波恩哈德·黎曼（英文名：Georg Freidrich Bernhard Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日），德國數學家，復變函數論的奠基人之一，黎曼幾何、黎曼猜想的提出者。
黎曼出生于德國漢諾威的布雷斯塞倫茨，1847年，黎曼從哥廷根大學轉去柏林大學，由此開始，其放棄神學開始轉向數學。黎曼于1851年提交了《單復變函數一般理論基礎》的論文，論文中闡述的“黎曼映射定理”成為函數的幾何理論的基礎。1857年，黎曼作了題為“論作為幾何基礎的假設”的演講，開創了黎曼幾何。1859年，黎曼發表論文《論小于某給定值的素數的個數》，并在論文中提出“黎曼假設（猜想）”，該假設被列為21世紀的7大數學難題之一，至今該假設未被證明。1866年7月20日，黎曼在去意大利因肺結核去世。
黎曼是對現代數學影響最大的數學家之一，其在數學領域提出了諸如：黎曼曲面、黎映射定理、黎曼積分等，黎曼函數的提出開創了解析數論的新時期，此外，黎曼幾何對阿爾伯特·愛因斯坦廣義相對論的形成打下了基礎，黎曼也是復變函數論的奠基人之一。黎曼的著作很多，主要包括《借助三角級數表示函數的可能性》《橢圓函數論》《引力、電、磁》等論著。1859年，黎曼被選為柏林科學院通訊院士。1866年，黎曼被選為法國巴黎科學院國外院士、倫敦皇家自然知識促進學會國外會員。
人物生平
早年經歷
1826年9月17日，波恩哈德·黎曼出生于德國漢諾威的布雷斯塞倫茨，是六個孩子（二男四女）中的老二。黎曼的父親是當地路德教的一名牧師，母親是法官的女兒。黎曼小時便隨父親搬到奎克博爾恩的牧師管區，接受父親的入門教育。約6歲時，他開始學算術，并逐漸開始展露他的數學才能。10歲時，他跟著一位職業教師學習更高級的算術和幾何。
1840年，14歲時的黎曼同他的祖母一起搬到漢諾威居住，進入當地文科中學學習。在這里，黎曼的數學才能被這所中學的校長施馬爾夫斯（Schmanlfuss）發現，在施馬爾夫斯的建議下，黎曼開始閱讀Ａ.Ｍ.阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（Legendre）的《數論》，并僅用6天時間便掌握了書中的內容。他還通過研究歐拉（Euler）的著作，掌握了微積分及其各個分支。1842年，他的祖母去世，黎曼搬到呂內堡（Lüneburg）的約翰紐姆（Johanneum），并在呂內堡當地的預科中學一直學習到19歲。
轉向數學
1845年春，黎曼進入哥廷根大學專修語言和神學，期間，他也去旁聽數學及物理課程。1847年，黎曼在哥廷根大學學習一年后轉去柏林洪堡大學，開始由神學轉向數學領域。在柏林大學，他成為卡爾·雅可比（Jacobi）、狄利克雷（Diridlet）、施泰納（Steine）、愛森斯坦（Eisenstein）的學生，開始進入更高級的數學領域。他從雅可比那里學習高等力學和高等代數，從狄利克雷那里學習數論和分析，從施泰納那里學習近代幾何學，從愛森斯坦那里學習橢圓函數。他鉆研了奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）等人的著作，得出單復變函數以及“柯西—黎曼方程”的概念。
1849年，黎曼回到哥廷根大學，并得到了高斯的正式指導。隨后，在哥廷根大學的三個學期期間，他不僅旁聽哲學課并且還旁聽了韋伯（Weber）的實驗物理課，并通過研究約翰·赫爾巴特（Herbart）的哲學結果，黎曼在1850年得出結論：“能夠建立起一套完備的、周密的數學理論，它包括從單個質點的基本定律進而到現實連續充實的空間中我們見到的過程，不管是引力、電磁還是熱學的。”
專研數學
1850年秋，黎曼參加了由韋伯、烏爾利希（Ulrich）、斯特恩、利斯亭（Listing）建立起的數學、物理學討論班。1851年11月初，黎曼提交了他的博士論文《單復變函數一般理論基礎》，在該論文中，他引入了解析函數的概念，他把復變函數的解析性建立于“奧古斯丁-路易·柯西—黎曼方程”的基礎上，論證了復變函數可導的必要充分條件，并借助狄利克雷原理闡述了著名的“黎曼映射定理”，該定理也成為函數幾何理論的基礎。
