積分（integral）是微積分中的一個概念，分為定積分和不定積分兩種。定積分的定義由曲邊梯形的面積與平面薄片的質(zhì)量等引例引出。實函數(shù)在實數(shù)區(qū)間的定積分為：
函數(shù) f(x)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f(x)在I上的不定積分，記為。若已知F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，則：
其中是任意常數(shù)，這也意味著函數(shù)的不定積分不是唯一的。
17 世紀(jì)初，英國艾薩克·牛頓(SirIsaacNewton）從運(yùn)動學(xué)出發(fā)，由力學(xué)創(chuàng)造流數(shù)學(xué)（微積分），同時期，德國戈特弗里德·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz）從幾何學(xué)出發(fā)，由研究曲線的切線問題創(chuàng)立了微積分。
積分的最基本意義是“區(qū)間內(nèi)的累計變化量”，即用一個數(shù)值來表示一個變量在某一區(qū)間內(nèi)的累積變化量。在數(shù)學(xué)上，積分可以用于求解曲線下面的面積、定積分可以計算函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)的平均值以及反常積分則可以處理無限區(qū)間的值。
歷史
公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯（Eudoxus）創(chuàng)立了較嚴(yán)格的確定面積和體積的一般方法“窮竭法"，這種方法假定量的無限可分性，并且以下面命題為基礎(chǔ)：“如果從任何量中減去一個不小于它的一半的部分，從余部中再減去不小于他的一半的另一部分，則最后將留下一個小于任何給定的同類量的量。歐多克斯的窮竭法，也已體現(xiàn)出了極限論思想。
公元263年左右，中國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓面積。即所謂“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。劉徽提出的割圓術(shù)就開始孕育了積分思想。
經(jīng)過萊昂哈德·歐拉（Leonhard?Euler）、讓·達(dá)朗貝爾（D’Alember Jean Le Rond）、約瑟夫·拉格朗日（Joseph Lagrange）等著名數(shù)學(xué)家研究奠基后，直到17 世紀(jì)初，英國艾薩克·牛頓(SirIsaacNewton）從運(yùn)動學(xué)出發(fā)，由力學(xué)創(chuàng)造流數(shù)學(xué)（微積分），同時期，德國戈特弗里德·威廉·萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz）從幾何學(xué)出發(fā)，由研究曲線的切線問題創(chuàng)立了微積分。
19 世紀(jì)，奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）通過研究得到連續(xù)函數(shù)一定存在積分的結(jié)論，隨后，波恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）發(fā)現(xiàn)具有有限個間斷點的不連續(xù)函數(shù)也存在積分，進(jìn)而黎曼將柯西積分中的連續(xù)函數(shù)推廣到了有界函數(shù)，并定義了黎曼積分，這在很大程度上完善了積分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫽A(chǔ)及定義。
定義
黎曼積分
是指將一個定義在區(qū)間上的函數(shù)，使用黎曼和去逼近該區(qū)間上的曲線下面積。
設(shè) f(x)為定義在區(qū)間 [a，b] 上的有界函數(shù)，任取一分點組T，，將區(qū)間 [a，b] 分為n部分 ，并且在每個子區(qū)間上任取一點，，作和
令r=，如果對任意的分法與的任意取法，當(dāng)r→0 時，S趨于有限的極限，則稱它為函數(shù) f(x) 在區(qū)間 [a，b] 上的黎曼積分I可以表示為：
其中R是區(qū)間 [a，b]的常數(shù)，稱為黎曼和的精度因子，通常取中點、左端點或右端點。
勒貝格積分
設(shè)E是一個勒貝格可測集，，f（x）是定義是定義在 E上的勒貝格可測函數(shù)，又設(shè)f（x）是有界的，就是說存在實數(shù)l及u，使得在[I，u]中任取一分點組 D
