微積分學（Calculus）是高等數學中以函數為研究對象，并采用極限作為分析方法來研究函數的導數、積分以及相關理論和應用的數學分支。微積分學由微分學（differential calculus）和積分學（積分 calculus）組成。這門學科的基本定理即為艾薩克·牛頓（Newton）-戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz）公式，
它將定積分的計算轉化為求被積函數的原函數，為求解曲線的長度、曲線圍成的面積以及曲面圍成的體積等問題提供了一個簡單有效的方法。
微積分思想的起源可以追溯到古希臘時期和中國戰國時期，如古希臘“窮竭法”和中國“割圓術”。17世紀，隨著科學和生產力的進一步發展，艾薩克·牛頓和萊布尼茨分別獨立創建了微分和積分，然而牛頓和萊布尼茨都沒能嚴格定義自己建立的微積分理論，由此引發了數學史上的第二次危機。后來奧古斯丁-路易·柯西嚴格定義了無窮小量、函數的極限和連續性等概念，并在此基礎上，重新闡述了微積分理論，從而消除了無窮小量引起的混亂，第二次數學危機得到解決。經過數學家們的不懈努力，微積分最終發展成為一門邏輯嚴密完善的學科。
微積分學包括極限理論、導數理論、積分理論等，以微積分為基礎的數學分支包括微分方程、復變函數、拓撲學、泛函分析等 。隨著數學學科的發展，微積分的諸多理論、原理和公式等已經被廣泛地應用到了經濟學、管理學、天文學、理學、工學、醫學等領域，為各個領域和學科的發展提供了科學的分析方法。
基本概念
極限思想
極限概念是在探求某些實際問題的精確解答過程中產生的，例如，中國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正多邊形來推算圓面積的方法—-割圓術，就是極限思想在幾何學上的應用。
設有一圓，首先作內接正六邊形，把它的面積記為A1；再作內接正十二邊形，其面積記為A2；再作內接正二十四邊形，其面積記為A3；如此下去，每次邊數加倍，一般地，把內接正邊形的面積記為An（且）。這樣，就得到一系列內接正多邊形的面積A1，A2，A3，……，An，……，它們構成一列有次序的數。當n越大，內接正多邊形與圓的差別就越小，從而以An作為圓面積的近似值也越精確。但是無論n取得如何大，只要n取定了，An終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積。因此，設想n無限增大（記為，讀作n趨于無窮大），記內接正多邊形的邊數無限增加，在這個過程中，內接正多邊形無限接近于圓，同時An也無限接近于某一確定的數值，這個確定的數值就理解為圓的面積。這個確定的數值在數學上稱為上面這列有次序的數（所謂數列）A1，A2，A3，……，An，……，當n趨向于無窮時的極限。
在圓面積問題中可以看到，正是這個數列的極限才精確地表達了圓的面積。在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數學中的一種基本方法。當變量按照某種確定的方式進行變化時，其研究對象的最終變化會呈現出一 個固定的趨勢或固定的數值 ，這就被稱為極限思想。
在數學中，極限的定義一般分為數列極限（如上所述）的定義和函數極限的定義，事實上數列可以看作是定義域為自然數集的函數，因此此處只列函數極限的定義。
函數極限的一般概念為在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的常數，那么這個確定的常數就叫做在這一變化過程中函數的極限。這個極限是與自變量的變化過程密切相關的，由于自變量的變化過程不同，函數的極限就表現為不同的形式。主要研究的兩種極限形式分別是自變量趨于有限值時函數的極限和自變量趨于無窮時函數的極限，定義分別如下：
定義：
自變量趨于有限值時函數的極限： 設函數f(x)在點的某一去心鄰域內有定義。如果存在常數A，對于任意給定的正數（不論它多么?。?，總存在正數，使得當x滿足不等式時，對應的函數值f(x)都滿足不等式，那么常數A就叫做函數f（x）當時的極限，記作或（當）。
