向量（vector）又稱矢量，在數學中也稱為歐幾里得向量、幾何向量，是數學中最基本的概念之一，表示既有大小(用一個非負數表示)、又有方向的量。與向量對應的量叫做數量，只有大小，沒有方向。
向量有多種表示方式，以便于在不同場景下使用：幾何表示法、代數表示法、坐標表示法。向量常用一個拉丁字母上面加一個箭號或用黑體（粗體）字母表示向量，例如，或 ， 等?；蛴糜邢蚓€段表示，由A到B的箭頭方向表示向量的方向，有向線段AB的長度（記作）表示向量的大小。
向量空間也就是線性空間，用來研究現實世界中各種線性問題，其理論和方法已經滲透到自然科學、工程技術、經濟管理的各個領域。向量空間定義中有兩個集合，一個集合，一個數域，兩種運算：一個是內部定義的加法；一個是與之間定義的數乘；如果這種加法，數乘滿足定義中的八條運算規律，則稱是上的向量空間。
早期的向量應用于物理學，是被用來表示如力、速度、位移等物理量的工具，在約公元前 350 年，古希臘數學家亞里士多德（Aristotle）發現了向量加法的平行四邊形法則。而后英國科學家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）最先使用有向線段表示向量。直到19世紀，向量才進入數學領域并得到進一步發展。向量在各個領域都有廣泛應用，如機械、電子、計算機圖形學和物理學等。
歷史
向量最早可追溯到古希臘時期，在約公元前350年前，古希臘學者亞里士多德(Aristotle)在研究力學問題時發現兩個力的合成可以用平行四邊形法則得到。英國科學家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）最先使用有向線段來表示向量，于1687年發表的著作《自然哲學的數學原理》中使用有向線段描述了力及其普遍運算規律。
1797年，丹麥數學家、測量學家卡斯帕爾·韋塞爾（Caspar Wessel）在向丹麥科學院遞交的論文中首次建立了復平面概念，利用坐標平面上的點來表示復數a+bi，并利用具有幾何意義的復數運算來定義向量的運算，給出了復數的幾何表示。
1844年，德國數學家赫爾曼·格拉斯曼(Hermann Günther Gra?mann)出版了他的《線性擴張論》，把向量由二維、三維擴展到n維，融合坐標、向量于n維空間，第一次明白地解釋了n維向量空間的概念，發展了通用的向量運算，開拓了新的數學領域。
19世紀中期，英國數學家威廉·羅恩·哈密頓（William Rowan Hamilton）發現了四元數(包括數量部分和向量部分)，證明了四元數有很多與復數類似的性質，認為四元數將在物理學中獲得應用，引起了很多學者的關注。
英國數學物理學家詹姆斯·麥克斯韋（James Clerk Maxwell）在1873年出版的著作《電磁通論》中把四元數的數量部分和向量部分分開來作為各自的實體處理，把向量部分從四元數中獨立出來的實體發展成為更符合物理學需要的更簡便的數學工具，也就是三維向量，加速了向量分析研究的進程。
19世紀80年代初，由美國數學物理學家約西亞·吉布斯(Josiah Willard Gibbs)和英國數學物理學家奧利弗·赫維賽德(Oliver Heaviside)創立的三維向量代數和向量分析，他們提出，一個向量不過是四元數的向量部分，但不獨立于任何四元數，他們引進了兩種類型的乘法，即數量積和向量積，將向量分析和電磁場理論緊密聯系在一起。
向量的引入揭開了新的數學前景，到20世紀30年代，向量理論的公理化使得向量理論逐漸成為數學的重要理論，其應用范圍得到了極大的拓廣。
表示方法
代數表示
向量可用符號、、等來表示，手寫用為等
幾何表示
向量可用有向線段來表示，如、等，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。長度為0的向量叫做零向量，記作0；長度等于1個單位的向量，叫做單位向量。
坐標表示
在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，作為一組基底。對于平面直角坐標系內的一個向量，由平面向量基本定理可知，平面內的點可以由平面內的一個點和兩個不共線的向量來表示，此時有且只有一對實數x，y，使得，因此平面內的任一向量都可以由x，y唯一確定，有序數對(x,y)就是向量的終點坐標A，向量的坐標表示則記作=(x,y)，其中x為在x軸上的坐標，y是在y軸上的坐標。
