函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 定義1 函數(shù)列，則稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。定義2取，則成為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，若收斂，則稱為的收斂點(diǎn)；若發(fā)散，則稱為的發(fā)散點(diǎn)。
定義3 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn)的集合稱為其收斂域，記為D。定義4 對于任意一點(diǎn)，有收斂，因而有一個(gè)確定的和，該和是關(guān)于 的函數(shù)，稱為 和函數(shù)，記為S（x）。
定義5 若用 表示 的前n項(xiàng)的和，則在收斂域上有記稱為的余項(xiàng)，且在收斂域上有。則在收斂域上有記稱為的余項(xiàng)，且在收斂域上有。
相關(guān)內(nèi)容
簡介
函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念
定義1
設(shè)函數(shù)列都在區(qū)域I上有定義，則表達(dá)式
稱為定義在I上的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。
定義2
取x0屬于I，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)則稱為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)。
若該常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂，則稱x0為的收斂點(diǎn)；
若該常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，則稱x0為的發(fā)散點(diǎn)。
定義3
函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂點(diǎn)全體的集合稱為其收斂域，發(fā)散點(diǎn)全體的集合稱為其發(fā)散域。
定義4
對于任意一點(diǎn)x，級數(shù)所確定的和應(yīng)該是x的函數(shù)，記作：
（x屬于I）.
s(x)稱為定義在I上的和函數(shù)。
定義5
若用表示函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前n項(xiàng)的和，
則在收斂域上有稱為余項(xiàng)。
概念
冪級數(shù)的有關(guān)概念
定義6 具有下列形式的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)
（1）稱為冪級數(shù)。
特別地，在中令即上述形式化為
（2）稱為 的冪級數(shù)。
取為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，如收斂，其和為
取為常數(shù)項(xiàng)級數(shù)，如收斂，其和為
取為和函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，總收斂，其和為
對冪級數(shù)主要討論兩個(gè)問題：
（1）冪級數(shù)的收斂域（2）將函數(shù)表示成冪級數(shù)。
冪級數(shù)的收斂域具有特別的結(jié)構(gòu)
定理1：（i）如 在 收斂，則對于滿足 的一切，都絕對收斂；
（ii）如 在 發(fā)散，則對于滿足 的一切，發(fā)散。
證：（1）∵ 收斂
∴ （收斂數(shù)列必有界）
而 為幾何級數(shù)，當(dāng) 即收
∴ 收 ∴ 原級數(shù)絕對收斂
（2）反證：如存在一點(diǎn) 使 收
則由（1）收，矛盾。
由證明可知冪級數(shù)的收斂域?yàn)閿?shù)軸上的對稱區(qū)間，因此存在非負(fù)數(shù)R，使 收斂；發(fā)散，稱R為收斂半徑，（-R，R）為收斂區(qū)間。
冪級數(shù)的收斂域及其求法
定理2：如冪級數(shù) 系數(shù)滿足，
則（1收斂區(qū)間為（-R，R）；
（2）收斂區(qū)間為（－∞，+∞）；
（3）冪級數(shù) 僅在一點(diǎn)x=0處收斂。
注意：當(dāng)時(shí)，的斂散性不能確定，要討論 的斂散性，從而求得收斂域。
例1：求下列冪級數(shù)的收斂域。
（1） （2） （3）
解：（1） ，故，
當(dāng) 時(shí)，原級數(shù)為 為交錯(cuò)級數(shù)，滿足
? ， ∴ 收斂；
當(dāng) 時(shí)，原級數(shù)為 發(fā)散，
∴ 收斂域?yàn)?/p>
解（2）由于 ∴ 故收斂域?yàn)椤?/p>
解（3）
令 ∴ 。
當(dāng) 時(shí)，
原級數(shù)為
∴ 發(fā)散；
同理 時(shí)，級數(shù)也發(fā)散，
∴收斂域
冪級數(shù)的性質(zhì)
求冪級數(shù)的和函數(shù)：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)，逐次積分及四則運(yùn)算等于將其化為可求和的形式，即化到公式：
和函數(shù)
若對冪級數(shù)中的每一個(gè)x都有，則稱S(x)為冪級數(shù)的和函數(shù)。
參考資料 >