三角函數（Trigonometric functions），又叫圓函數、角函數或測角函數，基本初等函數之一，是以角度（數學上最常用弧度制，下同）為自變量，角度對應任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的純粹數學工具。數學分析上，周期函數三角函數亦定義為級數或特定微分方程的解，它們的取值是任意實數值，并允許將正弦函數和余弦函數的域擴展到整個復平面，也將其他三角函數的域延伸到復平面（從中刪除一些孤立點），因此取值也可以是復數值。
三角函數的早期研究可以追溯到古代，但現代使用的三角函數是在中世紀發展起來的。巴比倫和古埃及人在天文中積累了關于角度和邊長關系的經驗知識，公元前二世紀的喜帕恰斯制作了世界上第一張弦表，被認為是三角函數的雛形，后經克羅狄斯·托勒密進一步完善，首張弦表發表之后余弦表、正切表相繼而出，十八世紀牛頓、萊昂哈德·歐拉等數學家對三角函數進行分析學上的研究，定義三角函數為級數。
常見的三角函數包括正弦函數、余弦函數和正切函數。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如余切函數、正割函數、余割函數、正矢函數、余矢函數、半正矢函數、半余矢函數等其他的三角函數。其中，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六個三角函數中的每一個都有一個相應的反函數（稱為反三角函數）。不同的三角函數之間的關系可以通過幾何直觀或者計算得出，三角函數之間可以相互換算，通常稱為三角恒等式，包括誘導公式、二倍角公式、三倍角公式、降冪公式等。
三角函數一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。在數學中，還有一類與常見的三角函數（或圓函數）類似的函數，通常稱為雙曲函數（或類三角函數），最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數sinh和雙曲余弦函數cosh，進而推導更多雙曲函數。
發展歷史
歷史沿革
古代
三角函數的早期研究可以追溯到古代，公元五世紀到十二世紀，印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學的內容卻由于印度數學家的努力而大大的豐富了。“三角學”，英文trigonometry，法文trigonometrie，德語Trigonometrie，都來自拉丁文trigonometria。現代三角學一詞最初見于希臘文。最先使用trigonometry這個詞的是德國數學家皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版的著作《三角學:解三角學的簡明處理》中，創造了這個新詞。它源于希臘文τριγωυου(三角學)和μετρειυ(測量)，原義為三角形的測量，或者解三角形。當時的三角學沒有形成一門獨立的科學，而是依附于以觀測太陽和星星為目標的天文學。
三角函數的奠基人是古希臘學者喜帕恰斯（公元前180-125年），他被稱為“三角學之父”。他按照巴比倫人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度，與現代的弧度制不同）。他用既定的弧度，計算出對應的弦的長度數值，這些數值和現代的正弦函數是等價的，喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數數值表。梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的克羅狄斯·托勒密時代達到了高峰，托勒密在《數學匯編》（Syntaxis Mathematica）中計算了36度角和72度角的正弦值，還給出了計算和角公式和半角公式的方法，并給出了所有0到180度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值。古希臘文化傳播到古印度后，古印度人對三角術進行了進一步的研究。公元五世紀末的數學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦的方法，也使用了余弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位，重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度（3.75°）的三角函數值表。但古印度的數學與當時的中國一樣，只停留在計算方面，缺乏系統的定義和演繹的證明。
三角學中“正弦”和“余弦”的概念是由印度數學家首先引進的，他們使用數學家阿耶波多提出的方法造出了比克羅狄斯·托勒密更精確的正弦表，把半弦與全弦所對弧的一半相對應，以此造出“正弦表”。?