從空間的某個定點O出發引三個成右手系的、兩兩互相垂直的單位向量，分別為x 軸、y 軸、z軸上的單位向量。確定空間直角坐標系O-xyz，可記作 [] 。設P是空間中任意一點，過P分別作垂直于標軸的平面，與坐標軸分別交于A、B、C三點。則上面的三個平面分別平行于相應的坐標平面，而且這些平面圍成一個長 方體。如果點A，B，C在各坐標軸上的坐標是a，b，c，即，abc為點P的x坐標，y坐標，z坐標，記作P（a，b，c）。因此任意給定三個有序實數（a，b，c），在空間就能唯一確定一個點以這組數為它的坐標，空間中的點和三個有序實數是一一對應的。若是空間直角坐標系O-xyz中的任意一個向量，則存在唯一的向徑使得=，P點的坐標則稱為向量的坐標，若P的坐標為(x，y，z)，則對應向量的坐標也可記作（x，y，z）。
運算
向量的加法
定義
對于向量 ，，作有向線段表示 ，作有向線段表示定義，把表示的向量稱為與的和，記作，也就是，求兩向量的和的作圖方法稱為向量的加法，也稱為向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。
運算規律
(1) 結合律: ，其中 ，，是任意向量。
(2) 交換律: ，其中 ， 是任意向量。
(3) 對任意向量，有+=，其中為零向量。
(4) 對任意向量，有+() =0，向量為的反向量。
向量的減法
定義
兩個向量相減所得的結果仍是一個向量，也就是這兩個向量的差。求兩個向量差的運算就叫做向量的減法。設，是兩已知的向量，任取一點A，作向量＝，再作向量＝，以C為起點，以B為終點的向量＝稱為從向量減去的差，記為-=。即-＝，上述求向量差的作圖方程稱為向量的減法。
運算規律
(1) 交換律：-=-(-)
(2) 結合律：(-)+=-(-)
向量與數的乘積
定義
設為一個數，向量與的乘積 規定為：
(1)當>0時, 表示一個與 同向的向量，其模等于的模的倍,即=；
(2)當<0時,表示一個與 反向的向量，其模等于的模的倍,即=；
(3)當=0時, 表示零向量，即 =0。
運算規律
結合律：
（）=（）=（）。
分配律：
（1）
（2）
向量的數量積
定義
數量積又稱為點積或內積，是兩個向量的乘積的數量。已知兩個非零向量，向量和向量的夾角為，則稱為向量與的數量積。其中，和分別為向量和向量的模，且。向量的數量積的坐標表示為：a·b=x·x'+y·y'。
運算規律
(1)交換律：
(2)分配律：
(3)結合律：,
向量的向量積
定義
向量積又稱為叉積或外積，是兩個向量的乘積的向量。已知兩個非零向量，設向量和向量的夾角為，則向量和向量的向量積為，的大小為，其中，和分別為向量和向量的模，為向量和向量的夾角。的方向為垂直于與所決定的平面，即且，的指向按右手規則從轉向來確定。
運算規律
(1)反交換律：；
(2)分配律：，；
(3)結合律：
向量的混合積
定義
設為任意的三個向量，則稱為三向量的混合積，簡記為，即。
運算規律
。
向量的性質
有向線段
向量既有大小也有方向，可用有向線段表示，有向線段是具有方向的線段，它由起點和終點確定。起點為A，終點為B的有向線段用符號 表示。
向量的模
向量的模即為向量的大小，也就是向量的長度，記作。
向量的夾角
向量的夾角就是兩個向量所形成的角，指從同一點引出的與向量方向相同的兩條射線所形成的角，這個角在0°到180°之間。
線性相關性
設是上的向量空間，是的任意子集，如果對的某個有限子集，存在中不全為0的實數使得，則稱線性相關。如果對的每個有限子集，中滿足條件的數，只有=0，則稱線性無關。
向量的線性組合
向量乘上實數的乘積的和，叫做向量帶有系數的線性組合。
相關定理
共線向量定理
對空間任意兩個向量，若，則的充分必要條件是存在唯一實數，使。
共面向量定理
對兩個不共線的向量，則向量與向量共面的充分必要條件是：存在唯一的一對實數x，y，使。
垂直定理
向量的和向量垂直的充要條件是，即 。
分解定理
平面向量分解定理：如果、是同一平面內的兩個不平行向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數，使。
空間向量分解定理：如果三個向量不共面，則對空間任一向量，存在唯一的有序實數組x、y、z，使。
定比分點及中點公式
設、是平面上的兩點，是線段上不同于、的任意一點。則存在一個任意大于0的實數 ，使，叫做點分線段所成的比值，點即線段的定比分點。
若， ， ，則， （＞0），這個公式就稱為定比分點公式。
當=1時，是的中點，中點公式為，。
三點共線定理
已知是平面內任意一點，存在實數 ，使得，其中，則平面上的A、B、C三點共線。
重心判斷式
在中，為所在平面上的一點，則則為的重心。
垂心判斷式
在中，為所在平面上的一點，則為的垂心。
內心判斷式
在中，為所在平面上的一點，則 為的內心。
外心判斷式
在中，若，則為的外心。
此時滿足。
相關計算公式
常用的向量計算公式見下表：
