映射是比函數更廣泛一些的數學概念，映射（mapping）是指兩個非空集合之間，元素之間相互“對應”的一種關系。兩個非空集合A與B之間存在著某種對應關系f，而且對于A中的每一個元素a，B中總有唯一的一個元素b與它對應，稱這種對應為從A到B的映射。根據集合A、B的不同情形，在不同的數學分支中，映射又有不同的慣用名稱，在集合中映射又稱算子。在函數中例如，從非空集A到數集B的映射又稱為A上的泛函，從非空集A到它自身的映射又稱為A上的變換，從實數集(或其子集)A到實數集B的映射通常稱為定義在A上的函數。
早在1874年德國數學家格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）就提出了集合的定義，此后進一步定義了集合的子集、交集、并集、映射等一系列概念。后來1954年，法國數學團體尼古拉·布爾巴基（Nicolas Bourbaki）的《數學原本卷一：集合論》中首次提到了映射的相關概念單射、滿射、雙射的概念（injection、surjection、bijection）。既是單射又是滿射的映射稱為雙射。
映射在數學、方法研究和生活中都有著廣泛的應用，在數學領域用映射法可以解決函數、幾何、微積分、集合、代數等問題。同時用映射法解題還有著化繁為簡、化難為易、靈活性強，覆蓋廣的優勢。映射也為網絡技術和工程技術等方法研究奠定了基礎。在實際生活中映射可以用于商品定價，和數據查找等。
定義
映射是指兩個非空元素的集之間，元素之間相互“對應”的一種關系。兩個非空集合A與B之間存在著某種對應關系f，而且對于A中的每一個元素a，B中總有唯一的一個元素b與它對應，稱這種對應為從A到B的映射。
在映射中，始集()稱為映射的定義域，記為或；終集()稱為映射的陪域，記為或； 稱為映射的值域，記為或。
映射又稱算子。根據集合的不同情形，在不同的數學分支中，映射又有不同的慣用名稱。例如，從非空集到數集的映射又稱為上的泛函，從非空集到它自身的映射又稱為上的變換，從實數集（或其子集）到實數集的映射通常稱為定義在上的函數。 基于此，部分映射就相當于部分函數，而完全映射相當于完全函數。
簡史
關于集合的思想最早可以追溯到古希臘的原子論學派，他們把直線看成一些原子的排列。在19世紀初期，數學界對數學分析基礎的批判運動促進了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發表著作《無窮悖論》，肯定了實無窮的存在，建立了集合等價的概念，還注意到無窮集合的某些真部分有可能等價于整體的情況。1874年，德國數學家格奧爾格·康托爾(Georg Cantor，1845-1918)創立的集合論，是現代數學的基礎。在集合概念產生后，進一步定義了集合的子集、交集。并集、映射等系列概念。
1954年，法國數學團體尼古拉·布爾巴基（法語：Nicholas Bourbaki）的《數學原本卷一：集合論》（法語：Théorie des ensembles，éléments de 數學ématique Première Partie）中首次提到了單射、滿射、雙射的概念（injection、surjection、bijection）。在此之前，學術界同概念使用的詞是一對一關系、到上及一對一到上（one-to-one、 onto、one-to-one onto），布爾巴基（Nicolas Bourbaki）對術語進行了標準化并得到了廣泛認可，最終形成了如今的數學名詞。
性質
性質1：映射中的兩個集合，可以是數集、點集或者由圖形組成的集合以及其他元素的集合。
性質2：映射是有方向的，到的映射與到的映射往往是不同的。
性質3：映射要求對集合中的任何一個元素在集合中都有像，而這個像是唯一確定的。這種集合中元素的任意性和在集合，中對應的元素唯一性構成了映射的核心。
性質4：映射允許集合中的某些元素在集合中沒有原像，也就是說像集(值域)是的子集。
性質5：映射允許集合中不同的元素在集合中有相同的像，即映射只能是“多對一”或者“一對一”，不能是“一對多”。
構成映射的三要素
（1）集合，即定義域。
（2）集合，即限制值域的范圍：。
（3）對應法則，使每一個，有唯一確定的與之對應。
映射值域性質
（1）。
（2）若，則，且。這里表示的基數。
相關定理
定理1：設是一個映射，則是雙射當且僅當對任意的,存在唯一的，滿足。
證明：設是雙射，由是滿射知，對任意的，存在，使。假設，則由是單射知，，滿足的是唯一的。
定理2：映射的合成滿足結合律，即如果,,是映射，那么。
證明：與都是到的映射。任取,由及
，得到。
相關推論