記如果對任意的分法與的任意取法，當(dāng)時，S(D)趨于有限的極限，則稱它f（x）在E上關(guān)于勒貝格測度的積分，記作：
其中表示在集合D上的函數(shù)的積分進(jìn)行求解，集合的測度趨于0。
巴拿赫定理
是一種將函數(shù)在一個區(qū)間內(nèi)的積分轉(zhuǎn)化為直接運(yùn)算的方法。
設(shè) f(x)是定義在區(qū)間 [a，b] 上的可測函數(shù)，若存在一個集合 ，滿足以下條件：
則函數(shù) f(x)在區(qū)間 [a，b] 上的積分可以表示為：
其中f(x)表示為的逐點收斂極限。
數(shù)值積分
數(shù)值積分是通過數(shù)值方法對積分進(jìn)行近似計算，其基本思想是將積分區(qū)間劃分成若干個小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間內(nèi)選取若干個離散點，在這些離散點上計算函數(shù)值，然后對這些函數(shù)值進(jìn)行加權(quán)求和，從而得到積分的近似值。
數(shù)值積分通過矩形法：即將積分區(qū)間等分為若干個小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間的中點處計算函數(shù)值，將這些函數(shù)值乘以各自區(qū)間的長度，最后進(jìn)行加權(quán)求和的表達(dá)式如下：
通過梯形法：將積分區(qū)間等分為若干個小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間的端點處計算函數(shù)值，將這些函數(shù)值兩兩相加后再乘以各自區(qū)間的長度的一半，最后進(jìn)行加權(quán)求和。數(shù)值積分的表達(dá)式如下：
積分的性質(zhì)
區(qū)間可加性
積分的可加性是指對于兩個可積函數(shù)f和g以及定義域D上的任意分割P和Q，有
這里的 表示面積元素。對于可積函數(shù)的和，可以將其分別積分后再相加，也可以直接對和進(jìn)行積分。
積分形式
設(shè)，，且各積分均有意義，則，，即：
設(shè)和 在分別是 上的兩個可積函數(shù)，且且 ，則有
3.Cauchy（柯西）不等式：Cauchy不等式是Holder不等式的推論，當(dāng)時就是Cauchy不等式：
積分第一基本定理
積分第一中值定理是分析中的一個非常重要的定理。數(shù)學(xué)分析教材、實變函數(shù)論教材在證明此定理時都是使用閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值性質(zhì)與介值性質(zhì)。其表述為：
若 是上的連續(xù)函數(shù)，在上Riemann 可積，且在上嚴(yán)格不變號，則有：使得。
積分第二基本定理
對于一些無法使用積分第一基本定理（微積分基本公式）直接求出的不定積分，可以使用積分第二基本定理來求解。
積分第二基本定理的表述如下：
設(shè) f(x) 在 [a，b] 上連續(xù)，則
其中，f'(x) 表示 f(x) 的導(dǎo)函數(shù)。
該公式的含義是：若 f(x) 和其偏導(dǎo)數(shù) f'(x) 在 [a，b] 內(nèi)連續(xù)，則對于任意整數(shù) n，上述定積分可以通過下列公式求解：將 f'(x) 與 sin(nx)或者cos(nx)分別相乘再求定積分，然后加上邊界項 或者 乘以的取值，即可得到原始函數(shù) f(x) 的n倍周期內(nèi)的定積分。
反常積分
無窮積分與瑕積分統(tǒng)稱為反常積分，其中無窮積分表示在某個區(qū)間內(nèi)的某個函數(shù)在無限遠(yuǎn)處的積分。形式上，若函數(shù)f(x)在上定義，則其無窮積分為：
瑕積分表示在無限區(qū)間內(nèi)的某處有瑕點的函數(shù)的積分，即在有限的區(qū)間內(nèi)函數(shù)有奇點或間斷點的積分。瑕積分的表達(dá)式為：
反常積分是積分理論中的重要內(nèi)容。指定積分在某些情況下不能適用積分第一基本定理（微積分基本公式）或積分第二基本定理（分部積分）求解的情況。反常積分是在定積分公式中不連續(xù)、無窮或者無限趨近某個數(shù)值的函數(shù)所形成的積分。這類函數(shù)可能會在定義區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生無窮結(jié)果，因此需要使用其他的方法來求解。反常積分的求解可以使用以下兩種方法：
牛頓—萊布尼茲公式法：
假設(shè)f(x)是定義在[a，b]上的可積函數(shù)，記 ，則有牛頓-萊布尼茲公式：
