并集，指兩個(gè)或多個(gè)集合經(jīng)并運(yùn)算所得到的集合。給定兩個(gè)集合，把他們所有的元素合并在一起組成的集合，叫做集合與集合的并集，記作，讀作并。即是由屬于集合或?qū)儆诩系脑厮M成的集合，符號(hào)表示為：或。
1851年，波爾查諾（波爾扎諾，B）發(fā)表著作《無(wú)窮悖論》，肯定了實(shí)無(wú)窮的存在，建立了集合等價(jià)的概念，還注意到了無(wú)窮集合的某些真部分有可能等價(jià)于整體的情況。1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾(G.Cantor，1845-1918)創(chuàng)立的集合論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。集合分為空集、子集、補(bǔ)集、交并集以及冪集等。集合與集合之間有包含和相等關(guān)系，集合之間有并、交、補(bǔ)等運(yùn)算。集合論的思想滲透數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，其一方面促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，另一方面也影響了后世數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性工作的深刻研究。
并集應(yīng)用于數(shù)據(jù)分析、計(jì)算機(jī)科學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和軍事等領(lǐng)域，在數(shù)據(jù)分析中，創(chuàng)建并集有手動(dòng)和自動(dòng)兩種方式，創(chuàng)建并集是將一個(gè)表中的幾行數(shù)據(jù)附加到另一個(gè)表來(lái)合并兩個(gè)或者更多表的一種方法。保密計(jì)算集合的交集或并集是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要研究之一，廣泛應(yīng)用于電子選舉、門(mén)限簽名、保密拍賣(mài)等場(chǎng)景中。同時(shí)，集合也應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)，可以對(duì)三維實(shí)體對(duì)象進(jìn)行并集、交集、差集的運(yùn)算。軍事領(lǐng)域中自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別技術(shù)運(yùn)用了基于“交并集加權(quán)”的改進(jìn)證據(jù)組合方法，提高證據(jù)組合規(guī)則的準(zhǔn)確性。
定義
并集也稱(chēng)和集，是集合論的基本概念之一，指兩個(gè)或多個(gè)集合經(jīng)并運(yùn)算所得到的集合。對(duì)于任意兩個(gè)集合，由集合和集合中所有元素組成的集合，稱(chēng)為集合與集合的并集，記作，讀作A并B。即是由屬于集合或?qū)儆诩系脑厮M成的集合，符號(hào)表示為：或
。
舉例
集合的并運(yùn)算：設(shè)集合，集合，為集合的并集，求。
解：
可得
簡(jiǎn)史
19世紀(jì)初期，數(shù)學(xué)界對(duì)數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運(yùn)動(dòng)促進(jìn)了集合論的誕生。1851年，波爾查諾發(fā)表著作《無(wú)窮悖論》，肯定了實(shí)無(wú)窮的存在，建立了集合等價(jià)的概念，還注意到了無(wú)窮集合的某些真部分有可能等價(jià)于整體的情況。1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾創(chuàng)立的集合論，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象匯總而成的集體，其中構(gòu)成集合的這些對(duì)象則稱(chēng)為該集合的元素。
集合分為空集、子集、補(bǔ)集、交并集以及冪集等。集合與集合之間有包含和相等關(guān)系，集合之間有并、交、補(bǔ)等運(yùn)算。集合論的思想滲透數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，其一方面促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，另一方面也影響了后世數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性工作的深刻研究。由于集合論對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)作用和重要性，它已經(jīng)成為理解和掌握現(xiàn)代數(shù)學(xué)所必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)。而集合思想則是把在某些方面有類(lèi)似性質(zhì)的對(duì)象（或滿(mǎn)足某一條件的對(duì)象）放在一起視為一個(gè)集合，然后利用集合有關(guān)的概念或通過(guò)集合的運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題。其在解題中有著重要作用。
