在數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)（Quadratic 函數(shù)）（、、是，且）是對自變量的所有實數(shù)定義的多項式函數(shù)。其中是自變量，是函數(shù)值，、、分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。
公元前2000年，四大文明古國、中國和古巴比倫的工程師就已經(jīng)知道正方形的面積與邊長的關(guān)系。公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)比率可以用來解二次方程。公元700年，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多提出了兩個根的概念，發(fā)明了二次方程的通解。16世紀(jì)晚期，法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·維爾特提出了二次函數(shù)使用的符號。1637年，勒內(nèi)·笛卡爾出版了《幾何學(xué)》，創(chuàng)造了二次方程的現(xiàn)代形式。
二次函數(shù)的解析式有三種，即一般式
（、、是常數(shù)，且）、頂點式
（、、是常數(shù)，且）以及交點式
。可以通過五點描圖法繪制函數(shù)圖像，圖像是拋物線，其開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸等性質(zhì)都和參數(shù)的取值有關(guān)。在某些實際問題中，如果變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)模型來刻畫，就可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，如最值、拋物線形問題、拋體運動問題等。
定義
函數(shù)
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么就說是自變量（independent variable），是的函數(shù)（函數(shù)）。如果當(dāng)時，那么叫做當(dāng)自變量的值為時的函數(shù)值。
二次函數(shù)
一般地，形如（、、是常數(shù)，且）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadratic function），其中是自變量，是函數(shù)值，、、分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。數(shù)學(xué)中，次數(shù)最高項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)（degree of a polynomial）。在二次函數(shù)中，自變量的最高次數(shù)是2。
簡史
二次函數(shù)起源
公元前2000年，四大文明古國、中國和古巴比倫的工程師就已經(jīng)知道正方形的面積與邊長的關(guān)系。他們知道，如果正方形閣樓的面積擴大三倍，就可以儲存九倍以上的干草捆，他們還發(fā)現(xiàn)了計算矩形和T形等面積的方法。“Quadratic”這個詞是從“Quad”衍生出來的，意思就是正方形。二次函數(shù)最早由古巴比倫數(shù)學(xué)家開始研究，主要用于解決與面積有關(guān)的幾何問題。
二次函數(shù)發(fā)展演變過程
公元前300年，古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯和歐幾里得發(fā)現(xiàn)了一種利用幾何學(xué)求解二次方程的方法。其中，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)比率可以用來解二次方程，與歐幾里得不同的是，他沒有認識到這些比率可能是不合理的。公元700年，印度人使用十進制系統(tǒng)寫出了方程式，其中貢獻最大的屬印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta），他提出了兩個根的概念，并且還發(fā)明了二次方程的通解。
公元800年，一位名叫阿爾·花剌子模（al-Khwarizmi）的波斯數(shù)學(xué)家，用根和平方根寫出了六個方程式。然而，這些方程并沒有考慮到方程式的負解。公元1100年，印度數(shù)學(xué)家巴什哈拉進一步發(fā)展了阿爾·花剌子模（al-Khwarizmi）和婆羅摩多（Brahmagupta）的思想。巴什哈拉是第一個認識到任何正數(shù)都有兩個平方根的人。1545年，文藝復(fù)興時期，意大利人數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達諾（Girolamo Cardano）將阿爾·花剌子模（al-Khwarizmi）和歐幾里得（Euclid）等前輩數(shù)學(xué)家的研究成果匯編成一種允許負數(shù)存在的方程形式。
二次函數(shù)的最終形成
16世紀(jì)晚期，法國數(shù)學(xué)家弗朗索瓦·維爾特提出了二次函數(shù)的使用符號。1637年，勒內(nèi)·笛卡爾出版了《幾何學(xué)》，創(chuàng)造了二次方程的現(xiàn)代形式。
解析式
二次函數(shù)的三種表達式
（、、是常數(shù)，且）。
（、、是常數(shù)，且），頂點任何一個二次函數(shù)解析式通過配方都可以化成頂點式，當(dāng)時，拋物線頂點在軸上；當(dāng)時。拋物線頂點在原點處。
，其中，是拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，或是方程的兩個根。
二次函數(shù)的三種表達式的相互轉(zhuǎn)換
通過使用值，可將二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點式。例如將二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點式。首先從一般式可知，，；其次使用和的公式可得，；最后二次函數(shù)的頂點式為。
根據(jù)拋物線與軸的兩個交點兩個交點和，可將二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為交點式。例如將二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為交點式。由二次函數(shù)一般式可知，求解一元二次方程，解得，，因此二次函數(shù)的交點式為。
二次函數(shù)解析式的求解方法
方法：確定二次函數(shù)解析式時，根據(jù)所給的條件合理地選擇恰當(dāng)?shù)慕馕鍪健Ｒ话阋阎獟佄锞€任意三點（不共線三點）時，通常設(shè)函數(shù)解析式為一般式，即，需求出、、的值。由已知條件列出關(guān)于、、的方程組，求出、、的值，就可以寫出二次函數(shù)的解析式；當(dāng)已知頂點坐標(biāo)時，通常設(shè)函數(shù)解析式為頂點式；當(dāng)已知拋物線與軸的兩個交點時，通常設(shè)函數(shù)解析式為交點式。