自變量趨于無窮大時函數的極限： 設函數f（x）當大于某一正數時有定義。如果存在常數A，對于任意給定的正數（不論它多么小），總存在著正數X，使得當x滿足不等式時，對應的函數值f（x）都滿足不等式，那么常數A就叫做函數f（x）當時的極限，記作。
萊布尼茲記號
微分符號：dx，dy等都由萊布尼茨首先使用。其中“ d ”源自拉丁語中“差”（Differentia）的第一個字母。積分符號“”也是由萊布尼茨所創立，它是拉丁語“總和”（Summa）的第一個字母s的伸長（和有相同的意義），“”為曲線積分（閉合路徑）。
微分學
核心概念
微分學的核心概念是導數和微分。研究內容涉及導數和微分的性質、計算方法以及它們在不同學科領域中的應用，如物理學、經濟學、工程學等。通過微分學的學習，人們可以深入了解函數的變化規律，探索其潛在的特性，并為實際問題提供準確的數學模型和解決方案。
導數
導數是微分學的核心概念之一，它描述了函數在某一點的變化率。它包含了代數意義和幾何意義兩個方面。
導數的代數定義是指給定函數f(x)，如果存在極限，則稱這個極限為函數$f(x)$在$x$處的導數，記作f'(x)。
的幾何意義表示曲線 過點（ ，）切線的斜率.下面從圖形上來理解：
設，M 點的坐標為（ ，），則 N點的坐標為 （ ，），割線 MN 的傾角為 ，切線 MT 的傾角為 ，則割線 MN 的斜率，NP/MP=。，當 時，點 N 沿曲線 C 趨于 M，由切線的定義知 MN 趨于 MT，從而 ，有 ，即切線的斜率 K====。
微分
微分也是微分學的核心概念之一，它包含了代數意義和幾何意義兩個方面。
微分的代數定義是指給定函數f(x)及其導數f'(x)，微分d f(x)表示函數f(x)在x處的變化量，即微小增量。
微分的幾何定義將其解釋為函數曲線上某點切線與函數曲線之間的距離，而微分的物理定義與位移、力等概念有關，它描述了物理量隨位置變化的快慢。
微分方程
方程是指那些含有未知量的等式，它表達了未知量所必須滿足的某種條件。方程的類型繁多，其分類的主要依據就是未知量的類型和對未知量所施加的數學運算。如果在一方程中的未知量是數，這樣的方程就是代數方程或超越方程。如果在一個方程中的未知量是函數，這樣的方程就稱為函數方程。
而一般來說，凡是表示未知函數、未知函數的偏導數與自變量之間的關系的方程就叫做是微分方程，微分方程中所出現的最高階導數的階數，就叫做微分方程的階。微分方程又可以分為常微分方程和偏微分方程。常微分方程是指未知函數只和一個自變量有關，偏微分方程是指未知函數和兩個及以上的自變量函數有關并且在方程中出現偏導數。n階隱式方程的一般形式為，n階顯式方程的一般形式為。
微分方程從生產實踐與科學技術中產生，有著深刻的實際背景，它是現代科學技術中分析問題與解決問題的一個強有力的工具。在人們探求宏觀世界運動規律的過程中，只依賴實驗觀測認識清楚運動規律是非常困難的，因為人們基本無法做到觀察到運動的全過程。然而，運動物體（變量）與它的瞬時變化率（導數）之間，通常在運動過程中按照某種已知定律存在著聯系，捕捉到這種聯系對人們而言是容易的，而這種聯系，用數學語言表述結果往往就能形成一個微分方程。一旦求出這個方程的解，人們也就能觀測到運動過程，得到想要的結果。
微積分基本定理
微積分理論包含許多重要的定理，其中牛頓-萊布尼茨公式是最核心的定理，也被稱為微積分基本定理。定理如下：如果函數f（x）在閉區間【a，b】上連續，且F（x）是f（x）在【a，b】上的一個原函數，則有
牛頓萊布尼茨公式是聯系導數與積分的橋梁，它證明了微分與積分是可逆運算，揭示了定積分與被積函數的原函數之間的聯系，將求函數定積分計算簡化為求函數原函數計算，同時為微積分的應用進行了推廣，給求解曲線的長度、曲線圍成的面積以及曲面圍成的體積等問題提供了一個簡單有效的方法。微積分基本定理的確立和完善對微積分學的發展有重大意義。
積分學
積分學定義
積分在英語中用“integration”表示。Integrate具有“整合、整理”的意思，而積分的本質就是將細分后的單位累積（相加）起來。積分與導數互為逆運算，是在已知導函數的情況下，求原函數的運算。積分學的基本概念是一元函數的不定積分和定積分。
