數值分析（Numerical Analysis）是研究分析用計算機求解各種數學問題的數值計算方法及其理論的學科。數值分析具有構造性、近似性、數值化結果的特點，是計算數學的一個主要部分。
數值分析的歷史源遠流長，自有數學以來就有關于數值計算方面的研究。公元前2000年，古代巴比倫人就有了關于二次方程求解的研究，中國古代數學家劉徽利用割圓術求得圓周率π的近似值，而后祖沖之求得圓周率π的高精度值，這都是數值計算方面的杰出成就。19至20世紀初，數值分析得到了快速發展。高斯（Carl Friedrich Gauss）的最小二乘法在天文學中找到了應用，也成為了統計學和數值線性代數的基石。20世紀中葉以后，約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）和艾倫·麥席森·圖靈（Turing）合力定義了計算機軟、硬件。馮·諾依曼于1947年在《美國數學學會公報》發表了數值代數研究的首篇文章《高階矩陣數值求逆》，提到了截斷誤差的相關內容。同年11月，在圖靈發表的文章《矩陣過程中的舍入誤差》中，同樣也提到了利用計算機進行矩陣計算中出現的舍入誤差問題。后來，數值分析的理論與方法在解決數值問題的長期實踐過程中逐步形成和發展起來，隨著科學技術的發展與進步，人們提出了越來越多的復雜的數值計算問題。
數值分析的基本概念是容許誤差，涵蓋模型誤差、觀測誤差、截斷誤差、舍入誤差及離散誤差等類型。其基本方法分為直接法、迭代法及離散化方法三大類，包括高斯消去法、雅可比迭代法、有限元法等，常用的分析工具包括MATLAB、Python及Excel等。數值分析的主要內容包括計算函數值、求解方程組、數學規劃、數值積分、數值方程、解決特征值或奇異值問題等。數值分析在現實世界中應用廣泛，例如在水利工程領域，通過雙變量誤差分析，可以有效評估模型的實際應用能力，來保證設計的模型能夠滿足工程活動的需求等。
學科簡介
數值分析（Numerical Analysis）是研究分析用計算機求解各種數學問題的數值計算方法及其理論的學科，是計算數學的一個主要部分。數值分析一方面可使微積分、代數與幾何、隨機數學中的原理得以應用，方法得以實現，另一方面，可為數學問題的建模和求解提供思路。數值分析具有以下特點：
（1）構造性。數值分析以構造性方法為基礎。近代的數值方法都是為使用計算機而提出的，因此要求方法指明如何具體去構造數學問題的解，即要求給出解題的可程序化的具體步驟與過程，直到給出問題的答案。
（2）近似性。由工程科學中提出來的數學問題，絕大多數都無法求出解的精確值。數值解法主要是研究各種近似解。
（3）數值化結果。數值方法不同于經典的解析方法，最后的結果不是解析解而是數值解，且都是通過計算機得到的，因此，數值方法是建立在離散的基礎上的。
簡史
古代
數值分析的歷史發展較長，自從有數學以來就有關于數值計算方面的研究。公元前2000年，古代巴比倫人就有了關于二次方程求解的研究。在中國，古代數學家劉徽利用割圓術求得圓周率π的近似值，后祖沖之求得圓周率π的高精度值等，都是數值計算方面的實際應用。
近代
19至20世紀初，數值分析的發展較為迅速。如高斯（Carl Friedrich Gauss）的最小二乘法，不僅在天文學中找到了應用，也成為了統計學和數值線性代數的基石。同時，科學和工程問題的復雜化，導致對數值方法的需求日益增加，且極大地促進了數理統計學的發展。