設是一個映射，則集合稱為映射的定義域，若則映射稱為上的變換。由此變換可以推出以下兩種典型的映射。
恒等映射
設是一個集合，滿足，，則為上的映射，稱為上的恒等映射，記為。
包含映射
設是集合的非空子集，則，，是一個映射，稱為集合到的包含映射。
分類
滿射
設是一個映射。若，則稱是滿射。
單射
設是一個映射。若，且，則稱是單射。
雙射
設為兩個非空集合，如果有某一法則，使得每個有唯一確定的和它對應，則稱為到內的映射，記為。
若由任意，可推得，則稱為單射；若對任意，存在，使得，則稱為滿射；若既是單射又是滿射，則稱為雙射。
合成映射
設，是映射。令，，，則稱為與的合成映射，記為。
逆映射
如果是雙射，那么定義映射，其中，和滿足。可得，映射滿足，。這樣就稱是的逆映射，記為，并稱是可逆的。
復合映射
設有兩個映射，其中，從而可以定義一個由到的對應法則，它將每個映成。我們將這個映射稱為映射和構成的復合映射，記作，即。由定義可知，映射和構成復合映射的條件是的值域必須包含在的定義域內。和的復合是有順序的，和一般是不同的。
應用
數學
映射在數學中有著廣泛的應用，利用映射法可以解決數學中的問題，例如函數、微積分、集合、代數等。關系(relationship)一映射(mapping)一反演(iuversion)方法(簡稱RMI方法)，是在現代數學研究中實現化歸的一種重要方法，與一般的化歸方法相比，這種化歸方法達到了更高的抽象程度，從而在數學中有更為重要和廣泛的應用。它是化歸方法的最一般描述。
用映射法解決問題，有化繁為簡、化難為易、化未知為已知的作用，同時還有靈活性強，覆蓋面廣的優勢。解析幾何學的產生，就是應用映射法的成功案例。它通過坐標系建立了數和點、方程（ 或函數）和曲線等的有機聯系，使數與形達成統一，從而可方便地應用分析的的方法研究幾何問題。如通過一元微分學研究平面曲線的單調性、凹凸性、切線、峰與谷等性態。
方法研究
網絡技術
將片上網絡技術(Network on Chip，No C)應用于多片ADC時間交織數據采集系統中，可以克服傳統片上系統(System on Chip，So C)采用總線結構所帶來的時鐘同步難、通信帶寬低和可擴展性差等問題。映射的目的是確定任務圖中各功能節點在NoC拓撲結構中的位置，是實現數據采集系統低延時和高帶寬的重要手段之一。
在不斷變化的物理世界中，數字孿生模型將傳感器收集的真實數據映射到虛擬空間中具有挑戰性，存在映射數據量多、資源消耗大等問題。提出了一種自適應的數據映射機制來解決能源互聯網的數據問題，能夠實現映射點的動態選擇，有效減小了映射數據量和能耗且對虛假數據注入攻擊的檢測影響極小。
網絡虛擬化技術的應用依賴于將虛擬網絡映射到底層基礎設施的虛擬網絡映射算法。現有虛擬網絡映射算法的物理資源使用率較低，對于映射結果的優化較少。設計一種保持節點相鄰的虛擬網絡映射算法。就可以在略微降低映射效率的情況下，盡可能地保持相鄰的虛擬節點在實際物理網絡中的相鄰，從而大大地縮短了物理鏈路，提高了物理資源的利用率;同時優化映射結果，提高了虛擬網絡的工作效率，從而提高了服務質量。
通過對廣義周期點陣結構的等效性能均勻化映射方法的研究，可以很好地用于廣義周期點陣結構等效性能預測, 在靜力學、動力學等方面都具有良好的計算精度, 對于輕質點陣結構的承載性能分析與設計具有重要的應用價值。
醫療技術
構建一套通用的、自動化的數據標準映射方法，解決不同醫療機構之間臨床數據交流時數據轉換的問題。方法采用基于大模型的多層級映射方法，來實現不同電子病歷與CDA標準文檔之間的表名和字段名的映射，并在原始標準病歷和CDA標準上進行實驗驗證。結果實驗結果表明，該方法可以自動映射74.4%的數據元到CDA標準數據元，準確率達到69.6%。結論基于大模型的多層級映射方法可用于不同的臨床電子病歷轉換場景，與傳統人工以及基于知識圖譜的方法相比，該方法更加通用靈活，效率更高。
實際生活
商品定價
映射用于超市商品的定價，例如表示某超級市場中的全部商品，每件商品都得標出價格，于是，商品定價工作就是建立從到的一個映射。
數據查找
作為一個集合，集允許你快速地查找現有的元素。但是，要查找一個元素，需要有所查找的那個元素的準確副本。這不是一種常見的查找方式。通常，我們知道某些關鍵信息，希望查找與之關聯的元素。映射(map)數據結構就是為此設計的。映射用來存放鍵/值對。如果提供了鍵，可以查找一個值。例如，可以存儲一個員工記錄表，其中鍵為員工ID，值為Employee對象。
參考資料 >
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I).MacTutor.2023-08-12