換元積分法：f(x)在[a，b]上連續(xù)，做代換，其中在閉區(qū)間[a，b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),當(dāng)時，且，則：
重積分
重積分是指對二元或多元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)確定的某一區(qū)域上某一變量的積分，或者對某一變量區(qū)間上的一元函數(shù)積分。重積分有三種形式：定積分、累次積分和二重積分。其中，定積分是將某個函數(shù)沿一條固定的直線或者曲線上的長度積分，是微積分中最基本的概念；累次積分是通過二次積分的形式，將二元函數(shù)中的一個變量通過反復(fù)積分消去，使其變成一元函數(shù)的積分；而二重積分則是針對在給定的區(qū)域中某一變量的積分，根據(jù)泛函理論的基本概念，將幾何區(qū)域劃分成許多小面積，求和后得到整個區(qū)域上積分的定義。
重積分的解法涉及到不同的計算方法，比如說極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)、橢圓坐標(biāo)等。常見的解法包括面積法、套型法、格威羅變換等。
曲線積分
曲線積分包括第一型線積分和第二型線積分兩種類型。
第一型線積分的是某一標(biāo)量場在一條有向曲線上的積分值表示為：
計算公式是：
其中，t是曲線C的參數(shù)方程，a和b是t的取值范圍。
第二型線積分計算的是某一矢量場沿一條有向曲線的積分值表示為：
計算公式為：
其中表示曲線C上的單位切向量，即，是曲線C的向量參數(shù)方程，a和b是t的取值范圍。
曲面積分
曲面積分包括第一型曲面積分和第二型曲面積分兩種類型。
第一型曲面積分的計算方法是先確定一個曲面 S，然后在曲面 S 上選擇一個面積微元 dS 進(jìn)行積分。如果要計算曲面 S 上某個標(biāo)量函數(shù) f(x,y,z) 的積分，第一型曲面積分的公式為：
其中，積分區(qū)域為曲面 S，dS 表示曲面 S 上的面積微元，f(x,y,z) 表示要進(jìn)行積分的標(biāo)量函數(shù)。
第二型曲面積分的計算方法是先確定一個曲面 S，然后在曲面 S 上選擇一個面積微元 dS 進(jìn)行積分。如果要計算曲面 S 上某個向量函數(shù) F(x,y,z) 的積分，第二型曲面積分的公式為：
其中，積分區(qū)域為曲面 S，dS 表示曲面 S 上的面積微元，F(xiàn)(x,y,z) 表示要進(jìn)行積分的向量函數(shù)，n(x,y,z) 表示曲面 S 在該點的法向量。
計算
分部積分
分部積分法適用于求解一些無法通過簡單代數(shù)式或替換變量等方法求解的積分問題。
如：
我們可以使用分部積分法來求解。假設(shè) u = x，，則有：
du = dx，
根據(jù)分部積分公式，可得：
換元法
積分換元法是微積分中常用的一種積分方法，其主要思想是通過一個變量代換，將積分式子的形式轉(zhuǎn)化為更加容易求解的形式。如：
令 ，則，原積分可化為：
其中C為積分常數(shù)。
三角換元法
通過將被積函數(shù)中的代數(shù)或無理部分轉(zhuǎn)換成三角函數(shù)的形式，從而改變被積函數(shù)的形式，使其更容易進(jìn)行積分。
例如求解，使用三角換元法，令則：
將代入原式，得到：
即：
所以原式的解為
分式分解法
將積分式子進(jìn)行分式分解，然后對分式進(jìn)行積分，最后將每個部分的積分結(jié)果加起來，即為整個積分的結(jié)果。
例如求解
首先，我們可以將分母因式分解為的形式，我們可以將原式表示為：
接下來，我們需要求解常數(shù)A和B的值。化簡等式兩側(cè)，我們可以得到：
讓分別取1和-3，得到：
因此，原積分變?yōu)椋?/p>
其中C是積分常數(shù)。
輔助角換元法
通過將積分式子中的三角函數(shù)進(jìn)行輔助角變換，將原積分式子轉(zhuǎn)化為可以求解的形式。
例如，求解，使用輔助角換元法，將中的正弦函數(shù)變換成余弦函數(shù)的形式。可以將分母中的
拆分為，即：
然后，令，即x=2t，代入原式得到：
最后，將代入，得到積分的最終結(jié)果：
應(yīng)用
數(shù)學(xué)應(yīng)用
積分是高等數(shù)學(xué)中的一個重要分支，主要研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分以及相關(guān)概念，具有很強(qiáng)的實用性。積分方法源于實踐，能夠解決許多實際問題，包括面積數(shù)學(xué)積分和體積數(shù)學(xué)積分。前者主要解決直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的區(qū)域面積以及平面曲線的弧長問題，后者主要解決旋轉(zhuǎn)體的體積和立體的體積。