20世紀中葉以后，約翰·馮·諾依曼（John von Neumann）和艾倫·麥席森·圖靈（Turing）一起定義了計算機軟、硬件。1947年，馮·諾依曼在《美國數學學會公報》（Bulletin of the American Mathematical Society）中發表了數值代數研究的首篇文章《高階矩陣數值求逆》（Numerical Inverting of Matrices of High Order），其中提到了截斷誤差的相關內容。同年11月，圖靈（圖靈機器人）在《力學與應用數學季刊》發表的文章《矩陣過程中的舍入誤差》，同樣也提到了利用計算機進行矩陣計算中出現的舍入誤差問題。1972年，國際商用機器公司（IBM）設立全國科學院應用數學與數值分析獎（National Academy of Sciences Award in Applied 數學 and Numerical Analysis），用于獎勵在應用數學與數值分析領域做出突出貢獻的學者。后數值分析的理論與方法在解決數值問題的長期實踐過程中逐步形成和發展起來，隨著科學技術的發展與進步，人們提出了越來越多的復雜的數值計算問題。
基本概念
誤差
數值分析的基本概念是容許誤差。數值分析表示在誤差容許的范圍內對某一數學問題進行近似計算，然后得到能滿足要求的近似結果。因此，研究數值方法，要注重誤差的分析，分析誤差的來源，誤差的傳播情況以及對計算結果給出合理的誤差估計。
類型
（1）模型誤差：用數學模型來描述具體的物理現象要作許多的簡化，即數學模型本身就包含著誤差，因此數學模型是對實際問題的一種近似表達，這種數學模型與實際問題的差異叫做模型誤差。
（2）觀測誤差：在數學模型中通常總要包含一些觀測數據，這種觀測結果不會是絕對準確的，因此還有觀測誤差。
（3）截斷誤差：在解實際問題時，數學模型往往很復雜，因而不易獲得分析解，這就需要建立一套行之有效的近似方法或數值方法。模型的準確解與用數值方法求得的準確解之差稱為截斷誤差。
（4）舍入誤差：計算機做數值計算時，由于計算機的字長有限，原始數據在計算機上表示時會產生誤差，且計算過程又可能產生新的誤差，這種誤差稱為舍入誤差。
（5）離散誤差：離散誤差是由于連續體被離散化模型所代替并進行近似計算所帶來的。引起離散誤差的主要原因是，在一般情況下僅用具有有限個自由度的離散模型所假設的單元位移函數不可能精確表達連續體真實的位移場。
誤差定性分析
（1）算法的數值穩定性：用一個算法進行計算，如果初始數據誤差（由舍入誤差造成的）在計算中傳播使計算結果誤差增長很快，則稱該算法是數值不穩定的，否則稱其是數值穩定的。
（2）病態數學問題：病態則是數學問題即數學模型本身的性質，與算法無關。病態數學問題是指這樣的問題：當輸入數據有微小攝動時，會引起解的大擾動；相反的問題為良態數學問題。因為實現算法時總有舍入誤差，所以對于病態數學問題，用任何算法求數值解都是不穩定的。但是，良態數學問題的算法未必是數值穩定的。
（3）條件數：病態和良態是相對的，界限比較模糊，病態越嚴重，對算法穩定性的影響越大，通常用條件數來衡量問題的病態程度，條件數越大病態可能越嚴重。
避免誤差的原則
數值計算中首先要分清問題是否病態和算法是否數值穩定，計算時還應盡量避免誤差危害，防止有效數字的損失，下面給出若干原則：
（1）避免兩相近的數相減；
（2）注意簡化計算步驟，減少運算次數；
（3）要避免用絕對值很小的數作除數；
（4）兩數相加要防止大數“吃”掉小數。
基本方法
直接法
直接法就是不計舍入誤差，經過有限步四則運算，求出方程組精確解的方法。例如：高斯消去法、列主元消去法、LU分解法、平方根法、追趕法等。但實際計算中由于舍入誤差的存在和影響，這種方法也只能求得線性方程組的近似解，這類方法是解低階稠密矩陣方程組及某些大型稀疏方程組（如大型帶狀方程組）的有效方法。
高斯消去法
高斯消去法分為消元過程和回代過程，是一種規則化的加減消元法。高斯消去法的基本思想是通過逐次消元計算把需求解的線性方程組轉化成上三角形方程組，也就是把線性方程組的系數矩陣轉化為上三角矩陣，從而使一般線性方程組的求解轉化為等價的上三角形方程組的求解。
迭代法
迭代法是指從某一猜測值出發，按某種手續構造求近似解的序列，逐步逼近方程組的精確解。例如：雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、逐次超松弛迭代法等。迭代法具有需要計算機的存貯單元較少、程序設計簡單、原始系數矩陣在計算過程中始終不變等優點，但存在收斂性及收斂速度問題。迭代法是解大型稀疏方程組（尤其是由微分方程離散后得到的大型方程組）的重要方法。