1852年，黎曼趁狄利克雷來到哥廷根市度假期間，他與狄利克雷討論了自己的論文，并收到了狄利克雷的筆記，為他節省了大量研究時間。1853年，黎曼定義了“黎曼積分”并研究了三角級數收斂的準則。黎曼于1854年提出用流形的概念理解空間的實質，用導數弧長度的平方所確定的正定二次型理解度量，建立了“黎曼空間”的概念，把歐氏幾何、非歐幾里得幾何包進了他的體系之中。同年，他在試驗科上講演了《論作為幾何基礎的假設》，這篇文章不僅是數學史上的一篇杰作，而且在表述上也是典范。演講結束后，高斯給于很高的評價，并向威廉、韋伯表示他對黎曼提出的思想的贊揚。
1854年，黎曼為取得哥廷根大學編外講師的資格，他遞交一篇《關于利用三角級數表示一個函的可能性的》文章，文章指出可積函數不一定是連續的，黎曼給出了一個連續而不可微的著名反例，最終講清連續與可微的關系。同年9月，黎曼在第31屆德國自然科學家及醫師協會年會上發表了一篇關于電在非導體中分布規模的講演。
“黎曼假設”
1857年，黎曼初次登臺作了題為“論作為幾何基礎的假設”的演講，開創了“黎曼幾何”，并為阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論提供了數學基礎。同年，發表的關于阿貝爾函數的研究論文，引出“黎曼曲面”的概念，“黎曼曲面”從拓撲、分析、代數幾何各角度作了深入研究。創造了一系列對代數拓撲發展影響深遠的概念，闡明了后來為G.羅赫所補足的黎曼—羅赫定理。同年，黎曼被哥廷根大學聘為副教授。
1859年，黎曼接替狄利克雷成為哥廷根市大學教授。并發表論文《論小于某給定值的素數的個數》，黎曼在論文定義了一個函數：黎曼（zeta）函數，并推測著名的論斷—黎曼假設（猜想），黎曼假設的提出，使該假設成為20世紀數學家應當努力解決的23個數學問題、21世紀的7大數學難題，并提出能證明該猜想的人將會獲得100萬美元獎金。
人物逝世
1862年6月，黎曼與他妹妹的一位朋友羅伯特·科赫（Elise Koch）結婚，同年秋天，黎曼染上了胸膜炎，導致了無法治愈的肺部損傷。之后，黎曼與科赫基本在氣候溫暖的意大利度過。1866年7月20日，黎曼在第三次去意大利休養的的途中因肺鈣化在塞拉斯卡（Selasca）去世。
主要成就
黎曼是對現代數學影響最大的數學家之一。黎曼提出黎曼函數在復分析對數論的應用中起著核心的作用，黎曼曲面、黎曼映射定理等的提出也對數學的發展起到積極作用。此外，黎曼是復變函數論的奠基人之一，黎曼幾何的誕生對阿爾伯特·愛因斯坦的廣義相對論的形成起到重要作用，黎曼于1859年提出的“黎曼猜想”更是至今都未被論證的數學難題。
黎曼函數
級數對于所有大于等于固定的實數是一致收斂的。它是級數的強級數，因此它表示半平面 中的一個解析函數，函數稱為黎曼函數，它在復分析對數論的應用中起著核心的作用。
黎曼曲面
黎曼為了把多值函數也象單值函數那樣去研究，他第一個提出把區域的概念加以推廣，使得任何一個復變量的多值解析函數，當把看作是廣區域內的點的函數時，便成為單值函數。這個推廣的區城被稱為黎曼曲面。
黎映射定理
對于平面上任給的單連通區域，若它的邊界至少含有兩點（因而至少含一整段弧），則必存在唯一單葉映射函數，它把映射為單位圓1的內部，使得內的（任意）一指定點映射為原點，該點處（任意）一指定方向映射為正實軸方向，此即為黎映射定理。
復變函數論
黎曼是復變函數論的奠基人之一。1851年，黎曼在高斯的指導下完成題為《單復變函數的一般理論的基礎》的博士論文，后來又在《數學雜志》上發了四篇重要文章，對其博士論文中思想的做了進一步的闡述，一方面總結前人關于單值解析函數的成果，并用新的工具予以處理，同時創立多值解析函數的理論基礎，并由此為幾個不同方向的進展鋪平了道路。論文中，黎曼令且，而是實變速的函數，則上述條件化為關系式
，
即是一元復變函數一般理論基礎，這些關系式也就是復變函數在靜電學、流體力學、氣體力學、彈性學及熱導理論等方面的應用的基礎。
黎曼積分