不定積分
若函數f在上連續，且存在原函數F，即，則f在上可積，且，其中C為任意常數，求原函數的過程就是不定積分。函數 在區間 I 上的原函數全體稱為 在區間 I 上的不定積分，記作 。其中，為積分號，為被積函數，為被積表達式，x 為積分變量。求不定積分與求導或求導數互為逆運算，即。在求積分問題時，簡單的不定積分可以直接利用法則和公式，稍微復雜的，可以先對被積函數做恒等變形，變形成可以利用積分的法則和公式的形式，然后按基本積分公式求出結果。
不定積分的幾何意義
表示 的積分曲線族，即與平行的所有曲線。
定積分
定積分概念的起源于物理學中求變力做功和計算平面上曲邊形的面積等問題，采用“有限代替無限”的基本思想可以有效解決這些問題。設是定義在有限閉區間[a,b]上的有界函數，對[a,b]的任意分割，將[a,b]分成有限個小部分 ，用T表示此分法，令，在第k個小區間上任取一點，當時，若積分和極限存在，則稱在[a,b]上是可積的，并把此極限值稱為在[a,b]上的定積分，記作，即。其中，稱為被積函數，稱為被積表達式，x稱為積分變量，[a,b]稱為積分區間，a稱為積分下限，b稱為積分上限。
定積分的幾何意義
表示由 與直線 x=a，x＝b 及 x軸所圍成面積的代數和。
歷史
微積分從萌芽時期至今已有兩千多年的歷史，分為四個階段：萌芽階段、醞釀階段、創立階段和發展階段。在許多數學家的努力下，伴隨著許多相關理論和分支學科的建立，經典的微積分基本定理逐漸確定，艾薩克·牛頓——萊布尼茲公式。
萌芽階段
2000多年前數學家就開始對微積分思想進行探索，早在古希臘時期,歐多克索斯(Eudoxus,約公元前408一約前 355)就提出了極限理論的先驅——窮竭法。中國的莊子（約公元前 369一前286）《莊子·天下篇》中也提到過“一尺之，日取其半，萬事不竭”。在魏晉時期，劉徽提出了“割圓術”的方法，其中蘊涵著分割、求和、極限等思想。真正成為微積分萌芽的是阿基米德用“窮竭法”求出拋物線弓形的面積。但這一階段由于數學家未使用極限和無窮小量，導致“極限”概念還沒有真正出現，因此在這一階段，數學家解決幾何問題都是進行“有限”形式的窮竭法。
從萌芽階段到醞釀階段經歷了漫長的中世紀時期，這段時期包括三個主要的階段：（1）首先古希臘的文化遺產最終由領土逐漸縮小的拜占庭帝國保存下來；（2）到公元 7、8 世紀，在阿拉伯帝國繼承了希臘羅馬的古典名著后確定了代數、三角學以及數學的符號化，建立了“阿拉伯數學”，并重新傳到了西歐；（3）歐洲數學從12世紀到13世紀開始出現轉機，對無限的討論以及對速度的勻速變化率和非勻速變化率的研究已成為數學家們注意的中心。這些時期數學知識經過總結和發展為文藝復興時期微積分的醞釀以及后來微積分的正式創立提供了學術基礎。
微積分思想的起源最早可以追溯到我國戰國時期，《莊子·天下篇》中曾提到過“一尺之錘，日取其半，萬事不竭”；魏晉時期劉徽在求圓周率時提出了“割圓術”的方法，其中蘊含著分割、求和、極限等四項。還有古希臘數學家歐多克斯的“窮竭法”，被認為是微積分的第一步；阿基米德的“平衡法”，運用微元的思想計算面積和體積等。這些都是微積分思想萌芽的最早體現，為后世微積分的誕生打下了基礎。
?醞釀階段
積分學的發展
從 15- 16 世紀歐洲文藝復興時代起，培根、韋達、皮耶·德·費瑪、勒內·笛卡爾、約翰尼斯·開普勒等人總結和完善了前人的思想，深入研究了求切線、求面積和體積這兩類基本問題，為解決這些問題，開普勒(Johannes Kepler)發展了阿基米德求面積和體積的方法，在他的《測量酒桶體積的新科學》一書中提出“任何給定的幾何圖形都是由無窮多個同維數的無窮小圖形構成的，用某種方法把這些小圖形的面積或體積相加就能得到所求的面積或體積”的方法。并且開普勒引入了無限的概念，提出了不成熟的無窮小量和連續性的思想。埃萬杰利斯塔·托里拆利(Torricelli)重新用約翰尼斯·開普勒的同維無窮小去代替卡瓦列利的不可分量，并提出了無窮小的方法，但他們都沒有意識到“求切線”和“求面積”這兩者之間存在著互逆關系。到 17 世紀中葉，數學家們普遍采用利用分割求和及無窮小的性質求積的方法來解決求曲線的長度、曲線圍成的面積和體積、物體的重心等問題。其中法國數學家帕斯卡在證明體積公式時，主要借助于略去無窮序列之和的高次項的方法，這種思想對牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨有很大的影響。
