滿射（surjection）也稱到上映射，一個(gè)函數(shù) 是滿射，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于陪域（codomain）B 中的每一個(gè)元素b，都存在定義域（domain）A 中至少一個(gè)元素 a，使得 。也就是說，函數(shù)的值域（range）等于其陪域 B。
康托爾在1874年提出了集合的定義，此后進(jìn)一步定義了集合的子集、交集、并集、映射等一系列概念。1954年，法國數(shù)學(xué)團(tuán)體尼古拉·布爾巴基（Nicolas Bourbaki）的《數(shù)學(xué)原本卷一：集合論》中首次提到了單射、滿射、雙射的概念（injection、surjection、bijection）。既是單射又是滿射的映射稱為雙射。
滿射具有很多性質(zhì)，如是滿射的充分必要條件是對(duì)任何。數(shù)學(xué)中有很多函數(shù)具有滿射性，證明一個(gè)映射是滿射的一般方法是從映止集合中任取一元素，設(shè)法構(gòu)造出映始集合的一個(gè)元素，使。滿射函數(shù)在數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、實(shí)際生活中有很多實(shí)例，如線性變換、認(rèn)證碼、快遞配送等。
定義
集合
集合（set）也稱集，是一個(gè)不加定義的原始概念。通俗地說，集合是將一些對(duì)象放在一起作為一個(gè)整體來考慮，組成集合的對(duì)象稱為這個(gè)集合的元素或簡稱元。若是集合的元素，則稱屬于，記為。若不是的元素，記為。當(dāng)某一集合的元素為時(shí)，可寫作，稱集合A由元素（對(duì)象）聚合而成。由所有具有某一性質(zhì)的對(duì)象聚合而成的集合，通常記為或。
映射
設(shè)、是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則，使得對(duì)中每個(gè)元素，按法則，在中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，那么稱為從到的映射，記作，其中稱為元素（在映射下）的像 ，并記作，即 ，元素稱為元素（在映射下）的一個(gè)原像。
在映射中，始集()稱為映射的定義域，記為或；終集()稱為映射的陪域，記為或； 稱為映射的值域，記為或。
映射又稱算子。根據(jù)集合的不同情形，在不同的數(shù)學(xué)分支中，映射又有不同的慣用名稱。例如，從非空集到數(shù)集的映射又稱為上的泛函，從非空集到它自身的映射又稱為上的變換，從實(shí)數(shù)集（或其子集）到實(shí)數(shù)集的映射通常稱為定義在上的函數(shù)。
滿射
滿射也稱到上映射，指陪域與值域相等的映射，當(dāng)時(shí)的映射。
相關(guān)概念
單射
單射也稱雙射。映射對(duì)任何均有，即對(duì)于的值域中的任一元素，。單射不必是滿射。
雙射
雙射也稱滿單射、一一對(duì)應(yīng)、到上的一一映射等，指同時(shí)是單射和滿射的映射。
單射、滿射、雙射像與原像的關(guān)系
單射：對(duì)于映射的值域中每個(gè)像元素，都唯一存在自己的原像。
滿射：集合中的每個(gè)元素都存在原像。
雙射：集合中的每個(gè)元素都唯一存在自己的原像。
歷史
集合的思想可以追溯到古希臘的原子論學(xué)派，他們把直線看成一些原子的排列。19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運(yùn)動(dòng)促進(jìn)了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發(fā)表著作《無窮悖論》，肯定了實(shí)無窮的存在，建立了集合等價(jià)的概念，還注意到無窮集合的某些真部分有可能等價(jià)于整體的情況。1870年格奧爾格·康托爾應(yīng)朋友海涅邀請(qǐng)開始研究函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表示的唯一性問題。他在1871年至1872年的論文中逐步把三角級(jí)數(shù)展開的唯一性條件推廣到允許例外值成為無窮集的情況，把函數(shù)間斷點(diǎn)問題的研究過渡到對(duì)點(diǎn)集本身的研究，明確提出了點(diǎn)集、點(diǎn)集的導(dǎo)集、導(dǎo)集的導(dǎo)集等由實(shí)數(shù)構(gòu)成的更復(fù)雜的集合。1873年12月7日，康托爾在給戴德金中的信中說，他已成功證明了實(shí)數(shù)集是不可數(shù)的。康托爾在1874年提出了集合的定義：“一個(gè)集合就是我們的直觀或我們的思想上那些確定的、能區(qū)分的對(duì)象（它們稱為集合的元素）匯集在一起，作為一個(gè)整體來考慮的結(jié)果。”這里用匯集來定義集合是同義語反復(fù)。之后人們認(rèn)識(shí)到集合是一個(gè)原始的概念，不能用其他概念來定義，而只能加以描述或說明。在集合概念產(chǎn)生后，進(jìn)一步定義了集合的子集、交集。并集、映射等系列概念。