利用定積分、二重積分、三重積分、對長的曲線積分及對面積的曲面積分計算非均勻分布物體質量問題的研究中，可以發現它們有以下共同點：第一，它們都是非均勻變化，當把它們看成是均勻變化的時候，可以表示為某兩個量的乘積形式；第二，它們具有對區域的可加性：設是一個與點的變化區域有關的量，將分成個無公共內點的小區域：時，相應地也被分成個部分量，且；第三，運用“分割一代替一求和一取極限”的方法來處理問題時都出現同一種類型和式的極限。這就表明，可以將上敘各種積分抽象為同一類數學模型，該數學模型通常稱為函數的黎曼積分。
黎曼幾何
1854年，黎曼在《關于幾何基礎的假設》的演說中站在微觀空間的立場，提出了一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏幾何的非歐幾里得幾何，即黎曼幾何。
黎曼幾何把三維空間推廣到維空間，黎曼直接從維空間出發建立他的幾何體系，而不是從二維平面和三維空間出發。比如設個數，正如用表示一個平面二維點，用表示一個空間三維點一樣，可用表示一個維空間的點，每個稱為該點坐標，維空間又稱為” 維流形。
黎曼猜想
在數學中，已知 2，3，5，7，31，59，97 這些正整數。除了1及本身之外就沒有其他因子，這些數被稱為素數（或質數）。希臘數學家歐幾里得用反證論證明了在正整數集合里有無窮多的素數。1737年，數學家歐拉引進了zeta函數
對于是實數的情況，歐拉證明當時，級數收斂。1859年，黎曼把zeta函數作為復變數的函數來加以研究。他利用了歐拉的無窮乘積表示法，首先證明了當時，zeta函數是一個沒有零點的正則函數。接著證明了當，時，zeta函數沒有零點；而當時，zeta函數除了在處有零點外，沒有其他零點。通常稱這些零點為“平凡零點”。由此，黎曼給出了這樣的猜想：“zeta函數的一切非平凡零點的實數部分都等于。也就是說這些零點都集中在復平面上橫坐標等的那條直線上。”這就是世界著名的數學難題之一一“黎曼猜想”。
主要論著
黎曼的著作很多，主要包括《單復變函數的一般理論的基礎》、《在給定大小之下的素數個數》等，黎曼逝世后，德國數學家戴德金出版了黎曼全集，黎曼的學生們又收集他的講義筆記于1902年出版，作為全集的補充，全集中收錄了黎曼的《借助三角級數表示函數的可能性》、《橢圓函數論》等論著。
數據來源：
個人生活
黎曼是個安靜、害羞并且多病的人，喜歡獨處，他的同事戴德金是其為數不多的好友，在黎曼去世10年之后，戴德金寫了一本黎曼的傳記。據戴德金說，除了黎曼真正糟糕的身體狀況之外，他還是一名疑病癥患者。1862年6月，黎曼與羅伯特·科赫（Elise Koch）結婚，兩人婚后育有一個女兒，名叫伊達（Ida）。
主要榮譽
1859年，黎曼被選為柏林科學院通訊院士。
1866年3月，黎曼被選為法國巴黎科學院國外院士。同年7月，黎曼被選為倫敦皇家自然知識促進學會國外會員。
人物評價
一個像黎曼這樣的幾何學者幾乎可以預見到現實世界的更重要的特征。——埃丁頓爵士評
黎曼……具有創造性的、活躍的、真正數學家的頭腦，具有燦爛豐富的創造力。——高斯評
作為一個數學家，黎曼的偉大在于他給純粹數學和應用數學揭示的方法和新觀點的有力的普遍性和無限的范圍。——近代數學史家貝爾評
黎曼具有非凡的直觀能力，他的理解天才勝過所有同代數學家。——德國數學家菲利克斯·克萊因評
后世紀念
1854年，黎曼在其所作的論文《論幾何學作為基礎的假設》中指出一種既不是歐氏幾何，又不是羅氏幾何的非歐幾里得幾何，后人為了紀念黎曼，稱這種幾何學為“黎曼幾何學”。
1876年，黎曼去世后，黎曼的好友戴德金為了紀念他，寫了一本黎曼的傳記《黎曼全集》。1902年，黎曼的學生們又將黎曼的講課筆記作為全集的補充，整理出版。
2016年，中國高等教育出版社出版了《黎曼全集》中文版，紀念黎曼逝世150周年。
參考資料 >
黎曼.數學家的故事 .2024-01-11
波恩哈德·黎曼.新鄉學院數學與統計學院網.2024-01-11
困擾數學界159年的黎曼猜想被證明，會有什么意義 ｜新京報專欄.新京報.2024-01-11
數學領域的頭號難題——黎曼假設是否已被解決.中國科協 光明網.2024-01-11
世紀難題“黎曼猜想”被證明了？它究竟說了個啥.新華社新媒體.2024-01-11
對現代數學影響最大，觸發現代數學革命的數學家黎曼.數學中國.2024-01-11