微分學的發展
16 世紀下半葉后隨著近代力學的產生和發展，微分學的概念和法則逐漸被建立和發展。在17 世紀上半葉，為解決力學和天文等方面的問題，如求變化率和切線、函數的極值、物體在任意時刻的速度和加速度等，勒內·笛卡爾和皮耶·德·費瑪引入解析幾何，將幾何問題歸結為代數問題，使微分學有了極大的發展。費馬在 1637 年發表的《求最大值和最小值的方法》中記述了一個借助微小增量求曲線切線的方法，為導數方法做了第一個真正值得注意的先驅工作。笛卡兒在1637 年發表了《科學中的正確運用理性和追求真理的方法論》，從此改變了自古希臘以來代數和幾何分離的趨向，他還提出了坐標系和曲線方程的思想，通過把幾何曲線與代數方程相結合來將“數”與“形”統一了起來。解析幾何的出現，為微積分的創立奠定了基礎。在微積分貢獻方面，除了創立解析幾何外，勒內·笛卡爾還使用“圓法”求出了曲線在任意點的切線方程，其成為了牛頓研究微積分的起點。此外，皮耶·德·費瑪在寫給梅森(M.Mersenne)的一封手稿上記載了求函數的極大值和極小值的方法，該方法的本質是用代數的方法找到導數為 0 的點。雖然費馬對于他的方法的邏輯基礎從來也未作過清楚和全面的解釋，不具有普遍性，但他發現了求切線和求極值有相同的數學結構，這成為求導運算的雛形。對微分的發展有深遠的影響。
17世紀以來，隨著科學和生產力的進一步發展，以下四種類型的問題亟需解決：求變速運動中的即時速度；求曲線的切線；求函數的最值（如炮彈射程的最大發射角問題）；求曲線長度、曲邊梯形面積等。這些問題的提出是促使微積分產生的重要因素，艾薩克·牛頓對此做出了巨大貢獻。牛頓在其三大著作《論流數》《無窮多項方程的分析》《流數法和無窮級數》中，將求切線和求面積之間的互逆關系從巴羅的純幾何形式推廣到了代數形式，第一次以明確形式給出了微積分基本定理，并將其應用到許多動力學和運動學問題中，在經典物理學領域做出了卓越的貢獻。同時，德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨在前人理論的基礎上也獨立創建了微積分，并且他所創設的微積分符號至今為我們使用。然而牛頓和萊布尼茨都沒能嚴格定義自己建立的微積分理論，他們的出發點是直觀的無窮小量，因此尚缺乏嚴密的理論基礎，尤其是對無窮小量的闡述存在矛盾，由此引發了數學史上的第二次危機。后來柯西嚴格定義了無窮小量、函數的極限和連續性等概念，并在此基礎上，重新闡述了微積分理論，從而消除了無窮小量引起的混亂，第二次數學危機得到解決。經過數學家們的不懈努力，微積分最終發展成為一門邏輯嚴密完善的學科。
微積分統一的前期探索
在微積分的醞釀階段前期，微分學和積分學都得到了進一步發展，但兩者是作為獨立的數學問題分別加以研究的。在后期，由于布萊斯·帕斯卡(Pascal Blaise)不再把幾何圖形看作同維無窮小元素所組成，而是看作由維數較低的無窮小元素所組成，并把這些無窮小元素稱為“不可分量”，將無窮小概念引入微分學，對微積分學的發展起到重要作用。他還借助于略去高次項（即略去高階無窮?。?，認為很小的弧線和切線可以相互代替，并進一步作出切線，然而布萊斯·帕斯卡沒有進一步進行代數處理并致力于切線的求法。英國的沃利斯(J.Wallis)基于解析幾何和卡瓦列里的“不可分量原理”，將微積分問題徹底轉化為代數問題而完全脫離幾何表示，并第一個提出無窮大的概念，給出了的無窮乘積的表示。真正將微分和積分聯系起來的是英國的伊薩克·巴羅(Isaac Barrow)，他采用幾何方法，在他的《幾何講義》第十講的命題十一和第十一講的命題十九把“求切線”和“求積”作為互逆問題聯系起來。同時，他將“微分三角形”和皮耶·德·費瑪的方法結合起來，發現了函數增量和自變量增量 之比對于切線的重大意義。現代數學家史家波耶（Boyer）認為，在所有微積分的先導工作中，費馬和巴羅最接近于分析學。
