變分法是17世紀(jì)末發(fā)展起來的一門數(shù)學(xué)分支，是處理函數(shù)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理數(shù)的函數(shù)的普通微積分相對(duì)。它最終尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或極小值。變分法起源于一些具體的物理學(xué)問題，最終由數(shù)學(xué)家研究解決。
概述
簡(jiǎn)介
變分法的關(guān)鍵定理是萊昂哈德·歐拉拉格朗日方程。它對(duì)應(yīng)于泛函的臨界點(diǎn)。在尋找函數(shù)的極大和極小值時(shí)，在一個(gè)解附近的微小變化的分析給出一階的一個(gè)近似。它分辨不出找到的是最大值還是最小值（或者兩者都不是）。
變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學(xué)中，以及在最小作用量原理在量子力學(xué)的應(yīng)用中。變分法提供了有限元方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是求解邊界值問題的強(qiáng)力工具。它們也在材料學(xué)中研究材料平衡中大量使用。而在純粹數(shù)學(xué)中的例子有，伯恩哈德·黎曼在調(diào)和函數(shù)中使用狄力克雷原理。最優(yōu)控制的理論是變分法的一個(gè)推廣。
同樣的材料可以出現(xiàn)在不同的標(biāo)題中，例如希爾伯特空間技術(shù)，摩爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用于所有極值泛函問題。微分幾何中的測(cè)地線的研究是很顯然的變分性質(zhì)的領(lǐng)域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為高原問題。
發(fā)展簡(jiǎn)史
變分法可能是從約翰·白努利(Johann Bernoulli)1696年提出最速曲線(brachistochrone curve)問題開始出現(xiàn)的. 它立即引起了雅克布·伯努利(Jakob Bernoulli)和洛必達(dá)的注意，但歐拉首先詳盡的闡述了這個(gè)問題。他的貢獻(xiàn)始于1733年，他的《變分原理》(Elementa Calculi Variationum)寄予了這門科學(xué)這個(gè)名字. 約瑟夫·拉格朗日對(duì)這個(gè)理論的貢獻(xiàn)非常大。拉格朗日(1786)確定了一種方法，但在對(duì)極大和極小的區(qū)別不完全令人滿意。艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨也是在早期關(guān)注這一學(xué)科。對(duì)于這兩者的區(qū)別Vincenzo Brunacci(1810)， Carl Friedrich Gauss(1829)，Simeon 西莫恩·泊松(1831)， Mikhail Ostrogradsky(1884)，和Carl Jacobi(1837)都曾做出過貢獻(xiàn)。 Sarrus(1842)的由Cauchy(1844)濃縮和修改的是一個(gè)重要的具有一般性的成就。 Strauch(1849)，Jellett(1850)， Otto Hesse(1857)，Alfred Clebsch(1858)，和Carll(1885)寫了一些其他有價(jià)值的論文和研究報(bào)告，但可能那個(gè)世紀(jì)最重要的成果是Weierstrass所取得的。他關(guān)于這個(gè)理論的著名教材是劃時(shí)代的, 并且他可能是第一個(gè)將變分法置于一個(gè)穩(wěn)固而不容置疑的基礎(chǔ)上的。1900發(fā)表的第20和23個(gè)戴維·希爾伯特(Hilbert)促進(jìn)了更深遠(yuǎn)的發(fā)展. 在20世紀(jì)David Hilbert, Emmy Noether，Leonida Tonelli，Henri Lebesgue和Jacques Hadamard 等人做出重要貢獻(xiàn)。Marston 海象 將變分法應(yīng)用在Morse理論中。 Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar和Clarke廣義變分法理想控制論發(fā)展了新的數(shù)學(xué)工具。
方程
簡(jiǎn)介
歐拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 簡(jiǎn)稱E-L方程，在力學(xué)中則往往稱為拉格朗日方程。正如上面所說，變分法的關(guān)鍵定理是萊昂哈德·歐拉拉格朗日方程。它對(duì)應(yīng)于泛函的臨界點(diǎn)。
值得指出的是，E-L方程只是泛函有極值的必要條件，并不是充分條件。就是說，當(dāng)泛函有極值時(shí)，E-L方程成立。在應(yīng)用中，外界給定的條件可以使得E-L方程在大多數(shù)情況下滿足我們的需求。所以盡管下面我們要在比較強(qiáng)的條件下推導(dǎo)，并且這種推導(dǎo)在某些意義上有些不太嚴(yán)謹(jǐn)，完全可以在較弱的情況下予以完全嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，但是就我們所要用的層面而言，也是足夠的了。
推導(dǎo)
對(duì)于泛函