到九世紀，伊斯蘭教數學中已經知道了目前使用的所有六個三角函數，除了正弦（取自印度數學）外，其他五種現代三角函數都是由波斯和阿拉伯數學家發現的，包括余弦、正切、余切、正割和余割。阿拉伯人采用了古印度人的正弦定義，但他們的三角學卻直接繼承于古希臘。阿拉伯天文學家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并計算了間隔10分（10′）的正弦和正切數值表。到公元十四世紀，阿拉伯人將三角計算的算術方式代數化為三角學從天文學中獨立出來，成為一門獨立的學科奠定了基礎。
進入十五世紀后，阿拉伯數學文化開始傳入歐洲。歐洲商業的興盛，加大航行、歷法測定和地理測繪學中對三角學的需求。在翻譯阿拉伯數學著作的同時，歐洲數學家開始制作更詳細精確的三角函數值表。尼古拉·哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯制作出間隔10秒（10″）、有9位精確值的正弦表，并改變正弦的定義，將原來稱弧對應的弦長是正弦改為將角度對應的弦長稱為正弦。
真正把三角學作為數學的一個獨立學科加以系統敘述的，是德國數學家約翰?謬勒，雷基奧蒙坦納斯是他的筆名，他是十五世紀最有聲望的德國數學家，生于哥尼斯堡，年輕時從事歐洲文藝復興時期作品的收集和翻譯工作，并出版古希臘和阿拉伯著作。他創造了sine（正弦）一詞，1464年，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發表了《論各種三角形》，書中他將各種書上散的三角學知識，進行系統綜合，成為三角學在數學上的一個分支。
十六世紀后，數學家開始將古希臘有關球面三角的結果轉化為平面三角定理。弗朗索瓦·韋達根據托勒密王朝的結果總結出對應的平面三角形式，還嘗試計算多倍角正弦的表達方式。
secant（正割）及tangent（正切）為丹麥數學家托馬斯·芬克首創，最早見于他的著作《圓幾何學》。cosecant（余割）為銳梯卡斯所創，最早見于他于1596年出版的《宮廷樂章》。cosine（余弦）及cotangent（余切）最早在1620年倫敦出版的他所著的《炮兵測量學》中出現，英國人根日爾首先使用。1626年，阿貝爾特·格洛德最早推出簡寫的三角符號：“sin”“tan”“sec”。1675年，英國人奧屈特最早推出余下的簡寫三角符號：“cos”“cot”“csc”。
近現代
十八世紀開始，隨著解析幾何等分析學工具的引進，數學家們開始對三角函數進行分析學上的研究。牛頓在1669年的《分析學》一書中給出了正弦和余弦函數的級數表示，詹姆斯·格列高里進一步提出正切等三角函數的無窮級數。戈特弗里德·萊布尼茨在1673年左右也獨立得到了這一結果。萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1707年-1783年）的《無窮小量分析引論》中定義三角函數為無窮級數，并表述了歐拉公式，在1748年經過數學家歐拉的引用之后，函數符號成為通用的符號。
我國古代沒有關于角的函數概念，只用勾股定理解決三角學范圍內的一些實際問題。據《周髀算經》記載，約與泰勒斯同時代的陳子利用勾股定理測量太陽的高度，其方法后來稱為“重差術”。
三角學輸入中國，開始于明崇禎4年（公元1631年），鄧玉函、湯若望和徐光啟合編《大測》，這是我國第一部編譯的三角學，它作為歷書的一部份呈獻給朝廷。同年徐光啟等人還編寫了《測量全義》，其中有平面三角和球面三角的論述。1653年，薛風祚[zuò]與波蘭傳教士穆尼閣合編《三角算法》，以“三角”取代“大測”，確立了“三角”名稱。1877年，華煦等人曾探討過三角級數展開式等問題。二十世紀后，現代的三角學主要研究角的特殊函數及其在科學技術中的應用，如幾何計算等。
詞源學
正弦一詞來源于拉丁語sinus，意思是“彎曲；海灣”，在12世紀將Al-Battani和Al-Khwārizmī的作品翻譯成中世紀拉丁語時，被選為阿拉伯語單詞的翻譯，意思是“口袋”或“折疊”。印度人稱連結弧的兩端的弦為“吉瓦（jiba）”，是弓弦的意思；稱線段的一半為“阿爾哈吉瓦”。后來“吉瓦”這個詞譯成阿拉伯語時被誤解為“彎曲”“凹處”，阿拉伯語是 “dschaib”。十二世紀，阿拉伯文被轉譯成拉丁文，這個字被意譯成了“sinus”。
“正切”一詞來自拉丁語的正切，意思是“觸摸”，因為線接觸單位半徑的圓，而割線則源于拉丁語的割線——“切割”——因為線切割圓。