創立階段
在醞釀階段，數學家對微分和積分都做了大量論證工作。17 世紀以來，隨著科學和生產力的進一步發展，以下四種類型的問題亟需解決：求變速運動中的即時速度；求曲線的切線；求函數的最值；求曲線長度、曲邊梯形面積等。這些問題的提出是促使微積分產生的重要因素。到 1670 年后，由于牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨發現微積分相關理論具有內容完整、前后一致的特點并且被應用到多個方面，于是把微積分作為一種具有普遍性的演算方法來總結和發展，最終他們分別獨立地完成了建立概念、提煉出具有普遍意義的微積分方法、把概念和方法的幾何形式改變為解析式等三個重要工作。艾薩克·牛頓在其三大著作《論流數》《無窮多項方程的分析》《流數法和無窮級數》中，將求切線和求面積之間的互逆關系從巴羅的純幾何形式推廣到了代數形式，第一次以明確形式給出了微積分基本定理，并將其應用到許多動力學和運動學問題中。同時，德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨從幾何學上考察切線問題而得出微分法，在前人理論的基礎上也獨立創建了微積分理論，并且他所創設的微積分符號至今為我們使用。牛頓的積分研究的是面積的變化率問題，本質是原函數的概念；而萊布尼茲的積分依賴于橫坐標上無限小區間的縱坐標（或無限小矩形）之和。然而艾薩克·牛頓和萊布尼茲都沒能給出他們自己建立的微積分理論的嚴格定義，尤其是對無窮小量的闡述存在矛盾，由此引發了數學史上的第二次危機。后來柯西對無窮小量、函數的極限和連續性等概念給出了嚴格的定義，并在此基礎上，重新闡述了微積分理論，從而消除了無窮小量引起的混亂。至此，第二次數學危機得到解決。經過數學家們的不斷嘗試和努力，微積分最終發展成為一門完善的學科 。
發展階段
微積分的奠基
一方面，牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨提出了微積分的基本概念：微分、導數和積分，并且建立了微分和積分的互逆關系；但另一方面，他們的概念及推論都存在著問題，有些概念十分模糊（主要是對“無窮小量”的解釋）。正是“無窮小量”概念受到當時許多數學家的批評，尤其是英國主教喬治.貝克萊（George Berkeley），他猛烈抨擊艾薩克·牛頓的理論，并且提出了“貝克萊悖論”，這引發了長期關于微積分邏輯基礎的探討，被數學史上稱為“第二次數學危機”。當然,也有很多人企圖彌補這一缺陷。科林·麥克勞林( Maclaurin,1698-1746)試圖從瞬時速度的理解上加以解釋，但成效不大。泰勒(Taylor,1685-1731)曾用差分去解釋流數，卻被說成“把車子放到了馬的前面”。讓·達朗貝爾(d'Alembert,1717-1783)使用的方法比較正確，他將微積分的基礎歸結為極限，并認為極限是“一個變量趨近于一個固定量,趨近的程度小于任何給定的量”，不過他并未研究到底。
進入 19世紀以后，分析學的不嚴密性到了非解決不可的地步，而嚴密的分析是從波爾查諾(Bolzano,1781-1848)，阿貝爾和奧古斯丁-路易·柯西(Cauchy,1789-1857)等人開始的。這和非歐幾何的創立、群論的發現差不多處于同一時期。1821年，柯西的《分析教程》一書中將極限定義為“若代表某變量的一串數值無限地趨向于某一數值,其差可任意小,則該固定值稱為這一串數值的極限?！彼o出極限比較精確的定義，然后用它定義了連續、導數、導數、微積分和無窮級數的收斂性，并由此出發建立起一個微積分體系。后來卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass）創立“ ”語言嚴格定義了極限，才完全擺脫了幾何直觀所帶來的模糊概念，結束了“第二次數學危機”，并沿用至今。此外，奧古斯丁-路易·柯西給出了原函數的準確定義，并推導出牛頓——萊布尼茲公式。至此，柯西建立了一套完整的積分理論。
