各坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換，引進(jìn)了曲線的參數(shù)方程。
射影幾何
射影幾何與解析幾何幾乎同一時期產(chǎn)生，射影幾何研究幾何圖形在投影變換下保持不變的性質(zhì)。
創(chuàng)立者德薩格（Desargues）首先將射影幾何思想用于研究圓錐曲線，考察它的射影性質(zhì)，使圓錐曲線理論獲得了新發(fā)展。他在其著作《試論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》中將圓錐曲線直觀定義為圓在平面上的投影，由此將圓的性質(zhì)推到任一類圓錐曲線上。德薩格通過投影和截景提供了統(tǒng)一處理圓錐曲線的簡便方法。
早期的射影幾何學(xué)家追求純粹的綜合法處理問題，解析幾何的發(fā)展促使后來的數(shù)學(xué)家用代數(shù)的方法研究這一學(xué)科，獲得了許多新的圓錐曲線射影性質(zhì)。沿著這一方向人們開始尋求幾何圖形在不同坐標(biāo)系下保持不變的那些性質(zhì)并促成了對代數(shù)不變量的研究，這屬于代數(shù)幾何的范疇。
線性代數(shù)
線性代數(shù)產(chǎn)生于17、18世紀(jì)，在19世紀(jì)獲得輝煌成就。它通過向量、矩陣和行列式大大簡化了幾何的證明和計算，使得許多幾何內(nèi)容被包含在其中。簡言之，幾何所研究的只是在線性變換下仍保持不變的坐標(biāo)之間的關(guān)系, 即線性變換的不變量理論。線性代數(shù)中的重要內(nèi)容——二次型理論就是研究向量空間中的幾何圖形在不同坐標(biāo)基下的矩陣表示。
1826年奧古斯丁-路易·柯西在其著作中給出結(jié)論：當(dāng)方程是標(biāo)準(zhǔn)型（只含平方項）時，二次曲線（面）用二次項的符號來進(jìn)行分類。西爾維斯特在1852年給出了n個變量的二次型的慣性定律。該定律說明方程通過不同變換化簡成標(biāo)準(zhǔn)型時總是得到同樣數(shù)目的正項和負(fù)項，即保持慣性指數(shù)不變。
定義
一個平面與圓錐面相交，也可以說是“用一個平面去截圓錐面”，這個平面就稱為截平面，它們的交線又稱為截線。用一個平面去截一個圓錐面，所得截線的形態(tài)與截平面的位置有關(guān)。
從歐氏幾何到解析幾何，再到射影幾何和線性代數(shù)中的二次型理論，圓錐曲線的定義經(jīng)歷了原始定義、平面上動點的軌跡定義、射影定義、標(biāo)準(zhǔn)方程定義、焦點-準(zhǔn)線定義、代數(shù)方程的統(tǒng)一定義以及通過二次型的慣性指數(shù)進(jìn)行分類研究的變化過程。
圓錐曲線的表述方式也經(jīng)歷了由幾何靜態(tài)的直觀描述→幾何動態(tài)的度量性質(zhì)描述→射影性質(zhì)的描述→代數(shù)方程的形式描述的變化過程。而研究方法從歐氏幾何的純幾何綜合法→射影幾何的方法→以坐標(biāo)為媒介的解析法→線性代數(shù)二次型的正交變換法，經(jīng)歷了由繁到簡，定性研究到定量研究，再到形式研究的變化。
目前主要的有第一定義（橢圓和雙曲線擁有）和第二定義。
第一定義
第一定義分別對不同的圓錐曲線進(jìn)行了描述。
圓錐曲線的第二定義也稱為統(tǒng)一定義。
給定一點O，一直線l以及一非負(fù)實常數(shù)，則到O的距離與l距離之比為e的動點P的軌跡是圓錐曲線。稱為離心率，顯然，而圓錐曲線的軌跡與性質(zhì)隨的變化而變化：
統(tǒng)一方程
以焦點O為原點，過O與相應(yīng)準(zhǔn)線l垂直的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系（如右圖）。設(shè)圓錐曲線離心率為，O到準(zhǔn)線l的距離為，則準(zhǔn)線方程為。由圓錐曲線統(tǒng)一定義得曲線方程：
在直角坐標(biāo)系中，四種曲線都是一元二次方程，所以又稱二次曲線。其一般二次曲線方程為：
下面討論曲線方程的分類。設(shè)：
其中，當(dāng)時，曲線為橢圓形；當(dāng)時，曲線為雙曲線形；當(dāng)時，曲線為拋物線形。根據(jù)判別式的不同，還包含了橢圓、雙曲線、拋物線以及各種退化情形。詳見下表：
圓錐曲線在極坐標(biāo)系等其他坐標(biāo)系下也存在統(tǒng)一方程，可以通過其他坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換推得。
性質(zhì)