前綴“co-”（在“余弦”“余切”“余弦”中）出現在Edmund Gunter的佳能 triangulum（1620）中，該書將余弦定義為正弦補角（補角的正弦）的縮寫，并以類似的方式定義余切。
定義
直角三角函數定義
如圖（a）所示，在中，，則的定義如下表
平面直角坐標系定義
直角三角形中
將直角放入直角坐標系中，使點A與原點O重合， AC在r軸正半軸上，如圖( b )所示，設點 P （即B點）坐標為（x，y)，r是角終邊上的點，點P到原點O的距離= ，于是三角函數定義可寫為sinA=,cosA=,tanA=。
任意三角形中
一般地，設是平面直角坐標系中的一個任意角，點 P ( x , y ）是角終邊上的任意點，點 P 到原點 O 的距離 =>0，如圖（c）所示，那么角的三角函數分別定義為
正弦函數
余弦函數
正切函數
余切函數;
正割函數;
余割函數。
當角的終邊在 y 軸上時，，終邊上任意點的橫坐標,此時和均無意義；當有的終邊在 r 軸上時，，終邊上任意的縱坐標 ，此時 和均無意義。除上述情形外，對于任意角，三角函數均有意義，由此而得定義域。
弧度定義
在微積分和數學分析中，三角函數通常被抽象地視為實數或復數的函數，而不是角度。事實上，函數sin和cos可以通過冪級數定義為所有復數的指數函數，也可以定義為給定特定初始值的微分方程的解（見下文），而無需參考任何幾何概念。其他四個三角函數（tan、cot、sec、csc）可以定義為sin和cos的商和倒數，除非分母中出現零。對于真實的自變量，如果自變量被視為以弧度給出的角度，則可以證明這些定義與初等幾何定義一致。此外，這些定義產生了導數的簡單表達式和三角函數的不定積分。因此，在初等幾何之外的設置中，弧度被視為描述角度測量的數學自然單位。
當使用弧度（rad）時，角度為其所對的單位圓的弧長：單位圓上長度為1的弧所對的角度為1 rad（≈57.3°），整圈（360°）為2π（≈6.28）rad的角度。對于實數x，符號sin x、cos x等指的是在x rad角度下評估的三角函數值。如果使用度單位，則必須顯式顯示度符號（例如，sin x°、cos x°等）。使用此標準表示法，三角函數的自變量x滿足關系x=（180x/π）°，因此，例如，當我們取x=π時，sinπ=sin 180°。這樣，度符號可以被視為一個數學常數，使得1°=π/180≈0.0175。
單位圓定義
單位圓是以平面直角坐標系的原點O為中心的半徑為1的圓。直角三角形定義允許為0和弧度（90°）之間的角度定義三角函數，而單位圓定義允許三角函數的域擴展到所有正實數和負實數。將射線從x軸正半部分的方向逆時針旋轉角度θ，得到該射線（見圖）與單位圓的交點點A，再通過將射線延伸到與和相交分別得到B點、C點。這些點的坐標值以以下方式給出了θ的任意實數的三角函數的所有現有值。三角函數cos和sin分別被定義為點A的x和y坐標值，即
由于A點位于單位圓上，余弦和正弦的定義也滿足勾股恒等式，即
微分方程定義
正弦和余弦是唯一的可微函數，使得
對這些方程進行微分，可以得到正弦和余弦都是微分方程的解
將商規則應用于將正切定義為正弦與余弦的商，可以得到正切函數驗證
級數定義
將微分方程應用于系數不確定的冪級數，可以推導出正弦函數和余弦函數的泰勒級數系數的遞推關系。這些遞推關系很容易求解，并給出級數展開式
其它級數有
其中，Un，第n個上/下數字，Bn，第n個伯努利數，
相關計算
利用三角函數定義，可得到下列特殊角的三角函數值。
以上數據來源于
另外，還有一個角與黃金分割有關。其正弦值的二倍就是黃金分割比，這個角的大小是。
同角三角函數的基本關系
同角三角函數的基本關系
設角的終邊上任意點 P ( x , y ), ，由三角函數定義，有
，
，
，
，
所以得到同角三角函數的基本關系:
(1）倒數關系：
(2）商數關系：
(3）平方關系：
同角三角函數基本關系的運用
(1）已知角的一個三角函數值，可利用平方關系求相應一個同角的三角函數值，再利用商數關系、倒數關系求出其他的同角三角函數值。
(2）利用同角三角函數基本關系化簡三角式和證明三角恒等式。
各象限三角函數值的符號
(1）正弦函數和余割函數的符號僅與直角坐標系中縱坐標 y 有關，如圖(1)所示；
(2）余弦函數和正割函數的符號僅與直角坐標系中橫坐標 x 有關，如圖(2)所示；