性質(zhì)
性質(zhì)一：任何兩個(gè)集合都是他們并集的子集，即，也可說(shuō)并集相對(duì)于和來(lái)說(shuō)是全集。
性質(zhì)二：任何集合與空集，或集合與自己的并集都等于它自己，即。
性質(zhì)三：任何集合與全集的并集等于全集,即。
相關(guān)定理
有限集合的記數(shù)問(wèn)題可用容斥定理解決，容斥定理定義為：設(shè)是具有N個(gè)元素的集合，是A的子集，則有
。
證明：由Sylvester定理可知，當(dāng)時(shí)恰好是沒(méi)有任何性質(zhì)的元素個(gè)數(shù)，數(shù)目為
證畢。
相關(guān)運(yùn)算
推廣
推廣一：設(shè)為全集的一個(gè)子集類(lèi)，由中所有子集的元素合并組成的新集合，稱(chēng)為子集類(lèi)的并集，記作。
例如：實(shí)數(shù)區(qū)間構(gòu)成的集合類(lèi)其中全體自然數(shù)。
則并集為。
推廣二：從兩個(gè)集合的并運(yùn)算可推廣到任何有限個(gè)或任意無(wú)限個(gè)集合的并運(yùn)算。設(shè)為一集合族，把集合稱(chēng)為所含的元素集合的并集，記為。
用記號(hào)表示一集合族，則集合族的并運(yùn)算表示為：。
相關(guān)概念
交集
設(shè)是兩個(gè)集合，由集合和集合中的公共元素組成的集合，稱(chēng)為集合與集合的交集，記作，讀作交，即是由既屬于又屬于的元素組成的集合，用符號(hào)表示為：。
差集
設(shè)是兩個(gè)集合，由所有只屬于集合而不屬于集合的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合與集合的差集。差集記作，符號(hào)表示為：。
補(bǔ)集
設(shè)為全集，集合的補(bǔ)集用表示，定義為， 符號(hào)表示為：。
空集
空集是集合論的一個(gè)重要概念，沒(méi)有任何元素的集合稱(chēng)為空集，用符合表示，其表達(dá)式用符號(hào)可以表述為或者。對(duì)于任何集合，都有，即空集是任意集合的子集。空集有一個(gè)性質(zhì)是：對(duì)于任何集合有。
集合
集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，是由一個(gè)或多個(gè)確定的元素所構(gòu)成的整體，現(xiàn)在幾乎滲透到了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。集合的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性的特點(diǎn)，元素互異性是集合最重要的特征之一。給定任意集合和，可以通過(guò)集合的交、并、差、補(bǔ)、對(duì)稱(chēng)差等運(yùn)算產(chǎn)生新集合。
子集
設(shè)是兩個(gè)集合，若對(duì)任意，即集合的任何一個(gè)元素都是集合的元素，那么集合就叫做集合的子集，記作，讀作“A包含于B"或“B包含A”。
對(duì)稱(chēng)差
設(shè)是兩個(gè)集合，集合的對(duì)稱(chēng)差（或布爾和）定義為：，即集合的所有非公共元素所組成的集合。
文氏圖
文氏圖也叫維恩圖（Venn圖）、邏輯圖，是用圖解表示集合運(yùn)算和集合關(guān)系的示意圖，常用來(lái)幫助理解問(wèn)題和邏輯推導(dǎo)。在文氏圖中，全集用一長(zhǎng)方形區(qū)域表示，長(zhǎng)方形中的點(diǎn)表示全集中的元素，閉合曲線形成的圓形區(qū)域表示集合的子集，圓形區(qū)域的位置關(guān)系表示了不同集合之間的關(guān)系。
集族
設(shè)是一個(gè)非空集合，記是的冪集，即以的所有子集（包含空集和本身）為元素的集合。把的子集
（即以的一部分子集為元素的集合 ）稱(chēng)為的集族。
應(yīng)用
計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)
布爾運(yùn)算得名于19世紀(jì)數(shù)學(xué)家喬治·布爾，布爾發(fā)明了處理二值之間關(guān)系的邏輯數(shù)學(xué)計(jì)算法，包括與、或、非、異或。布爾運(yùn)算在數(shù)學(xué)的集合運(yùn)算中得到廣泛應(yīng)用，AutoCAD（計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)）也將該運(yùn)算應(yīng)用于實(shí)體的創(chuàng)建過(guò)程中。實(shí)體建模是AutoCAD三維建模中比較重要的一部分，實(shí)體模型能夠完整描述對(duì)象的3D模型，比三維線框、三維曲面更能表達(dá)實(shí)物。利用三維實(shí)體，可以分析實(shí)體的質(zhì)量特性，如體積、慣量、重心等。用戶(hù)可以對(duì)三維實(shí)體對(duì)象進(jìn)行下列布爾運(yùn)算并集、交集、差集，交運(yùn)算是指取兩個(gè)形體中公共的部分，將非公共部分刪除掉的操作；并運(yùn)算是指將兩個(gè)形體合并形成一個(gè)新形體的操作；差運(yùn)算是指從第一個(gè)形體中刪除第二形體的部分，剩下的形體組成一個(gè)新形體的操作。