雅可比迭代法
解線性代數方程組。將系數矩陣分解為下列形式，其中為對角線矩陣，和分別是對角線元素為零的下三角和上三角矩陣。用代替矩陣，可改寫為，當矩陣的對角元素非零時，可建立迭代公式，，寫成矩陣形式，，該式即稱為卡爾·雅可比迭代。
高斯-賽德爾迭代法
雅可比迭代在計算時，只使用，，因此有比較好的并行性。它需要同時存貯和。如果使用雅可比迭代公式，從第個方程計算時，立即用前個方程計算出來的代替不僅可以節省一組存貯單元，而且還有可能加快迭代公式的收斂速度。這就是高斯-賽德爾迭代，簡稱賽德爾迭代。
離散化
離散化就是把無限空間中有限的個體通過映射放到有限的空間中去，以此來提高算法的時空效率臼，是在有限個體原始數據相對大小不變的情況下，按比例進行縮小后來建立相應的模型。離散化的應用在程序設計中非常普遍，在諸多可能的情況下，離散化只需考慮要使用到的值。這就大大簡化了實驗，同時也有效地降低了計算機處理過程中的時間復雜度。離散化可以提高一個算法的質量，而且有可能實現原本不會實現的某些算法。
有限差分法
有限差分法建模簡單，編程相對容易，是數值解法中發展時間較長，相對較為完善的一種離散方法。有限差分法不需要構造特定的函數，便能夠將原來復雜的偏微分方程問題直接轉換為代數問題的求解。其差分過程是先將需要求解的空間區域劃分為大量的網格，然后根據特定的幾何形狀來選擇適當的劃分方式。劃分網格后，用有限個網格上的節點代替原來連續的求解域，選用適當的差商形式，把原本偏微分方程中的偏導數項全部用差商表示出來，再經過一些處理就能得到對應的差分方程。
有限元法
有限元法是將空間里一個連續的求解域，劃分為多個合適大小、形狀的單元，分別在每個單元上構造插值函數，再對這些插值函數使用相應的極值原理，然后在這些所有的微小單元上都能找到一個特定的有限元方程，最后用這些有限元方程把初始問題的控制方程所代替。有限元法具有處理問題的過程較慢，占用內存較大等缺點，但在求解橢圓型問題時，有較好的適應性。
基本工具
數值分析領域中，不同的工具和編程語言提供了多樣化的方法和庫，以支持各種數學模型和算法的實現。從工程計算到數據分析，每種工具都有其獨特的優勢和用途，常見的工具有MATLAB、Python、Microsoft Excel、SPSS Clementine及tableau等。
MATLAB
MATLAB是邁斯沃克公司開發的一種語言，它是為滿足工程計算的要求應運而生的，MATLAB集數值運算、符號運算和圖像可視化三大基本功能于一體，具有功能強大、操作簡單的特點，是數值分析的一個常用工具。在數值分析中，MATLAB具有較強的數值計算和模擬能力，如牛頓插值的MATLAB實現、約瑟夫·拉格朗日插值的MATLAB實現等。
Python
Python是一種面向對象的、解釋性的、通用性的、開源的腳本編程語言，具有語法簡單、可讀性強、易學易用、開源性及封裝性強等特點。在數值計算領域，Python語言多用于人工智能、機器學習方面，且MATLAB中大部分常用的功能都可以在Python中找到對應的擴展庫，如在利用數值微分、三次樣條插值和數值積分等方法對相關問題進行建模后，需利用Python的第三方擴展庫來解決實際問題。
Excel
Microsoft Excel（電子表格）是一種應用軟件，它以二維表格作為基本的操作界面提供給用戶，用戶通過在表格中輸入數據，而由軟件自動完成計算、統計、分析、制表及繪圖等功能，同時電子表格還具有數據庫處理功能。在數值分析領域，除常用數值分析工具外，Excel也具有基本的數值分析功能，如在Excel表格中輸入表達式并賦予各參量數值，計算機可以快速準確地完成計算。
基本內容
計算函數的值
插值