(3）正切函數和余切函數的符號與直角坐標系中橫坐標 x 和縱坐標 y 均有關，如圖(3)所示。
三角函數的圖象和性質
函數的周期性
(1）周期函數的定義：一般地，對于函數。如果存在一個非零的常數 T ，對于任意 ，均有 ，并且有 ,則稱 為周期函數，常數 T 稱為這個函數的一個周期，在所有的周期中，如果存在一個最小的正數，那么就稱這個最小的正數為函數最小正周期．例如，正弦函數，對任意，恒有，并且，從而就稱是正弦函數的周期，而中的最小正數2π是正弦曲線函數的最小正周期。習慣上，周期就是指最小正周期。
（2）周期函數圖像：若 的最小正周期是 T ．根據周期函數定義，在長度為 T 的相鄰區間上，圖像相同，即圖像每隔 T 重復一次。
（3）周期的計算方法：
正弦函數
圖像
(1)圖像
列表如下
通過五點法作圖A
(2)圖像
由周期為元，得圖像B
性質
的性質如下：
(1）有界性：的值域為［-1,1]，當時， y 取最大值 ；當時， y 取最小值。
(2）周期性：是以為周期的周期函數。
(3）奇偶性： 是奇函數。
(4）單調性： 在區間上是增函數；在上是減函數。
余弦函數
圖像
(1)圖像
列表如下
通過五點法作圖C
(2)圖像
由周期為，得到圖像D
性質
的性質如下：
(1）有界性： 的值域為［-1,1]，當時， y 取最大值；當時， y 取最小值。
(2）周期性： 是以為周期的周期函數。
(3）奇偶性： 是偶函數。
(4）單調性： 在區間上是增函數；在區間上是減函數。
的圖像是的圖像向左平移個單位而得的；的圖像是的圖像向右平移個單位而得的。
正切函數
圖像
(1)的圖像
列表如下
描點、連線作圖E
(2) 的圖像
已知周期為，得圖像F
性質
的性質如下：
(1）有界性： 的值域為或實數集 R ，正切函數值既無最大值也無最小值。
(2）周期性： 是以為周期的周期函數。
(3）奇偶性：是奇函數。
(4）單調性： 在區間上是增函數。
余切函數
,性質如下：
(1) 有界性： 值域為或實數集 R ，余切函數既無最大值也無最小值。
(2）周期性： 以為周期的周期函數。
(3）奇偶性：奇函數。
(4）單調性：在區間上是減函數
正割函數
性質如下：
(2）周期性： 以為周期的周期函數。
(3）奇偶性：偶函數。
(4）單調性：在區間上是增函數;在區間上是減函數。
余割函數
性質如下：
(2）周期性： 以為周期的周期函數。
(3）奇偶性：奇函數。
(4）單調性：在區間上是增函數;在區間上是減函數。
相關概念
定義域和值域
正弦函數的定義域為R，值域為[-1,1]，當且僅當時，取得最大值1;當且當且僅當時，取得最大值1。
余弦函數的定義域為R，值域為[-1,1]，當且僅當時，取得最小值一1;當且僅當時，取得最小值一1。
三角函數值域或最值的求解方法：
(1）直接利用 sinx , COSx 的值域求出。
(2）化為的形式，確定的范圍，據正弦函數單調性推函數的值域（最值）。
(3）把 sinx 或 cosx 看作一個整體，轉化為二次函數，求在給定區間上的值域（最值）問題。
反三角函數
三角函數是周期性的，因此它并不滿足一個自變量對應一個函數值的要求，所以嚴格地說，它們沒有反函數。然而，在三角函數單調的每個區間上，可以定義反函數，這將反三角函數定義為多值函數。要定義一個真正的逆函數，必須將域限制在一個區間內，其中函數是單調的，因此從這個區間到函數的圖像是雙射的。通常，反三角函數在函數名稱或其縮寫之前用前綴“arc”表示。
相關公式
誘導公式
誘導公式內容
以上數據來源于
推導方法
定名法則
的奇數倍+的三角函數，其絕對值與三角函數的絕對值互為余函數。的偶數倍+的三角函數與的三角函數絕對值相同。即“奇余偶同，奇變偶不變”。
定號法則
將看做銳角，按所得的角的象限，取三角函數的符號。即“象限定號，符號看象限”或“奇變偶不變，符號看象限”。
(1)-、、、等于的同名函數值（=x2,，其中2、4都是偶數），其符號是把看作銳角時原函數在相應象限內的符號；
(2)的三角函數值等于的相應余函數值（，其中1、3都是奇數），其符號是把看作是銳角時，原函數在相應象限內的符號。
推導步驟
利用誘導公式求任意角的三角函數時，一般可按下面的步驟進行：
(1）若已知角為負角，可利用公式先將此負角的三角函數化為正角的三角函數。
(2）當已知角大于360°時，可利用公式先將此角的三角函數化為0°到360°間角的三角函數。
