對于一個二元函數，如果其在閉區域上的和式的極限總存在，則稱此極限為函數在閉區域上的二重積分（英文：double 積分），記作。
二重積分是一個和式的極限，是定積分的發展與推廣，是多元函數積分學的內容之一。與定積分類似，二重積分的求解思想同樣遵循“分割、近似、求和、取極限”的思想。
歷史
17世紀末，英國數學家艾薩克·牛頓（英文：Isaac Newton）和德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨（英文：Gottfriend Wilhelm Leibniz）提出了極限的概念，奠定了微積分學發展的基礎。1687年，牛頓在他的 《自然哲學的數學原理》 中討論球與球殼作用于質點上的萬有引力時，以幾何形式論述了重積分的概念。
18世紀，數學家萊昂哈德·歐拉（英文：Leonhard Euler）用形式化的分析方法取代了過往的幾何法，對微積分的許多基本概念和理論進行了嚴謹的定義，這其中也包含了對二重積分的研究。例如，提出了累次積分的方法計算二重積分，明確表述二重積分的概念、化二重積分為二次積分、討論二重積分的變數置換問題。1770 年，長城歐拉又給出了二重積分的概念和二重積分的記號。除了歐拉外，另一位數學家約瑟夫·拉格朗日（英文：Joseph-Louis Lagrange）在他的著作中用三重積分表示引力，用球坐標計算重積分，開創了多重積分變換的課題。
1828年，俄羅斯數學家奧斯特羅格拉荻基（英文：Ostrogradsky，Mikhail Vasilievich）證明了關于三重積分和曲面積分之間關系的公式。同年，英國數學家喬治·格林(英文：George Green)建立了著名的格林公式。1833年，奧斯特羅格拉荻基研究得到二重積分與三重積分之間的變換公式。1854年，英國數學家喬治·斯托克斯（英文：George Stokes）把格林公式擴展到空間維度，建立了斯托克斯公式。
基本概念
設函數是有界閉區域上的有界函數。用任意的曲線網將閉區域分成個小閉區域
其中,表示第個小閉區域的面積。在每個上任取一點, 作乘積，而后將所有閉區域上的結果相加：
當各小閉區域的直徑中的最大值時，如果該和式的極限總存在，則稱此極限為函數在閉區域上的二重積分, 記作,
即
式中，稱為被積函數，稱為被積表達式，稱為面積元素，和稱為積分變量，稱為積分區域，稱為積分和。
如果函數在有界閉區域上連續,則在區域上可積的。此外，面積元素是可以任意劃分，如右圖所示，在平面直角坐標系中，通常為矩形區域，此時。
幾何意義
若，被積函數可理解為曲頂柱體的頂在點處的高度。因此，的幾何意義就是曲頂柱體的體積。
若，柱體在面的下方。此時，是負的，其絕對值等于柱體的體積。
若在的若干部分區域上為正，在其他部分區域上是負的，那 么等于面上方的柱體體積減去面下方的柱體體積所得 之差。
性質
線性性質
如果函數和在閉區域上可積，則對任意的常數，函數也在上可積，且有
可加性
設閉區域可分成兩個沒有公共內點的閉區域，在上都可積，則在上可積，且有
幾何性質
如果在閉區域上，為的面積， 則
從上面的式子可以看到，高為 1 的平頂柱體的體積在數值上就等于柱體的底面積。
單調性
如果在閉區域上, 則
以上不等式也稱二重積分的單調性。
特別地，由于
有
相關定理
估值定理
設分別為函數在閉區域上的最大值和 最小值，是的面積，則
。證明如下：
因為，
由二重積分的單調性，有
整理可得，
，
證畢。
中值定理
設函數在閉區域上連續，是的面積，則在上至少存在一點，使得
稱上述定理為二重積分的中值定理。證明如下：
顯然，由可得，
因此，確定的數值是介于函數的最大值和最小值之間的。根據閉區域上連續函數的介值定理，至少存在一點，使得函數在該點的值等于這個確定的數值，即
上式兩端各乘以，可得，，
證畢。
計算
二重積分的計算往往需要在特定的坐標系中，轉化為對應的二次定積分來計算。
直角坐標系中
根據積分區域為X型區域或者Y型區域，直角坐標系中二重積分的計算分為先對y再對x以及先對x再對y兩種計算方法。
先對y再對x
利用二重積分的幾何意義可以對進行計算。不妨假定，如右圖所示，如果積分區域可以用不等式來表示，其中及在上連續，這種積分區域稱為X型區域。
由二重積分的幾何意義可知，的值等于以曲面為頂， 以區域為底的曲頂柱體的體積。
先計算截面面積，為此，在區間中任意取一點，作平行于面的平面。
此平面截曲頂柱體所得截面是一個以區間為底，以曲線為曲邊的曲邊梯形，所以這截面的面積為
對于區間中任意取一點，對應的截面積為
根據計算平行截面為已知的立體體積的方法，得曲頂柱體體積為
由二重積分的幾何意義可知，所求的二重積分為
。
這個先對 、再對的的二次積分也常記作：
。
應用上式計算時，積分區域必須為X型區域。
先對x再對y
與X型區域對應，如右圖所示，如果積分區域可以用不等式來表示，這種積分區域稱為Y型區域，其中及在上連續，那么就有
上式右端是一個先對 、再對的二次積分。應用上式計算時，積分區域必須為Y型區域。
極坐標系中
對于一些積分區域，如果在極坐標中描述比較方便，并且被積函數轉化為極坐標變量的形式比較簡單，例如。此時可以轉換為極坐標形式來計算二重積分。
極坐標系中二重積分的表達式為：
其中稱為極坐標系中的面積元素，如右圖所示。
上式表明，將二重積分中的變量從直角坐標變換成極坐標，只要把被積函數中的分別換成，并且把直角坐標系中的面積元素換成極坐標系中的面積元素。
準確地表示極坐標系下的積分區域是計算二重積分的關鍵。
如右圖所示，如果積分區域可表示為：
其中在區間上連續，則
。
該計算方法存在兩種特殊情況。
第一種特例是積分區域是曲邊扇形，如右圖所示，此時可以將它視為， 這時區域可以用不等式來表示，代入上面的計算公式可得：
。
第二種特例是坐標系極點包含在積分區域，如右圖所示，此時可以將它視為， 這時區域可以用不等式來表示，代入上面的計算公式可得：
。
應用
幾何
(1) 平面圖形的面積為
。
(2) 曲頂柱體的體積
若曲頂柱體是由以面上的閉區域的邊界曲線為準線而母線平行于軸的柱面，與頂部曲面及底部曲面圍成，且均在上連續,則曲頂柱體的體積為
。
(3) 曲面的面積
(1) 若有界光滑曲面的方程為，其中分別是在面上的投影區域，則曲面 的面積為
。
物理
對于一平面薄片型物件，假設其在平面上占有的區域為，密度為，則有
質量
該平面薄片型物件的質量為
質心
(1) 設該平面薄片的質量為，則物體的質心坐標為
形心
特別地，如果該薄片是均勻的，且面積為，則物體的形心坐標為
轉動慣量
物體關于軸的轉動慣量為
物體關于軸的轉動慣量為
物體關于坐標原點的轉動慣量為
參考資料 >
二重積分.術語在線.2023-05-28