在數(shù)學(xué)問題中，不定積分計算的是原函數(shù)，是微分的逆運(yùn)算；而定積分計算的是具體的數(shù)值，建立在不定積分基礎(chǔ)上的代入原值進(jìn)行相減。因此，數(shù)學(xué)積分不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，也可以在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域中應(yīng)用于探究具體的數(shù)值和變量規(guī)律。積分方法有多種方法，如換元法、分部積分法、三角函數(shù)代換等，可以根據(jù)具體問題選擇合適的方法，簡化計算過程，提高效率。
經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用
在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，積分的應(yīng)用主要是解決邊際需求和邊際供給的問題。在實際生活中，很多統(tǒng)計問題無法精確化，但是積分方法中極限思想的引入使得一些函數(shù)可以解決這樣的問題。利用微積分方法引申出的彈性函數(shù)，可以很好地解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中行情不穩(wěn)定的事物的價格走勢等問題，某一變量隨時間變化所引發(fā)的無規(guī)則變化，因變量的變化規(guī)律很難找出，解決這一困難的唯一方法就是積分法，即利用積分法引申的彈性函數(shù)來預(yù)測事物的發(fā)展規(guī)律。通過對變量的連續(xù)積分，可以得到數(shù)據(jù)變化的總量，從而推測其變化趨勢，為決策提供重要參考。
物理學(xué)應(yīng)用
在物理學(xué)中，定積分發(fā)揮著重要作用。通過定積分研究物理學(xué)中的某些理論，將物理學(xué)轉(zhuǎn)化為定積分，并使用微元法解決物理學(xué)中的變力做功、水的壓力、轉(zhuǎn)動慣量、感應(yīng)電動等變量問題，為實際操作提供指南。可以說，微元和定積分幾乎貫穿了物理學(xué)的整個教學(xué)過程。微分是運(yùn)用極限思維將研究個體或過程分解成無限個微元，并對某個微元進(jìn)行研究分析，從而找到某種規(guī)律。積分是在微分的基礎(chǔ)上對微元進(jìn)行加和累積，通過這樣的一個分解加和來解決物理學(xué)中的相關(guān)問題。
生活應(yīng)用
積分在生活和學(xué)習(xí)中都有其獨特的、最優(yōu)的價值。在現(xiàn)實生活中，有許多實例可以體現(xiàn)積分方法的應(yīng)用。積分的思想是極限，在計算不規(guī)則圖形的面積時，積分是唯一可行的方法，它常用于制圖設(shè)計，一些復(fù)雜工程的不規(guī)則表面設(shè)計就需要用到積分。積分還可以應(yīng)用于園藝建設(shè)中，使用積分方法計算不規(guī)則面積的優(yōu)點是可以準(zhǔn)確計算園藝土地面積和植物的體積，這對于做好園藝建設(shè)非常重要。在管理上，積分也起到了重要作用。在企業(yè)管理中，積分方法可以用于預(yù)測模型，從而制定更加合理的管理方案，有利于企業(yè)更加健康地發(fā)展。
未來發(fā)展
隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，積分在未來的應(yīng)用領(lǐng)域?qū)訌V泛。
工程技術(shù)領(lǐng)域
積分在計算機(jī)圖形學(xué)中，積分被用來描述圖形的輪廓、曲面等特征；在機(jī)器人控制中，積分被用來計算機(jī)器人的位置、速度等狀態(tài)。
經(jīng)濟(jì)金融領(lǐng)域
在經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)領(lǐng)域中，積分有著廣泛的應(yīng)用，例如在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，積分被用來計算價格、生產(chǎn)函數(shù)等；在金融領(lǐng)域中，積分被用來計算金融產(chǎn)品的收益、風(fēng)險等。
生命科學(xué)領(lǐng)域
隨著生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的迅速發(fā)展，積分在生命科學(xué)領(lǐng)域例如在生物統(tǒng)計學(xué)、分子生物學(xué)等領(lǐng)域中，積分被用來計算和模擬生物體內(nèi)的生理、化學(xué)過程。
參考資料 >