從實際需要出發，如果對于計算結果允許有一定的誤差，就可以把（考察的）問題的函數關系用一個簡單的便于計算和處理的近似表達式來代替，從而使問題得到簡化。人們往往用構造的方法得到近似表達式（函數）。插值法就是建立這種近似表達式的一種基本方法。插值法在現代的數值分析中，起到了重要作用，常見的插值公式包括約瑟夫·拉格朗日插值公式、牛頓插值公式及埃爾米特插值公式等，且在機械制造、土木工程、電子設備等工程實際，以及諸多學科的理論分析中有廣泛的應用。
外推
外推算法實質上是逐步逼近，在數值和應用科學中，人們經常需要考慮各種類型的序列：標量、向量、四元數、矩陣，以及最近的張量，這些序列可以收斂或發散。當它們收斂時，它們的收斂性可能如此緩慢以至于它們的實際用途非常有限。在某些情況下，可以通過修改過程來構建它們，但在其他情況下，這個過程是一個黑盒，無法訪問。然后，一種可能的方法是將這些序列轉換為另一種類型，希望它們能夠更快地收斂到同一限制，這種序列轉換背后的想法就是外推。外推算法可適用于以步長為特點的各類問題，求解函數值時，外推法可在不增加函數值計算的前提下，使數值解的截斷誤差的階增高，在提高計算精度的同時，大大減少計算量。
回歸
回歸分析是研究相關關系的一種數學工具，它能幫助實現從一個變量取得的值去估計另一變量所取的值，既可以用于探索和檢驗自變量與因變量之間的因果關系， 也可以基于自變量的取值變化來預測因變量的取值，還可以用于描述自變量和因變量之間的關系。回歸的優點在于它可以通過統計操作手段來對干擾因素加以控制，從而幫助人們發現自變量和因變量之間的凈關系，且回歸已經成為社會科學定量研究方法中應用較為廣泛的一種數據分析技術。
求解方程組
在自然科學和工程技術中很多問題的解決常常歸結為解線性代數方程組，例如電學中的網絡問題，船體數學放樣中建立三次樣條函數問題，用最小二乘法求實驗數據的曲線擬合問題，解非線性方程組問題，用差分法或者有限元方法解常微分方程、偏微分方程邊值問題等都導致求解線性代數方程組，而這些方程組的系數矩陣大致分為兩種，一種是低階稠密矩陣，另一種是大型稀疏矩陣。線性方程組的數值解法一般包含直接法和迭代法兩種類型，常見的方法包括牛頓法、直接分解法、冪法與反冪法等。
解決特征值或奇異值問題
特征值問題
數學中諸如方陣的對角化及解導數方程組等問題，都要用到特征值的理論，其具有廣泛的應用背景。在數值分析中，許多數值方法都可以用來求解特征值問題，如有限差分方法、有限元方法、譜方法等。
冪法
在有些問題中只需要求出矩陣的按模最大的特征值（稱為的主特征值）和相應的特征向量，冪法就是一種計算矩陣主特征值（矩陣按模最大的特征值）及對應特征向量的迭代方法，適用于大型稀疏矩陣等。
反冪法
反冪法用來計算矩陣按模最小的特征值及其特征向量的迭代算法，也可用來計算對應于一個給定近似特征值的特征向量。
雅可比方法
雅可比迭代法是用某種極限過程去逼近線性方程組精確解的方法，即從某一個初始向量 出發，按一定的迭代格式產生一個，，，，使其收斂到的精確解。
QR算法
QR算法可用來求任意實的非奇異矩陣的全部特征值，是目前計算這類問題最有效的方法之一。QR算法及其理論比較復雜，要用到鏡面反射矩陣(Householder)、矩陣的正交三角分解（）、矩陣的Hessenberg型以及任何實方陣可通過正交相似變換化為Hessenberg型等。
奇異值分解
奇異值分解則是特征分解在任意矩陣上的推廣。定義矩陣的奇異值，對，記的特征值為，的特征值為，可以通過計算得到，稱為的奇異值。
數學規劃
數學規劃的研究對象是數值最優化問題，其涉及優化問題的建模和求解，目標是在給定約束條件下最小化或最大化一個目標函數，凡有關安排、調度、組織、籌劃、控制等類問題都是數學規劃的研究對象。數值分析中的數據逼近、方程組求解等問題都會涉及數學規劃的內容，且它還是經濟計量學，經濟管理學不可缺少的數學工具。數學規劃的主要分支包括：線性規劃、非線性規劃、整數規劃及動態規劃。在數值分析中，數學規劃主要的應用方法包括：插值法、外推法等。