例：已知一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過三點（1，3），（-1，-5），（3，-13），求這個二次函數(shù)的表達式。
解：設(shè)二次函數(shù)的表達為，將三個點（1，3），（-1，-5），（3，-13）分別帶入函數(shù)表達式，得到關(guān)于、、的三元一次方程組，即
，解得。因此，所求二次函數(shù)表達式為。
五點描圖法
第一步：找到對應(yīng)頂點；
第二步：繪制一個5行2列的二次函數(shù)表，在頂點兩邊取兩個隨機值；
第三步：將每個值代入給定的二次函數(shù)中，找出對應(yīng)的值，總共五個點；
第四步：將五個點繪制在平面直角坐標(biāo)系上，并用光滑曲線連接起來，就可以得到二次函數(shù)的圖像。
例：繪制二次函數(shù)的圖像。
解：根據(jù)二次函數(shù)，已知，，。
第一步：找到頂點坐標(biāo)，，，因此，頂點坐標(biāo)為。
第二步：繪制一個5行2列的二次函數(shù)表，將頂點坐標(biāo)寫在中間行。
第三步：選擇數(shù)字2兩邊的兩個隨機數(shù)填充第一列。
第四步：將每個隨機數(shù)值代入二次函數(shù)中，求得對應(yīng)的值。
第五步：將五個點繪制在平面直角坐標(biāo)系上，并用光滑曲線連接起來，就可以得到二次函數(shù)的圖像。
圖像性質(zhì)
一般地，二次函數(shù)的圖像叫做拋物線，它們開口或者向上或者向下。拋物線是一個軸對稱圖形，開口方向、對稱軸、頂點被稱為拋物線的三要素。二次函數(shù)的圖形上任意三個不同的點都不在一條直線上，若給定不共線三點的坐標(biāo)，且它們的橫坐標(biāo)兩兩不等，則可以確定唯一的一個二次函數(shù)，它的圖形經(jīng)過這三點。
開口方向和取值范圍
二次函數(shù)的自變量可取一切實數(shù)。
頂點坐標(biāo)和對稱軸
二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為，對稱直線。
平移變換
一般地，拋物線與形狀相同、位置不同。把拋物線向上平移個單位，得到拋物線，向左平移個單位，可以得到拋物線。平移的方向、距離根據(jù)和的值決定。
在y軸上的截距
在二次函數(shù)中，令時，函數(shù)值，取拋物線在軸上的截距為。
在x軸上截得的弦長
一般地，對于二次函數(shù)，把使一元二次方程的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點。用一元二次方程的判別式來確定二次函數(shù)零點的性質(zhì)。
二次函數(shù)與不等式
若二次函數(shù)有兩個不相等的實根，則：
例：求不等式的解集。
解：因為方程的根是函數(shù)的零點，所以先求出的根，再根據(jù)函數(shù)圖像得到的解集。對于方程，已知，，所以不等式有兩個不相等的實數(shù)根。解得，，所以不等式的解集為。
推廣
多項式函數(shù)基本概念
定義1：設(shè)是中的多項式，是數(shù)域中的數(shù)，在上式中用代替所得的數(shù)
稱為當(dāng)時的值，記為。這樣，對于數(shù)域中每一個數(shù)，就有數(shù)域中唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)。于是就得到數(shù)域的一個映射，這個映射由多項式所確定，稱為數(shù)域上多項式函數(shù)。其中，是數(shù)域上的一元多項式的全體。
定義2：如果在時的函數(shù)值，那么稱是的一個根或零點。
定義3：如果是的重因式，即
，，
則稱是的重根；如果，則稱是的單根；當(dāng)時，稱是的重根。
多項式函數(shù)相關(guān)定理
定理1：余數(shù)定理：用一次多項式去除多項式，所得的余式是一個常數(shù)，這個常數(shù)等于函數(shù)值。
定理2：是的根的充分必要條件是。
定理3：的多項式和相等的充要條件是它們所定義在數(shù)域上的多項式函數(shù)相等。
二次函數(shù)的應(yīng)用
在某些實際問題中，如果其中變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)模型來刻畫，就可以利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行研究。下面將對二次函數(shù)的常見應(yīng)用進行舉例說明。
最值問題
例1：某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件。已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大。
解：設(shè)每件漲價元，則每星期售出商品的利潤隨之變化。首先確定隨變化的函數(shù)解析式，漲價元時，每星期少賣件，實際賣出件，銷售額為元，買進商品需付。因此，所得最大利潤為，即，其中。
例2：用總長為 60米的籬圍成矩形場地，矩形面積隨矩形一邊長的變化而變化。當(dāng)是多少米時，場地的面積最大。
解：首先寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，再求出使最大的值。矩形場地的周長是60米，一邊長為米，所以另一邊長為米。場地的面積，即。
因此，當(dāng)時，有最大值，也就是說，當(dāng)時，場地面積最大。
拋物線形拱橋問題
例：下面圖形（1）是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬4米，水面下降1米，水面寬度增加多少。
解：根據(jù)二次函數(shù)圖形是拋物線的特點，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出這條拋物線表示的二次函數(shù)，就可得到水面寬度的增加值。以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為軸建立直角坐標(biāo)系（圖形（2））。設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為。由拋物線經(jīng)過點，可得，。這條拋物線表示的二次函數(shù)為。
拋體運動問題
例：火箭在秒時發(fā)射，它的高度以海拔米為單位，作為時間的函數(shù)由下式給出，求火箭在什么時候達到最大高度，火箭在什么高度達到離水面的最大高度。
解：求最大值，首先找到的頂點的坐標(biāo)，。因此，最大高度出現(xiàn)在4.69秒之后。為求出火箭在水面以上達到最大高度時的高度，需要得到頂點的坐標(biāo)，。因此，在火箭發(fā)射4.69秒后，火箭的最大高度為264.96米。
參考資料 >
Quadratic Equation.Wolfram Mathworld.2023-08-16
Quadratic Functions and Their Graphs.Mathematics LibreTexts.2023-11-27
Quadratic Function.CUEMATH.2023-11-27
THE HISTORY BEHIND THE QUADRATIC FORMULA.Mathnasium.2023-11-27
The History of Quadratic Functions.Prezi.2023-11-27