射影幾何的觀點認(rèn)為橢圓、拋物線和雙曲線與無窮遠(yuǎn)直線分別有零個交點、一個交點和兩個交點”及“雙曲線、橢圓各有唯一中心且為有窮遠(yuǎn)點，而拋物線的中心為無窮遠(yuǎn)點，由此得到三種曲線的互變規(guī)律。因此，如果在一種曲線上存在某一性質(zhì)，那么根據(jù)演變規(guī)律，能夠找到它們在另外兩種曲線上的相關(guān)性質(zhì)。以下討論圓錐曲線的共同性質(zhì)與不同性質(zhì)。
共同性質(zhì)
（1）焦點弦中點到焦點相應(yīng)準(zhǔn)線的距離性質(zhì)：
設(shè)AB是離心率為的圓錐曲線的焦點弦，若弦長，則AB中點M到焦點相應(yīng)準(zhǔn)線的距離。
（2）線段關(guān)系式取最小值性質(zhì)：
設(shè)圓錐曲線C的離心率為，焦點F對應(yīng)的準(zhǔn)線為l，A為C內(nèi)一定點，P為C上一動點，點A到準(zhǔn)線l的距離為，則的最小值為。
（3）焦點弦被焦點所分兩段長的倒數(shù)和性質(zhì)：
設(shè)AB為過圓錐曲線的一個焦點F的一條弦，為F到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，為圓錐曲線的離心率，則。
（4）焦點弦及其中垂線性質(zhì)：
圓錐曲線C的離心率為，AB為過焦點F而不垂直于曲線C的對稱軸的弦，且線段AB的中垂線交曲線C過焦點的對稱軸于R，則。
（5）四點共圓性質(zhì)：
AB為過圓錐曲線C的焦點F的弦，AB的中垂線交曲線C過焦點的對稱軸于R，直線RF交曲線C的焦點F相應(yīng)的準(zhǔn)線于點K，則A、K、B、R四點共圓。
橢圓
平面內(nèi)到兩個定點F1、F2距離之和等于常數(shù)2a（2a＞｜F1F2｜）的動點P的軌跡叫做橢圓，即｜PF1｜+｜PF2｜=2a。橢圓有以下性質(zhì)：
雙曲線
平面上到兩個不重合定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的動點P的軌跡叫做雙曲線。雙曲線有以下性質(zhì)：
拋物線
平面上到一個定點F與到一條定直線l（定點不在定直線上）距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。拋物線有以下性質(zhì)：
相關(guān)概念
坐標(biāo)變換
在不同的坐標(biāo)系下，曲線的方程具有不同的形式。坐標(biāo)變換的中心問題就是探討當(dāng)坐標(biāo)系變化時，曲線方程的變化規(guī)律。坐標(biāo)變換中出現(xiàn)不變量，反映了曲線固有的（與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)的）性質(zhì)。因此，坐標(biāo)變換的目的，一是簡化曲線方程從而研究曲線性質(zhì)，二是把特定坐標(biāo)系中曲線方程的研究成果向一般的坐標(biāo)系推廣。
坐標(biāo)變換分兩種情況：軸的平移（只改變原點位置而不改變軸的方向）和軸的旋轉(zhuǎn)（只改變軸的方向而不改變原點位置）。
掌握坐標(biāo)變換要注意以下幾點：
（1）熟練掌握移軸化簡二次方程的方法：待定系數(shù)法和配方法。
待定系數(shù)法是將平移公式代入須化簡的二次方程，消去一次項，確定、的值，之后化簡二次方程，研究曲線性質(zhì)。
配方法是將二次方程配方，確定平移公式，之后化簡方程，研究曲線性質(zhì)。配方法較簡便，但是需要不斷思考。
（2）會用坐標(biāo)平移求非標(biāo)準(zhǔn)位置的二次曲線方程，可結(jié)合待定系數(shù)法使用。
（3）掌握對稱軸平行于坐標(biāo)軸的圓錐曲線的方程與性質(zhì)。對稱軸平行于坐標(biāo)軸，中心（拋物線為頂點）在的圓錐曲線一般形式為：
圓：
橢圓：
雙曲線：
拋物線：
其中，，，。從變量代換角度看，將、看成標(biāo)準(zhǔn)方程中的、，結(jié)合原有標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)論，可推導(dǎo)出坐標(biāo)變換后曲線方程的性質(zhì)。如中心在處橢圓焦點為F1、F2，準(zhǔn)線為。
（4）二元二次方程參數(shù)變化時能夠進(jìn)行分類討論。
軌跡問題
一個二元方程叫做曲線C的方程，必須具備兩個條件：
（1）曲線C上任意一點的坐標(biāo)都是方程的解。
（2）以方程的任意一組解為坐標(biāo)的點都在曲線C上。
