塞瓦定理（英文：Ceva's theorem）是平面幾何中的重要定理之一，用數學語言可表述為：設點D,E,F分別在三角形ABC的邊BC,CA,AB或其延長線上，若AD,BE,CF三線平行或共點，則CE·AF·BD=EA·FB·DC。
公元1世紀左右，古希臘數學家梅涅勞斯（Menelaus of Alexandria）在著作《球面學》中介紹了一個關于平面三角形的理論，即著名的梅涅勞斯定理。但是，該定理卻被遺忘了很長一段時間，即使在古希臘數學家歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原本》一書中都無法查到。直到1678年，意大利數學家喬丹尼·塞瓦（Giovanni Ceva）重新發現了梅涅勞斯定理，并把它和自己所提出的塞瓦定理一同發表在著作《關于直線》一書中。
塞瓦定理可由多種方法證明，例如由相似三角形證法可推出三線平行的情形；由面積法、梅涅勞斯定理證法等可推出三線共點情形。它在圓內、平面閉折線、四邊形和空間中都有相應的推論。廣義歐式平面中，塞瓦定理具有推廣形式。此外，塞瓦定理可以應用于復雜幾何問題的求解，如它可以證明“過三角形三頂點平分三角形周長的三條直線共點”。
定理內容
塞瓦定理表述為：設點分別在的邊或其延長線上，若三線平行或共點，則。將三線平行或共點條件和結論互逆，即為塞瓦定理的逆定理形式。
角元形式：設點分別在的邊或其延長線上，則三線平行或共點的充要條件是。
簡史
公元1世紀左右，古希臘數學家梅涅勞斯（Menelaus of Alexandria）在著作《球面學》中介紹了一個關于平面三角形的理論，即著名的梅涅勞斯定理：任何一條直線截三角形的各邊，都使三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積。但是，梅涅勞斯定理卻被遺忘了很長一段時間，即使在古希臘數學家歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原本》一書中都無法找到。直到1678年，意大利數學家喬丹尼·塞瓦（Giovanni Ceva）重新發現了梅涅勞斯定理，并把它和自己所提出的塞瓦定理一同發表在著作《關于直線》一書中。
證明
由平行推出
相似三角形證法
證明：如圖1，在中，在上取一點，分別做平行于交的延長線于點，那么可得，由三角形相似可知，同理可得。
故，證畢。
由共點推出
平面幾何
面積證法
證明：如圖2，在中，點分別在的邊上。連接線段，它們相交于點。由三角形的面積關系，可知，
三式相乘可得，證畢。
梅涅勞斯定理證法
證明：如圖3，在中，點分別在的邊上。連接線段，它們相交于點。因為線段是的截線，所以由梅涅勞斯定理可得。類似地，線段是的截線，同理可得。
將乘以式可得，證畢。
射影幾何
引理：
（1）如圖4，設三個頂點的坐標依次是，分別位于三邊上的三個點共線的充要條件是它們的坐標表示為(其中為實數）。
（2）設是分別位于三邊(或延長線）上的三個不同的共線點，點是三個頂點的對邊上的三點，且，則三條連線共點的充要條件是。
證明：假定在分別是三角形三邊上的無窮遠點，那么，由任意兩個通常點和它們所定的直線上的無窮遠點所成的交比。此時有，。
同理，，于是，即塞瓦定理得證。
相關定理
梅涅勞斯定理
梅涅勞斯定理和塞瓦定理，從形式上來看它們的相似點如下：
（1）它們都使用有向線段，即的三邊看成是順次首尾相接的三條有向線段，它們分別被分點DEF分成分比；
（2）定理的結論不是通常的線段相等，或線段比相等，而是三個分比的連乘積：
（梅涅勞斯定理），
（塞瓦定理）。
其中蘊含著形式上的對稱性，并且由梅涅勞斯定理還可以簡潔地證明塞瓦定理。
相關推論
圓內
設分別是的外接圓三段弧上的點，則共點的充要條件是。
閉折線中
設平面閉折線的頂點與不在各邊或它們的延長線上的一點聯結而成的直線，與直線交于點為,為)，則有。
四邊形
設四邊形相對的兩組頂點和與不在四邊形的邊或它們的延長線上的一點聯結而成的四條直線，與對角線和或它們延長線依次交于點和，則有。
空間中
設分別為四面體的棱上的點，若六個平面共點，則。
推論：
（1）設分別為四面體的棱上的點，若以下4個條件中
,,,；
有三個成立，則平面共點。
（2）設是四面體內一點，分別為與平面的交點，則有。
推廣
廣義歐氏平面
廣義歐氏平面中是由歐氏平面附加一條由理想點組成的理想直線構成的，它具有以下性質：
(1）通常平面上的直線在廣義歐氏平面上恰好包含一個理想點；
(2）一族平行直線具有一個共同的理想點，不同的平行直線族具有不同的理想點。
設位于廣義歐氏平面內，是實數，分別是直線上的點，并且滿足：。注意當時，是理想點。兩點間的距離要設置符號，使。易驗證：，以及。于是，。
如圖所示，塞瓦定理指出：與共點的充分必要條件是。
引入三個附加點與，它們分別在直線與上，并且滿足，其中是實數。
推廣
如果分別與重合，則。于是由式可導出，這就是塞瓦定理的推廣形式。
應用例題
平面幾何
例題 求證：過三角形三頂點平分三角形周長的三條直線共點。
解：如圖5，設的邊，過頂點且分別平分周長的三條直線各交于點。設的周長為，則，解此方程組得。
同理可得，
。
于是有。由塞瓦定理可知，三直線相交于一點。
解析幾何
例題 如圖6，設為內任意一點，的延長線交對邊于點，交于。試證：。
證明：令，對及點，應用塞瓦定理，有。對及截線，應用梅涅勞斯定理，有。注意到，則有，即，故。
又對直線截，有。而，則，故。同理，對及截線，有，即有，故。
從而，
于是，。其中等號由中等號成立時成立，即當且僅當，亦即當且僅當，即時取等號。此時，和之間成為如圖7的雙曲線的關系。
參考資料 >
Ceva.Cronología de las matemáticas.2024-04-15