微積分的發展
然而柯西的積分理論是基于閉區間上連續函數提出的，所以不適用于閉區間上有無限多不連續點的情況。在狄利克雷的影響之下，伯恩哈德·黎曼在1854年的“就職論文”(Habilitationschrift)一文中重新考察了用三角級數來表示函數的可能性，提出了黎曼積分并且成功實現了這個想法，找到了不需要預先假設函數的連續性就定義積分的途徑，使可積性同連續性分離。黎曼在得到每一個連續函數都是可積的這一結論以后，沒有再進行深入研究。閉區間上的連續函數的一致連續性，是直到十八世紀七十年代初有了布爾查諾一卡爾·魏爾施特拉斯定理(由布爾查諾提出，由魏爾斯特拉斯證明的)以后方才嚴格證明的。按照這個定理，一個閉區間上的每一個無窮點列，都具有收斂于這個區間的某一點的子序列。亨利·勒貝格（Lebesgue）提出的勒貝格積分與有界函數的伯恩哈德·黎曼積分對定義域無窮分割開始構建微積分不同，它是對函數值域進行無窮分割的，使得勒貝格可積函數遠多于黎曼可積函數。這樣狄利克雷、黎曼等重建了積分的定義，使微積分可以處理閉區間上具有無限多不連續點的函數。
微積分的推廣
在18 世紀， 微積分得到了進一步發展，因此18世紀被稱為“分析的時代”。雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）和約翰·白努利（JohannBernoulli）繼承和發展了萊布尼茲的微積分理論，他們把微積分推廣到多元函數而建立偏導數理論和多重積分理論，并推動了無窮級數、微分方程、變分法等微積分分支學科的發展，構建了現代初等微積分的大部分內容。在英國， 布魯克·泰勒（Brook Taylor）和科林·麥克勞林（Colin Maclaurin）繼承了牛頓的無窮級數理論，創建了泰勒公式和麥克勞林公式。
分析學在 19世紀的最后幾十年中有許多理論上的進展，海涅在 1870年提出一致連續性。1895年埃米爾·博雷爾(Borel,1871-1956)運用海涅的一個性質，將它上升為有限覆蓋定理。1872年卡爾·魏爾施特拉斯給出了處處連續而不可微的函數例子。伯恩哈德·黎曼(Riemann.1826-1866)和達布(Darboux,1842-1917)給出了有界函數可積性的定義和充要條件。
二十世紀微積分在兩個完全不同的方面有了新發展，H．亨利·勒貝格(Lebesque，1875—1941)在他的工作中提出的包羅廣泛的積分理論，在某種意義上，可以說是實變量實值函數的積分概念的最后推廣。A．魯賓遜(Robinson，1918—1974)的非標準分析，則終于為十七和十八世紀經常使用的無窮小概念提供了邏輯基礎。
微積分學的應用
微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關系密切，包括護理學、醫藥學、工業工程學、商業管理學、精算學、計算機學、統計學、人口統計等，特別是物理學、數學和經濟學中經常會用到微積分學。在數學層面，微積分使得數學可以在變量和常量之間互相轉化，讓我們可以已知一種方式時推導出來另一種方式；在物理學層面，微積分可以用來研究物體變速運動或變力做功等問題；在經濟學層面，微積分能夠用于企業的生產優化和決策等。
微積分在數學中的應用
微積分在數學中的應用十分廣泛，具體情況如下：
(一)數學建模
通過數學建模，可以將生活中的很多抽象問題具體化，因此可以解決很多復雜的數學問題。在傳統數學的應用過程中，人們運用微積分建立了許多數學模型，這些模型的研究和應用為該領域的研究做出了卓越貢獻。例如，著名科學家艾薩克·牛頓，他借助自身研究的微積分提出了萬有引力定律。19世紀中葉比利時數學家韋爾侯斯特（Pierre-Fran?ois Verhulst）通過微積分建立阻滯增長模型。它不僅能夠大體上描述人口及許多物種數量（魚塘中的魚群）的變化規律，而且在社會經濟領域也有廣泛的應用，例如耐用消費品的銷售量。經濟學中著名的數學模型道格拉斯生產函數、經濟訂貨批量公式也是由微積分得到的。
