數列（sequence of number）是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，是一列有序的數。
數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數稱為這個數列的第2項，以此類推，排在第n位的數稱為這個數列的第n項，通常用an表示。數列的一般形式是 a1，a2，...，an...，簡記為{an}。按照項的個數，數列分為有窮數列和無窮數列，按照項的變化趨勢，數列分為遞增數列、遞減數列、常數列和擺動數列。著名的數列有斐波那契數列、卡特蘭數、楊輝三角、盧卡斯數列、嘉路蘭歷法數列等。
數列是刻畫離散現象的數學模型，是一種離散型函數，在日常生活中有著重要的應用。
由來
三角形數
傳說古希臘畢達哥拉斯（約公元前570-約公元前500年）學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數。比如，他們研究過：由于這些數可以用如圖1所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數。
正方形數
類似地，被稱為正方形數，因為這些數能夠表示成正方形。因此，按照一定順序排列的一列數稱為數列。
概念
函數解釋
數列的函數理解：
①數列是一種特殊的函數。其特殊性主要表現在其定義域和值域上。數列可以看作一個定義域為正整數集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函數的觀點認識數列是重要的思想方法，一般情況下函數有三種表示方法，數列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法；b。圖像法；c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數列和以遞推公式給出數列。
③函數不一定有解析式，同樣數列也并非都有通項公式。
一般形式
數列的一般形式可以寫成
簡記為。
項
用符號{an}表示數列，只不過是“借用”集合的符號，它們之間有本質上的區別：1.集合中的元素是互異的，而數列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。
分類
（1）有窮數列和無窮數列：
項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence）；
項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）。
（2）對于正項數列：（數列的各項都是正數的為正項數列）
1）從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列；如：1，2，3，4，5，6，7；
2）每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列。如：8，7，6，5，4，3，2，1；
3）從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列叫做擺動數列（搖擺數列）；
（3）周期數列：各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函數）；
（4）常數數列：各項相等的數列叫做常數數列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。
公式
（1）通項公式：數列的第N項與項的序數n之間的關系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式，如。數列通項公式的特點：1）有些數列的通項公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些數列沒有通項公式（如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。
（2）遞推公式：如果數列的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。數列遞推公式特點：1）有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些數列沒有遞推公式，即有遞推公式不一定有通項公式。
等差數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列（arithmetic sequence），這個常數叫做等差數列的公差（common difference），公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。等差數列可以縮寫為A.P.（Arithmetic Progression）。
通項公式
其中，時 ；時 。
(k,b為常數) 推導過程： 令則得到。
等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic 平均數）。有關系：A=(a+b)÷2。
前n項和
倒序相加法推導前n項和公式：
①
②
由①+②得
∴。
等差數列的前n項和等于首末兩項的和與項數乘積的一半：
亦可得
有趣的是
性質
（1）任意兩項的關系為：，它可以看作等差數列廣義的通項公式。
（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*。
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq。
（4）對任意的，有成等差數列。
應用
日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有，則。其于數學的中的應用，可舉例：快速算出從23到132之間6的整倍數有多少個，算法不止一種，這里介紹用數列算令等差數列首項（24為6的4倍），等差；于是令即可解出。
等比數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列（geometric sequence）。這個常數叫做等比數列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
等比數列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。
等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項。
有關系：
注：兩個非零同號的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以是a、G、b三數成等比數列的必要不充分條件。
通項公式
（其中首項是，公比是q）；
。
前n項和
當時，等比數列的前n項和的公式為：；
當時，等比數列的前n項和的公式為：；
前n項和與通項的關系：；。
性質
（1）若，且，則；
（2）在等比數列中，依次每 k項之和仍成等比數列。
（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：
（4）等比中項：q、r、p成等差數列，則，則為等比中項。
記，則有。
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底對數后構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
(5) 等比數列前n項之和；
(6)任意兩項的關系為；
(7)在等比數列中，首項與公比q都不為零。
應用
等比數列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式---復利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。按照復利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。
等和數列
“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數，那么這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列，如果其任意的連續k（k≥2）項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列，它的性質是：必定是循環數列。
參考資料 >
4.1 數列的概念（1）.合肥市第五中學.2023-12-28