數(shù)據(jù)分析
在tableau數(shù)據(jù)分析中新建并集的方式有兩種：手動(dòng)合并表（手動(dòng)）和通配符（自動(dòng)）。手動(dòng)合并的方法是將需要合并的表拖向“新建并集”頁(yè)面，單擊“確定”按鈕即可；適用于需要合并工作表較少的情況。自動(dòng)合并是通過(guò)通配符匹配，將所查詢(xún)到的文件自動(dòng)新建為一個(gè)并集，適用于合并的工作表較多的情況。并集是通過(guò)將一個(gè)表中的幾行數(shù)據(jù)附加到另一個(gè)表來(lái)合并兩個(gè)或者更多表的一種方法。理想情況下，合并的表必須具有相同的字段數(shù)，并且這些字段必須具有匹配的名稱(chēng)和數(shù)據(jù)類(lèi)型。
計(jì)算機(jī)科學(xué)
集合的安全多方計(jì)算問(wèn)題是保密科學(xué)計(jì)算研究的重要問(wèn)題之一，安全多方計(jì)算是指多個(gè)參與者將保密數(shù)據(jù)作為計(jì)算輸入，參與者協(xié)同進(jìn)行保密計(jì)算，且無(wú)法獲得計(jì)算結(jié)果外的其它額外信息。安全多方計(jì)算在自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域有著重要的現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值，經(jīng)常應(yīng)用于電子選舉、門(mén)限簽名、保密拍賣(mài)等場(chǎng)景中。近年來(lái)，研究學(xué)者對(duì)保密判斷元素與集合的關(guān)系、保密計(jì)算集合的交集或并集以及保密判斷集合包含關(guān)系等問(wèn)題進(jìn)行了大量研究。研究學(xué)者針對(duì)不同的集合運(yùn)算提出對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化方式將集合轉(zhuǎn)化為向量，然后基于哥德?tīng)柧幋a提出了新的編碼方式，再結(jié)合ElGamal門(mén)限加密算法設(shè)計(jì)了半誠(chéng)實(shí)模型下可輸出多個(gè)集合交集.
或并集，以及同時(shí)輸出交集與并集的保密計(jì)算協(xié)議。最后應(yīng)用模擬范例證明了協(xié)議的安全性，協(xié)議可以抵抗任意的合謀攻擊。
軍事領(lǐng)域
自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別技術(shù)是軍用指揮自動(dòng)化系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一，以多傳感器數(shù)據(jù)融合技術(shù)為核心的多模探測(cè)技術(shù)迅速發(fā)展，但是由于各種干擾的影響以及傳感器本身存在誤差，各傳感器提供的信息都具有一定程度的不確定性，信息融合過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)不確定的推理與決策過(guò)程。D-S 證據(jù)理論作為一種不確定推理方法，在信息融合中獲得廣泛的應(yīng)用，在 D-S 證據(jù)理論中，傳感器的輸出信息被表示為定義在辨識(shí)框架冪集下的基本概率指派函數(shù)( mass 函數(shù)) ，利用 D-S 證據(jù)組合規(guī)則實(shí)現(xiàn)多個(gè) mass函數(shù)的組合。然而在證據(jù)高度沖突情況下，證據(jù)理論會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤結(jié)論，針對(duì) D-S 證據(jù)組合規(guī)則在證據(jù)高度沖突時(shí)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論這一問(wèn)題，結(jié)合自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別系統(tǒng)的實(shí)際需求，提出了一種基于“交并集加權(quán)”的改進(jìn)證據(jù)組合方法。該方法首先將交集組合規(guī)則和并集組合規(guī)則進(jìn)行適當(dāng)加權(quán)，然后根據(jù)組合后的證據(jù)中各單元素命題的相對(duì)可信任度，將多元素命題的基本概率指派函數(shù)( mass 函數(shù)) 按比例分配給它的單元素子集，從而確保目標(biāo)識(shí)別系統(tǒng)能夠在單元素命題間進(jìn)行決策。
參考資料 >