例：在當前比較熱門的房貸問題中，也運用到微積分的相關知識。房貸還息一般有兩種方式: 一種方式是等額本金，另一種方式是等額本息。依據這兩種還 款方式的不同，設某人貸款額為 A，利息為 m，還款月數為 n，月還款額為 x。根據還款要求，兩種方式可以分別生成這樣的數學模型: ，。顯然，可以通過微積分的相關知識對兩式求解并比較出 和 的大小，從而判斷哪種還款方式更為合理。
(二)運用微積分解答不等式證明問題
不等式是數學研究的重要工具之一，但由于不等式具有抽象性、邏輯性強的特點導致不等式的初等證法難度較大，而利用微積分思想可以使不等式的證明思路變得簡單，同時可以降低技巧性。 例如在拉格朗日中值定理、可導函數單調性、泰勒展開式、極值判定定理等證明中都可以運用微積分的知識來證明。
例：利用積分中值定理，積分中值定理的內容主要為: 在區間(a,b) 內處于連續狀態，那么至少存在一點 ，滿足
假設 f(x) 為一個單調遞減函數,在區間[0,1] 上處于連續狀態，試證明當 0 < α < β < 1時，不等 成立。
證明：利用積分中值定理的相關思想，以及函數的單調遞減性質，得：
又因:函數 非負以及0 < < < 1，由式(1) 與式(2)，便可以得到：
經化簡，得，式子的兩邊同時乘以
最終得到：
又因：
所以，
證畢。
(三)運用微積分作圖和表達函數形態變化
函數圖像的直觀性特點明顯，畫圖多采用手繪的方式，但這種作圖的方式畫出的圖像比較粗糙，無法完美展示出函數的特點。因此通過手繪這種方式來展現函數是有缺陷的。而微積分和導數概念相似，并且導數也是微積分的一個重要組成部分。因此，可以借助導數理論來反映出函數的增減區域和計算極值，并且通過這種方式反映出的函數圖像是比較準確的。由此也可以看出，在了解函數變化形態和作圖的過程中，微積分具有極大的指導應用價值。
微積分學在經濟學上的應用
微積分作為重要的數學工具，與經濟學學科交叉結合，化抽象為具體，化模糊為精確。隨著經濟的發展，微積分的應用逐漸滲透到財務管理、市場營銷、財政、稅務等各個經濟領域。
（一）積分知識運用
據研究，市場經濟存在結構為市場主體有限且在商品需求表現方面為離散型，此種結構存在一定特殊性，可采用累加方式計算消費者剩余（“消費者剩余”指的是商品機制與商品定價間存在的差額概念，也可以理解為消費者以自身消費偏好或實際經濟能力為依據所支付商品價格與現實支出商品價格間存在的差額），要注意的是，若出現連續需求函數關系，則累加方式應采用積分知識計算消費者剩余。積分與經濟學的有效融合并不局限于固有方向，微分逆運用也發揮著顯著作用，通過現有函數即邊際利潤、邊際成本、邊際收益明確得知的函數的積分處理來計算生產、需求函數。
例： 某生活用品生產企業的生產成本 C 和產量 Q 之間的函數關系為 （元），企業的收入 R 與產量 Q 函數的函數關系為（元）。試問，當企業生產多少件產品時，企業的利潤 能夠達到最大。
對于這個問題，可運用導數的思想來求解：
令 ，得（件）
驗證：由于 ，所以當生產 130 件時，企業將獲得最大利潤，為 16800元。
（二）導數知識運用
受相關因素影響，定量分析面臨許多困難，而導數知識運用可以較好地解決此些難題?？紤]到實際，雖然導數在經濟學中的運用涉及范圍廣泛，但關鍵運用集中于經濟變量彈性探究與邊際分析（在微分學中，通過對已知函數的求導運算而得出的結果就是邊際函數），其中邊際分析既包括邊際利潤方面也涉及邊際收益與邊際成本方面，在利潤函數、收益函數已經得知的情況下可以通過導數知識計算廠商實際邊際利潤與收益。另外，彈性分析也是偏導數知識與經濟學有效融合的重要表現，函數自變量中相對變量間的商的具體極限是函數彈性所在。經濟學中，導數彈性知識運用的主要目的在于把握經濟模型中所涉及變量間的敏感程度，既涉及商品需求彈性也包括需求實際價格彈性。
例： 某企業生產一款產品的邊際收入函數為 （萬元 /噸），固定成本為 1萬元，邊際成本函數為 （萬元 / 噸），求企業取得最大利潤時的產量和利潤分別是多少。