(3）當已知角為90°到360°間的角時，可利用上述公式把此角的三角函數化為銳角的三角函數。
(4）查三角函數值表或按照上述推導方法進行推導。
舉例
的誘導公式。
解：已知為正角、銳角，利用推導方式進行推導，
定名，是的奇數倍，所以應取余函數；定號，將看做銳角，那么是第二象限角，第二象限角的正弦為正，余弦為負，所以。
兩角和與差
二倍角公式
三倍角公式
半角公式
依據二倍角公式可變形為
降冪公式
輔助角公式
其中，
相關定理
正弦定理
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的相等且等于外接圓直徑，即在中，，為外接圓的半徑，則
利用正弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題。
(1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。
(2）已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，從而再求其他的邊和角。
三角函數正弦定理可用于求得三角形的面積：
余弦定理
三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍，即在中，，則
或表示為：
在余弦定理中，令C=90°，這時cosC=0，所以
由此可知余弦定理是勾股定理的推廣。
余弦定理用于在一個三角形的兩個邊和一個角已知時確定未知的數據。
應用
利用三角函數的科學領域包括：聲學、建筑、天文學、制圖、土木工程、地球物理學、晶體學、電機工程學、電子、土地測量和大地測量學、許多物理科學、機械工程、機械加工、醫學成像、數論、海洋學、光學、藥理學、概率論、地震學、統計學和視覺感知等。這些領域涉及三角學并不意味著需要三角學的知識才能了解它們，相反，沒有三角學就無法理解這些領域中的一些事情。
例如，音樂教授可能對數學一無所知，但可能知道畢達哥拉斯是已知的最早對音樂數學理論做出貢獻的人。在樂理的情況下，三角學的應用與畢達哥拉斯斯開始的工作有關，畢達哥拉觀察到，如果兩根不同長度的琴弦都是一個共同長度的小整數倍，那么撥動兩根不同長度琴弦發出的聲音就是輔音。振動弦的形狀和正弦函數的圖形之間的相似之處不僅僅是巧合。在海洋學中，某些波浪的形狀與正弦函數的圖形之間的相似性也并非巧合。在其他一些領域，包括氣候學、生物學和經濟學，也有季節性。對這些函數的研究通常涉及正弦和余弦函數的周期性。
傅里葉級數
傅里葉級數，以18世紀和19世紀法國數學家和物理學家約瑟夫·傅里葉的名字命名。傅里葉級數在許多科學領域有著令人驚訝的多樣性應用，特別是在涉及上述季節性周期的所有現象中，以及在波動中，因此在輻射、聲學、地震學、電子中的無線電調制和電力工程的研究中。傅里葉級數也適用于數字壓縮，即圖像、音頻和視頻數據被壓縮成更小的大小，這使得它們可以通過電話、互聯網和廣播網絡進行傳輸。同時也適用于數字幾何、等周問題、隨機游動的遞推、二次互易、中心極限定理、海森堡不等式。
傅里葉變換
傅里葉變換是一個比傅里葉級數更抽象的概念。傅里葉變換涉及積分而不是求和，在不同科學領域中使用。許多自然規律是通過將量的變化率與量本身聯系起來來表達的。例如：人口的變化率有時與當前人口和當前人口達不到承載能力的數量成正比，這種關系被稱為微分方程。通過這些信息，人們試圖將人口表示為時間的函數，即試圖求解微分方程。傅里葉變換可以用于將一些微分方程轉換為代數方程，對于代數方程的求解方法是已知的。傅里葉變換有很多用途，在幾乎任何遇到頻譜、諧波或共振的科學上下文中，都有傅里葉變換或傅里葉級數的運用。
統計學應用
智力有時被認為是按照鐘形曲線分布的。曲線下大約40%的面積在100到120之間，相應地，大約40%的人口在智商測試中得分在100到120之間；曲線下近9%的面積在120到140之間，相應地，大約9%的人群在智商測試中的得分在120到140之間。類似地，許多其他事情都是按照鐘形曲線（統計學上叫正態分布）分布的，包括許多物理測量中的測量誤差。“鐘形曲線”無處不在是有理論原因的，它涉及傅里葉變換，因此也涉及三角函數，這是傅里葉變換在統計學中的各種應用之一。
參考資料 >
【六中學科故事】三角函數發展歷史.微信公眾平臺.2025-06-09
三角函數的二倍角公式大全.考試信息網.2023-08-12
高中數學知識點:三倍角公式.新東方.2023-08-12