有界函數(shù)是設f(x)是區(qū)間E上的函數(shù)，若對于任意的x屬于E，存在常數(shù)m、M，使得m≤f(x)≤M，則稱f(x)是區(qū)間E上的有界函數(shù)。其中m稱為f(x)在區(qū)間E上的下界，M稱為f(x)在區(qū)間E上的上界。
有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。根據定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?(D)是一個有上（下）界的數(shù)集。根據確界原理，?在定義域上有上（下）確界。一個特例是有界數(shù)列，其中X是所有自然數(shù)所組成的集合N。由? (x)=sinx所定義的函數(shù)f:R→R是有界的。當x越來越接近-1或1時，函數(shù)的值就變得越來越大。
概念
等價定義
設?(x)是區(qū)間E上的函數(shù)。若對于任意屬于E的x，存在常數(shù)，使得，則稱?(X)是區(qū)間E上的有界函數(shù)。
例子
正弦函數(shù) 和余弦函數(shù)為R上的有界函數(shù)，因為對于每個都有和
新的概念
下面介紹與有界函數(shù)概念相關的幾個概念。
相關概念
設函數(shù)f(x)是某一個實數(shù)集A上有定義，如果存在正數(shù)M 對于一切都有不等式的則稱函數(shù)f(x)在A上有界，如果不存在這樣定義的正數(shù)M則稱函數(shù)f(x)在A上無界 設f為定義在D上的函數(shù)，若存在數(shù)M（L），使得對每一個有：
則稱?在D上有上（下）界的函數(shù)，M（L）稱為?在D上的一個上（下）界。
根據定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?(D)是一個有上（下）界的數(shù)集。又若M(L)為?在D上的上（下）界，則任何大于（小于）M（L）的數(shù)也是?在D上的上（下）界。根據確界原理，?在定義域上有上（下）確界。
一個特例是有界數(shù)列，其中X是所有自然數(shù)所組成的集合N。所以，一個數(shù)列() 是有界的，如果存在一個數(shù)，使得對于所有的自然數(shù)n，都有：。
例子
由所定義的函數(shù)f:是有界的。如果正弦函數(shù)是定義在所有復數(shù)的集合上，則不再是有界的。函數(shù) （x不等于-1或1）是無界的。當x越來越接近-1或1時，函數(shù)的值就變得越來越大。但是，如果把函數(shù)的定義域限制為[2,∞)，則函數(shù)就是有界的。
函數(shù)是有界的。
任何一個連續(xù)函數(shù) →R都是有界的。考慮這樣一個函數(shù)：當x是有理數(shù)時，函數(shù)的值是0，而當x是無理數(shù)時，函數(shù)的值是1。這個函數(shù)是有界的。有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。
性質
函數(shù)的有界性與其他函數(shù)性質之間的關系
函數(shù)的性質：有界性，單調性，周期性，連續(xù)性，可積性。
單調性
閉區(qū)間上的單調函數(shù)必有界。其逆命題不成立。
連續(xù)性
閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有界。其逆命題不成立。
可積性
閉區(qū)間上的可積函數(shù)必有界。其逆命題不成立。
相對概念：無界函數(shù)
類似的我們可以定義無界函數(shù): 設?為定義在D上的函數(shù)，若對于任何M（無論M多大），都存在，使得。
參考資料 >