1954年，法國數(shù)學(xué)團(tuán)體尼古拉·布爾巴基（法語：Nicholas Bourbaki）的《數(shù)學(xué)原本卷一：集合論》（法語：Théorie des ensembles，éléments de 數(shù)學(xué)ématique Première Partie）中首次提到了單射、滿射、雙射的概念（injection、surjection、bijection）。在此之前，學(xué)術(shù)界同概念使用的詞是一對(duì)一關(guān)系、到上、一對(duì)一到上（one-to-one、 onto、one-to-one onto），布爾巴基對(duì)術(shù)語進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化并得到了廣泛認(rèn)可，最終形成了如今的數(shù)學(xué)名詞。
性質(zhì)
滿射有下列性質(zhì)：
1.是滿射的充分必要條件是對(duì)任何。
2.若，均為滿射，則也是滿射。
證明 對(duì)于任意的，因?yàn)槭菨M射，必存在，使得。而對(duì)于，因?yàn)槭菨M射，必存在，使得。于是有：。因此是滿射。
3.對(duì)，均為滿射，若是滿射，則是滿射，并且。
證明 對(duì)于任意的，是滿射，則存在，使得，即。因此，有，使得，因此，是滿射。
4.滿射有右逆映射，對(duì)滿射可以定義，使是集合上的恒等映射。這只要對(duì)任何，在的全原象中指定一個(gè)元素為.當(dāng)滿射不是單射時(shí)，這樣的右逆映射不只一個(gè)。
5.在映射下，是滿射。
6.若是滿射，則對(duì)任何，有。若不是滿射，則存在，使。
7.是滿射的充分必要條件：對(duì)任意兩個(gè)映射,，當(dāng)時(shí)，。
滿射性
在數(shù)學(xué)函數(shù)論中，證明一個(gè)映射是滿射的一般方法是：從映止集合中任取一元素，設(shè)法構(gòu)造出映始集合的一個(gè)元素，使。
例1 設(shè)是實(shí)數(shù)集，是正實(shí)數(shù)集，證明映射是滿射。
證明 任取 則是正實(shí)數(shù)，即。令，則
例2 設(shè)表示區(qū)間 ，表示區(qū)間。證明映射是滿射。
證明 任取，則，于是，，即，
令，則。
即任取，總存在,使。所以是滿射。
在代數(shù)中，也有滿射性的證明。
例3
向量空間 設(shè)是一個(gè)非空集合，是一個(gè)域。在上定義了一個(gè)代數(shù)運(yùn)算：，叫做加法，把稱為與的和，記作。在與之間定義了一個(gè)運(yùn)算，即到的一個(gè)映射：，叫做純量乘法（當(dāng)為數(shù)域時(shí)，也叫數(shù)量乘法），把稱為與的純量乘積（當(dāng)為數(shù)域時(shí)，也叫數(shù)量乘積），記作。如果加法和數(shù)量乘法滿足下述8條運(yùn)算法則：對(duì)任意的，任意的，有
1° （加法交換律）；
2° （加法結(jié)合律）；
3° 中有一個(gè)元素，記作0，它使得，具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為的零元素；
4° 對(duì)于，存在，使得，具有這個(gè)性質(zhì)的元素稱為的負(fù)元素；
5° ；
6° ；
7° ；
8° ，
則稱是域上的一個(gè)向量空間。
同構(gòu)映射 設(shè)和都是域上的線性空間，如果有到的一個(gè)雙射，使得對(duì)于任意，有，，那么稱是到的一個(gè)同構(gòu)映射（簡稱為同構(gòu)）。如果到有一個(gè)同構(gòu)映射，則稱和是同構(gòu)的，記作。
同構(gòu)映射是滿射。設(shè)是上的維向量空間，是 的一個(gè)基，的每一個(gè)向量都可由唯一表示成因此，在這個(gè)基下，任一向量都對(duì)應(yīng)其唯一的坐標(biāo)，記為，則是從到的滿射。
