梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是以公元一世紀(jì)時的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家名字命名的定理。 該定理最早出現(xiàn)在由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯的著作《球面學(xué)》（Sphaerica）中。
定理指出：任何一條直線截三角形的各邊或其延長線，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積，這一定理同樣可以輕而易舉地用初等幾何或通過應(yīng)用簡單的三角關(guān)系來證明，梅涅勞斯把這一定理擴展到了球面三角形。
定理定義
當(dāng)一條直線交三邊所在的直線分別于點時，則有
定理證明
證明一
過點C作CP∥DF交AB于P，則
兩式相乘得
證明二
連結(jié)CF、AD，根據(jù)“兩個三角形等高時面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)有。
……（1）
……（2）
……（3）
得
× × = × ×
證明三
過三頂點作直線DEF的垂線AA‘，BB'，CC'，如圖：
充分性證明：
△ABC中，BC，CA，AB上的分點分別為D，E，F(xiàn)。
連接DF交CA于E'，則由充分性可得，
又∵
∴有，兩點重合。所以 共線
推論 在△阿塔納索夫-貝瑞計算機的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是 、、。于是L、M、N三點共線的充要條件是。（注意與塞瓦定理相區(qū)分，那里是）
此外，用該定理可使其容易理解和記憶：
第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E，F(xiàn)，D三點共線，則
即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積。
該形式的梅涅勞斯定理也很實用。
證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價。
第二角元形式的梅涅勞斯定理
在平面上任取一點O，且EDF共線，則 (O不與點A、B、C重合)
證明四
作CH平行于AB交FD于點H
定理意義
使用梅涅勞斯定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來解決三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項基本定理，具有重要的作用。梅涅勞斯定理的對偶定理是塞瓦定理。
它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。
記憶口訣
頂點到交點，交點回頂點。
定理推廣
若梅氏線完全在三角形外，那么該三角形仍然成立。
參考資料 >