數值積分
數值積分也叫數值求積，術語“求積”的本意是“求與某個平面圖形有相同面積的正方形的邊長”，是對定積分的值進行數值逼近，用來求定積分近似值的方法。如考慮定積分，用易于積分的簡單函數來逼近曲線，簡單曲線下面的面積近似等于下面的面積。近似面積可通過曲線的分段逼近和軸之間的梯形面積相加來計算。
數值方程
數值方程指的是用量值中的數值符號所給出的數值之間的定量關系式。在給出數值方程時，必須注明所用數值符號所對應的單位。由于所用單位不同，必然導致數值方程出現不同的系數。數值方程等號左右均為數而不存在量綱，也不要求所代表的量間有相同的量綱。在數值分析中，處理數值方程的主要方法包括：迭代法、牛頓法及雅可比法等。
應用
工程學
在現代工程建設和鍋爐制造領域，數值計算和模擬技術的應用展現了它們在解決實際問題中的關鍵作用。如在水利工程領域，曼寧公式應用較為廣泛，雖然在實際應用中存在測量精度的挑戰，但通過雙變量誤差分析，可以有效評估模型的實際應用能力，來保證設計的模型能夠滿足工程活動的需求等。另外，在鍋爐制造運行的各階段，數值模擬技術能夠深入分析鍋爐內的流場變化等，如通過模擬鍋爐啟動過程中的溫度場變化的應力變化情況來合理設定啟動溫度曲線延長在役鍋爐使用壽命的壽命控制模擬計算；通過對鍋爐運行過程中溫度場模擬計算來分析部件失效原因的質量事故數值模擬分析等。這些技術的應用不僅提高了制造的精度和效率，還顯著增強了在役設備的性能和安全性，延長了使用壽命。
建筑學
在建筑學領域中，數值模擬分析和數值計算也被廣泛應用。如在建筑鋼結構中，裝配式波紋鋼結構作為一種高效率、高質量、高壽命、綠色環保的施工技術，近年來在地下涵洞、明洞、 隧道等領域得到了廣泛應用，采用數值模擬分析的方法，建立有限元模型，能夠有效分析螺栓數目及波紋鋼板厚度對搭接接頭破壞模式和抗彎承載能力的影響機理，可為接頭強度校核提供依據。不僅如此，數值分析在室內建筑方面也有一定的應用，如通過ansys對建筑室內自然通風情況進行模擬，對相關建筑結構進行參數化建模，并設置四組頂部通風口對比參照風況，將建立好的模型導入ANSYS軟件中，用有限元方法分析不同風況下建筑的能源數值變化情況，可以更好地探尋適合該建筑達到自然通風效果的方案，進一步做到節能減排。
材料學
隨著對復合材料細微結構的進一步研究和計算機技術的迅速發展，諸多學者致力于研究復合材料高速侵徹的有限元數值模型。如纖維增強復合材料具有質量輕、強度高等優點，在航空領域應用廣泛，建立有限元沖擊模型，可以更好地解決層板高速沖擊問題，優化飛機結構，提高飛機安全飛行等。另外，針對CFRP在高溫、 高濕等惡劣工況下使用，導致材料的力學性能降低，甚至材料失效等情況，通過abaqus計算軟件對干態和濕熱老化后的斷裂纖維尖端周圍的縱向脫粘行為進行研究，建立有限元模型，可以更好地理解各種力學性能參數對纖維/基體界面的縱向脫粘行為以及濕熱對單向CFRP縱向拉伸破壞的影響。
醫學
在醫學領域中，數值模擬分析多用于骨創傷方面。在內踝骨折的治療方面，針對內踝骨折所應用的分型主要為Herscovici等，其中Herscovici B型及C型骨折作為最常見的內踝骨折類型在臨床上主要采取手術治療的方式，應用有限元分析法對模型進行參數設定以及載荷施加，分析骨折端應力、位移及內置物應力及位移等情況，可以探究不同內固定方式及不同置入角度固定Herscovici B型及C型內踝骨折的生物力學穩定性，對臨床治療內踝骨折具有一定參考意義。另外在椎管治療方面，構建椎管重建內固定術的有限元模型，可精確逼真地模擬椎體和椎間盤，還能將周圍的肌肉和韌帶直接或間接的加入到模型中，使模型更加符合人體真實生理狀態。其次，有限元分析方法還可賦予各種組織材料不同屬性，來模擬腰椎力學環境，分析椎管重建內固定術對脊柱穩定性的影響，進一步驗證椎管重建內固定術在椎管內手術中的有效性和可靠性。
參考資料 >