由以上條件可知，圓錐曲線及其他曲線軌跡應(yīng)具有完備性和純粹性。完備性指求出的軌跡方程必須包含所有符合條件的點。純粹性指軌跡方程不能包含不符合條件的點，防止擴(kuò)大軌跡方程中變量的取值范圍。求軌跡方程的常用方法包括：直接法、定義法、代入法（相關(guān)點法）、參數(shù)法、交軌法、代換法和極坐標(biāo)法等。
與直線位置關(guān)系
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系即為直線與圓錐曲線的公共點個數(shù)問題，實際也是直線與圓錐曲線組成的方程組是否有實數(shù)解和實數(shù)解個數(shù)的問題。直線與圓錐曲線位置關(guān)系分為相離、相切和相交。推導(dǎo)如下：
設(shè)直線l：，圓錐曲線C：。聯(lián)立并消去得方程，令，則
（1）等價于l與C無公共點（相離）。
（2）等價于l與C有一個公共點（相切）。
（3）等價于l與C有兩個公共點（相交）。
特別地，時切點為；時，設(shè)直線l與圓錐曲線C相交于P、Q兩點，此時弦長，PQ中點坐標(biāo)為。
二次曲面
二次曲面是三維歐幾里得空間里坐標(biāo)、、之間的二次方程（系數(shù)a、b、c等為實數(shù)，且二次項系數(shù)不全為零）表示的曲線。
阿基米德、阿波羅尼斯、海倫等人研究過拋物鏡面的反射問題，這是早期對一些特殊二次曲面的研究。部分特殊的二次曲面由圓錐曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生。
1731年法國數(shù)學(xué)家克萊羅給出某些二次曲面的求積公式，并指出、、的齊次方程表示頂點在原點上的一個錐面。
1748年歐拉在他的《無窮分析引論》中研究了三個變量的一般二次方程，得到六種二次曲面：錐面、柱面、橢球面、單葉和雙葉雙曲面、雙曲拋物面以及拋物柱面。他主張按方程的次數(shù)將二次曲面分類，認(rèn)為次數(shù)是線性變換下的不變量。
1842年瑞士數(shù)學(xué)家施泰納用射影幾何構(gòu)造了直紋二次曲面理論。時至今日，二次曲面理論成為解析幾何學(xué)的重要組成部分。
圓錐曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得部分曲面如下表：
相關(guān)文化
蝴蝶問題
蝴蝶定理（Butterfly Theorem）是古典歐氏平面幾何的最精彩的結(jié)論之一。這個命題最早出現(xiàn)在1815年，而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現(xiàn)在《美國數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號，題目的圖形像一只蝴蝶。2001、2003、2010年高考曾多次以蝴蝶問題為背景命題。
現(xiàn)實應(yīng)用
天文物體運(yùn)動
宇宙中天體的運(yùn)動軌跡是圓錐曲線。行星繞太陽運(yùn)動軌道是橢圓，彗星運(yùn)動軌道分為橢圓、雙曲線和拋物線三種。
對于宇宙飛船，其飛行速度等于第一宇宙速度時軌道是一個圓，介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間時軌道是橢圓。等于第二宇宙速度時是拋物線，大于第二宇宙速度時是雙曲線的一支。根據(jù)圓錐曲線性質(zhì)即可推算天體或飛船的運(yùn)動軌跡。
光學(xué)性質(zhì)應(yīng)用
在光學(xué)上，如果把光源放在拋物鏡的焦點F處，那么射出的光線經(jīng)拋物鏡反射即可變成平行的光線。汽車前照燈、探照燈、手電筒就是根據(jù)這一原理設(shè)計。根據(jù)光路可逆性，平行光經(jīng)拋物線反射后集中于焦點，太陽灶由此設(shè)計而來。
從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)橢圓反射后會交于另一個焦點上。電影放映機(jī)聚光燈泡反射鏡面的部分曲面由橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)而成，可以使片門處獲得最強(qiáng)光線。
從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線反射后，反射光線反向延長將匯聚到另一焦點上。雙曲線的應(yīng)用包含雙曲線型反射鏡面燈泡等。
生產(chǎn)生活應(yīng)用
許多機(jī)械零件和建筑物組成部分的輪廓線采用橢圓、雙曲線或拋物線的一部分。
利用圓錐曲線方程進(jìn)行定位，在軍事與科學(xué)技術(shù)上應(yīng)用也非常廣泛。
參考資料 >
圓錐曲線.術(shù)語在線.2023-07-28