固定兩個(gè)端點(diǎn)，在泛函S取到極值時(shí)的函數(shù)記作g(x)，定義與這個(gè)函數(shù)“靠近”的一個(gè)函數(shù)，，其中δg(x)在從到上都是小量，同時(shí)也滿足，
這里δg(x)稱為函數(shù)g(x)的變分。
因?yàn)樵趶娜魏魏瘮?shù)代替g(x)都會(huì)使得泛函S取不到極值，所以用h(x)代替g(x)使得作用量產(chǎn)生了增量，為，
將第一項(xiàng) 按照δg(x)和δg'(x)冪級(jí)數(shù)打開，并且注意到δg(x)和δg'(x)永遠(yuǎn)是小量，舍棄掉二次項(xiàng)及以上高次項(xiàng)，可得關(guān)于和一次項(xiàng)的和。則S取到極值的必要條件就是這些項(xiàng)的和的值為0.這些和稱之為S的一階變分（或者簡(jiǎn)稱變分），變分為0記作，
按照冪級(jí)數(shù)打開后，可以得到，
將第二項(xiàng)分部積分得：
由于，于是第一項(xiàng)等于0，換而言之，就是這個(gè)等式成立，
于是對(duì)任何小的函數(shù)該積分都等于0，于是只有被積函數(shù)等于0的時(shí)候才有可能。（這個(gè)論斷是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模@里應(yīng)該由Du Bois Reymond 引理給出）于是我們得到方程，
這就是E-L方程。
在力學(xué)上，這里的g用任何一個(gè)廣義坐標(biāo)q表示，x用t代替，而，那么拉格朗日方程則為，
物理學(xué)應(yīng)用
物理學(xué)中泛函極值問題的提出促進(jìn)了變分學(xué)的建立和發(fā)展，而變分學(xué)的理論成果則不斷滲透到物理學(xué)中。
費(fèi)馬原理
費(fèi)馬原理指出：光沿所需時(shí)間為極值(極大值、恒值、極小值)的路徑傳播。假設(shè) 為光的路徑，則光程可以下式表示：
其中折射率n(x,y) 依材料特性而定。
若選擇,則A的一階導(dǎo)數(shù) (A對(duì)ε的微分)為
將括號(hào)中的第一項(xiàng)用分部積分處理，可得長(zhǎng)城歐拉拉格朗日方程
光線的路徑可由上述的積分式而得。這可以看作上面E-L方程的特例。
大范圍變分法
18世紀(jì)是變分法的草創(chuàng)時(shí)期，建立了極值應(yīng)滿足的歐拉方程并據(jù)此解決了大量具體問題。19世紀(jì)人們把變分法廣泛應(yīng)用到數(shù)學(xué)物理中去，建立了極值函數(shù)的充分條件。20世紀(jì)伊始，戴維·希爾伯特在巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)講演中提到的23個(gè)著名數(shù)學(xué)問題中就有三個(gè)與變分法有關(guān)，變分法的思想貫穿了R.庫朗和希爾伯特所著的《數(shù)學(xué)物理方法》一書。而H.M.莫爾斯的大范圍變分法則是20世紀(jì)變分法發(fā)展的標(biāo)志(見莫爾斯理論)。
變分原理
P. de皮耶·德·費(fèi)瑪從歐幾里得確立的光的反射定律出發(fā)提出了光的最小時(shí)間原理：光線永遠(yuǎn)沿用時(shí)最短的路徑傳播。他原先懷疑光的折射定律，但在1661年費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)從他的光的最小時(shí)間原理能夠推導(dǎo)出折射定律，不僅消除了早先的懷疑，而且更加堅(jiān)信他的原理。約瑟夫·拉格朗日把變分法用到動(dòng)力學(xué)上。他引進(jìn)廣義坐標(biāo)，動(dòng)能T是 的函數(shù),q'表示廣義速度。他又假定力有位勢(shì)V，V是q的函數(shù)，又假定是常量，即系統(tǒng)無耗散，令，稱為作用量，拉格朗日的最小作用原理是說真實(shí)的運(yùn)動(dòng)使作用量取極小值。通過歐拉方程，拉格朗日建立他的運(yùn)動(dòng)方程，據(jù)此推出了力學(xué)的主要定律，并解決了一些新的問題。這些工作都記載在他在1788年出版的《分析力學(xué)》一書中。
量子力學(xué)
變分法在量子力學(xué)中主要解決基態(tài)能量和波函數(shù)問題。
經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用
變分法用于求解經(jīng)濟(jì)學(xué)中的動(dòng)態(tài)最優(yōu)問題，即給定目標(biāo)函數(shù)和約束條件的情況下，求解使得目標(biāo)函數(shù)維持最優(yōu)狀態(tài)的控制變量函數(shù)，也叫作“古典變分法”。下述兩個(gè)問題都可以通過變分法解決，即通過歐拉方程得出其一階條件。
拉姆齊模型
（積分區(qū)域?yàn)?0,T)）
（i是無風(fēng)險(xiǎn)收益率，W是工資，是的變動(dòng)率）
， （終結(jié)線）
喬根森模型
（積分區(qū)域?yàn)?0,∞)）
變薇分法
變分法概念與尋常分析中的導(dǎo)數(shù)概念很為類似，但所聯(lián)系的不是x的變化，而是函數(shù)y（x）的變化。如果函數(shù)y（x）使U（y）達(dá)其極值，則U的變分變?yōu)?。
幾乎所有的物理和力學(xué)的基本規(guī)律都陳述為規(guī)定某一泛函的變分應(yīng)該是0的“變分法原理”，由于這個(gè)原故變分法使許多重要的物理問題及技術(shù)問題得以解決。
參考資料 >