相關概念
自由向量
一個向量只要不改變它的大小和方向，它的起點和終點可以任意平行移動的向量，叫做自由向量。自由向量可以平移至空間任意點，這樣一來，若已知向量的大小和方向，則向量就算給出。例如物體運動時的速度和加速度就是自由向量，在數學中把自由向量，簡稱為向量。
固定向量
固定向量是指具有相同大小和方向的向量，但起點是固定的。固定向量可以看作是指向一點的射線，始終從起點出發，不改變方向和大小。
位置向量
位置向量是指由一個固定點到其他點的向量，是指在某一時刻，以坐標原點為起點，以運動質點所在位置為終點的有向線段。
方向向量
空間直線的方向用一個與該直線平行的非零向量來表示，該向量稱為這條直線的一個方向向量。直線在空間中的位置， 由它經過的空間一點及它的一個方向向量完全確定。
單位向量
單位向量是指模等于1的向量，也就是其長度等于1。若 為任意一個非零向量，則為單位向量。
零向量
長度（向量的模）為0的向量叫做零向量，用或表示。零向量的方向是任意的。
負向量
如果向量 與向量的模相等且方向相反，那么我們把向量 叫做向量的負向量。
共線向量
平行向量指相互平行的向量，或經過平行移動后能在同一直線上的向量，也稱共線向量。
共面向量
共面向量是一組有特殊位置關系的向量，指在同一平面的向量，或經平行移動后能在同一平面內的向量。
相等向量
長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量 與相等，記作 =。
相反向量
與長度相等、方向相反的向量叫做的相反向量，記作。有-（）=零向量的相反向量仍是零向量。
法向量
如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面a，那么向量 叫做平面a的法向量。平面的法向量可確定平面的方
向。
向量空間
定義
向量空間也稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。設是一個非空集合，是一個數域，如果滿足了以下兩個條件，則 稱為上的線性空間，也稱為向量空間，中的元素稱為向量，中的數稱為標量，若是上的線性空間，可將 記為( )。
1.若在 中定義一種加法，使得可以將 中任意兩個元素 ，相加，得到唯一一個+，這種加法即為向量的加法。
2.若在 中定義了一個數與元素的一種乘法，使得可以由任意 和任意相乘得到唯一一個 。 與的元素之間的這種乘法也稱為向量的數乘。
運算法則
1.加法交換律：+=+ 對任意，成立。
2.加法結合律:(+)+ = +(+)對任意，，成立。
3.零向量：存在，使得+=+= 對任意成立，稱為零向量，記作 。
4.負向量:對任意 ，存在 使+=+=0，稱為的負向量，記作 -。
5.數乘對向量加法的分配律：對任意 ， 和，都有(+)= +。
6. 數乘對標量加法的分配律：對任意 和，，都有(+) = + 。
7. 對任意 和， ，都有()=（）。
8. 對任意 和1，都有 1=。
性質
1.向量空間的零向量是唯一的。
2.任一向量的負向量是唯一的。
3.設，，則 ==0或=。
4.對任意 有(-1) =-。
應用
數學應用
向量在數學中有著廣泛的應用，可用于解決平面幾何，立體幾何，解析幾何、函數、代數等各種數學問題，還可利用向量來研究空間中的曲面和直線等問題。
物理學應用
一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯系，例如向量勢對應于物理中的勢能。向量在物理學中有廣泛應用。物理學中的最重要的物理量矢量就是向量的原型，很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量。向量及其運算是物理中矢量及其運算的抽象，向量的運算法則在物理上可以用來更好地解決物理上的問題，向量知識也是解決物理問題的有利工具，物理問題和現象可以轉化為與之相關的向量問題。
機械設計
向量在機械設計中有著廣泛的應用，比如：針對柔性自由漂浮基座空間機械臂系統建模的過程中存在的形式復雜計算量大等問題，通過采用向量對方法，以自由漂浮基座雙連桿柔性機械臂為研究對象，以單個體的動力學方程為基礎，分別用相鄰兩個體之間的約束方程，利用拉格朗日乘數法組裝構成系統的動力學方程，基于向量對方法于柔性空間機械臂控制系統的設計。
計算機圖形
向量是計算機圖形學和計算機視覺中的重要工具，可以用來表示點、線和面的位置和方向，可用于計算光線追蹤、物理模擬、計算機動畫和計算機視覺、圖形渲染等領域。在三維計算機圖形中，物體的位置和方向都可被表示成向量。通過向量的運算，可以實現三維模型的旋轉、縮放和平移等操作。
參考資料 >