證明 對(duì)中任一向量對(duì)應(yīng)唯一的向量，因此是從到的滿射。
應(yīng)用
數(shù)學(xué)
在不同的數(shù)學(xué)學(xué)科分支中，滿射具有不同的名稱。在函數(shù)論中，一個(gè)函數(shù)如果既是滿射又是單射，那么它就是一個(gè)雙射函數(shù)，也稱為可逆函數(shù)。可逆函數(shù)在數(shù)學(xué)和工程中有廣泛的應(yīng)用，可用來求原像、極值點(diǎn)等。在線性代數(shù)中，滿射函數(shù)通常與線性變換相關(guān)聯(lián)。對(duì)于一個(gè)線性變換，如果它是滿射的，目標(biāo)空間中的向量或矩陣都有原像。這在向量空間和矩陣?yán)碚摰难芯恐芯哂兄匾膽?yīng)用。如果兩個(gè)線性空間上的映射是滿射，這時(shí)的線性映射稱為滿同態(tài)。在數(shù)值分析中，滿射函數(shù)可以用來進(jìn)行函數(shù)逼近。通過構(gòu)造滿射函數(shù)，可以將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)逼近為一個(gè)簡單的函數(shù)。
計(jì)算機(jī)
檢索
利用具有滿射性質(zhì)的散列函數(shù)可以用來分配內(nèi)存地址，迅速檢索服務(wù)器上的記錄。
在學(xué)生檔案庫場(chǎng)景中，用散列函數(shù)分配機(jī)房服務(wù)器的內(nèi)存地址可以迅速檢索到學(xué)生記錄。可用散列函數(shù)，其中是可供使用的內(nèi)存地址的數(shù)目。散列函數(shù)將內(nèi)存地址分配給以為關(guān)鍵碼的記錄。每個(gè)關(guān)鍵碼唯一地標(biāo)識(shí)一個(gè)學(xué)生記錄，可用學(xué)生的學(xué)號(hào)作為關(guān)鍵碼。
例如當(dāng)，因?yàn)椋瑒t20050724068為學(xué)號(hào)的學(xué)生的記錄分配到的地址是85。由于散列函數(shù)不是一對(duì)一的，可能有多個(gè)記錄分配到同一個(gè)同一個(gè)內(nèi)存地址，引起沖突。消除沖突的辦法是使用散列函數(shù)已被占用的地址后面第一個(gè)未使用的地址。如分配學(xué)號(hào)為20050744048的學(xué)生記錄，由于，會(huì)把這一學(xué)號(hào)映射到地址85，但此時(shí)85已被學(xué)號(hào)為20050724068的學(xué)生占用，因此學(xué)號(hào)為20050744048的學(xué)生應(yīng)映射到地址86。
密碼學(xué)
現(xiàn)代密碼學(xué)的認(rèn)證技術(shù)是防止第三方主動(dòng)攻擊的有效手段。認(rèn)證的主要目的，一是驗(yàn)證信息發(fā)送者的身份，二是驗(yàn)證信息的完整性。其中認(rèn)證碼的設(shè)計(jì)利用了滿射的概念。以下是認(rèn)證碼的數(shù)學(xué)定義。
設(shè)，與M為非空有限集，為滿射，若以下條件滿足：
(i)對(duì)與,若存在使，則由和唯一確定；
(ii)
則稱序組為一個(gè)以和為參數(shù)的認(rèn)證碼，并記作AC。集合稱為源狀態(tài)空間，稱為編碼規(guī)則集或密鑰空間，稱為消息空間，稱為編碼函數(shù)或認(rèn)證函數(shù)。
假定發(fā)信者與收信者實(shí)現(xiàn)隨機(jī)選取一個(gè)編碼規(guī)則，當(dāng)發(fā)信者打算向收信者發(fā)送原狀態(tài)時(shí)，他首先求出消息，然后將發(fā)送給收信者。由上述認(rèn)證函數(shù)定義中的條件(i)，收信者可以根據(jù)編碼規(guī)則來檢驗(yàn)所收到消息的真實(shí)性。為說明認(rèn)證碼的認(rèn)證作用，對(duì)，令，叫做編碼規(guī)則的合法消息集，它是的一個(gè)子集。當(dāng)收信者收到一個(gè)消息時(shí)，先檢查是否存在的合法消息集中。若，則將作為經(jīng)過認(rèn)證的消息予以接收，并由求出唯一的原狀態(tài)。而若如，則確認(rèn)此消息已被篡改為拒絕接收。不同的編碼規(guī)則通常具有不同的合法消息集。因此，為減少第三方攻擊成功的概率，應(yīng)經(jīng)常更換所使用的編碼規(guī)則。
實(shí)際生活
參考資料 >
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (I).MacTutor.2023-08-12