分析過程：由題意可以得企業的總利潤函數為，由此得到邊際利潤函數為 ，令其等于 0, 求解得出唯一的駐點： 4 。因此，當企業獲得最大利潤時，必然存在且只存在唯一駐點，所以，當企業產品的產量在 4 噸時，企業利潤最大。由上述分析可以得出，企業的總收入函數為：
企業的總成本函數為：
所以企業產量為 4 噸時，企業獲得最大利潤 9 萬元。
微積分在物理學上的應用
積分在物理學中的應用相當廣泛，有很多重要的物理概念以及物理定律都是直接以微積分的形式給出的，例如速度、加速度、轉動慣量、安培定律等。
（一）微元法
物理學上經常采用導數的思想來將復雜問題簡單化。微元法就是將物理學所研究的對象在時間或空間上分割成小量后再對小量進行近似求解， 這些近似處理在無限次分割的情況下趨近于物理問題的真實結果。由無限分割所得到的小量稱為微分元，簡稱微元。微元主要三種類型：線元、面元和體元，在合理地選擇構造微元后，運用適當的物理公式，就可使復雜的物理間題簡單化，最后求得到理想的物理結果。
例如在力學中對于速度、加速度和變力做功的求解中用到了位移元、時間元、速度元和功元；在剛體質心的求解中用到了質量微元；在電磁學部分對于電場強度和電勢等物理量的求解中用到了電荷元；在磁場強度的求解中用到了電流元等。
（二）積分法
中學階段的物理學中大部分定理中適用的對象大多數都是離散變量或是理想模型，在深入研究物理學的過程中，為了處理連續量和變量的物理問題，除了應用微元法外，還要利用積分思想，即對求得的離散的微元問題進行求和。從物理上解釋就是標量的代數和、向量的迭加原理。積分法在物理學中的應用十分廣泛，例如：電磁學中高斯定理中高斯面內電荷的代數和、磁場安培環路定理中環路內電流的代數和等標量的迭加，還有電場強度、磁場應強度等矢量的迭加原理等。積分法也可以被稱為是大學物理中應用最廣泛的方法之一。
微積分在實際生活中的應用
自微積分學產生以來就對人們生活產生了很大影響，而且隨著微積分學科的不斷發展和完善，它對越來越多的領域都產生了重大的影響，例如計算機、商業管理、通信、建筑工程、醫藥等領域。因此，通過了解微積分在實際生活中的一些應用可以幫助我們意識到微積分的重要性，同時對微積分在實際生活中的應用方式進行探索，對于幫助我們更好、更快地解決實際問題也十分有益。
應用在通信技術領域
微積分理論不僅可以放大通信信號，為信號傳輸提供了便利，還能識別傳輸過程中比較特殊的信號來提高信息識別的時效性和準確性。通常情況下，需要相關人員采集和處理大量信息才能對有用信息進行準確識別，但是如果將微積分理論應用在信息處理過程，通過計算讓信號參數值得到進一步放大，就可以提高信號傳輸速度和識別有效性，例如指紋識別技術， 當用戶將指紋信息傳送給系統后，系統就回利用微積分方程來預算數據信息，通過對信號頻域進行改變可以讓信號強度得到進一步增強，進而提高指紋信息識別的準確性。
應用在建筑工程領域
微積分在建筑領域已經實現了廣泛的應用，例如建筑工程造價管理是工程管理的關鍵，這一環節不僅需要對大量信息進行處理，還要進行運算，對人工的消耗巨大。但是如果 在工程造價中應用微積分理論就可以讓運算效率得到顯著提升，還可以提高工程造價管理的有效性。 例如，在計算建筑坡道和急彎輪廓時，不僅需要計算坡道坡度和急彎角度，還要對處于這種情況的建筑物承受力進行計算，這是一項煩瑣而復雜的計算工作，而且存在很大的計算失誤概率，而借助微積分理論知識進行計算可以讓計算工作更加高效和準確。
應用在機械設計領域
微積分在機械設計領域也起到巨大作用，應用微積分理論知識可以幫助機械設計的高效進行。 例如，可以將微積分計算應用在多邊界模型創建后的后續設計中來提高計算準確率和有效性，確保機械設計順利進行。由于機械設計不僅需要對各種復雜零件進行設計，還需要詳細分析和準確計算這些零件的外形，因此可以利用微積分理論知識來輔助葉片外形設計，不僅能夠提高設計效率，而且還能兼顧到外界溫度對葉片外形的影響，以及離心力的影響作用。 此外，微積分方程還能幫助相關設計人員計算出設備葉片外形在各種參數影響下產生的變形情況，并對設備葉片運行特征所受的影響進行了解，從而為汽輪葉片能夠實現安全運轉提供了基礎保障。
參考資料 >
微積分學.術語在線.2023-10-31