等差數列是相鄰兩項之差為常數的數列，該常數稱為公差。從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數，該數列就稱為等差數列，該常數稱為等差數列的公差。為避免混淆，此處不把“等差級數”、“算術級數”作為等差數列的別稱（可能是來源于其英文名arithmetic progression）。這與分析學級數理論中的“級數”重名，然而數列本身并不直接包含“級數”的含義。公差常用字母d表示。等差數列的遞推公式、通項公式、前若干項之和的公式都具有重要的應用。數列的高階差分為等差數列時，被稱為高階等差數列，其通項公式為多項式；等差數列的各項均為質數的情形吸引了許多數學家的注意，并且產生了與之相關的格林-陶定理等成果。
例如：1,3,5,7,9……2n-1。通項公式為：an=a1+(n-1)d。首項a1=1，公差d=2。前n項和公式為：Sn=a1n+[n(n-1)d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。注意：以上n均屬于正整數。
公式
定義式
對于數列 ，若滿足：
則稱該數列為等差數列。其中，公差d為一常數，n為正整數。
通項公式
等差數列通項公式通過定義式疊加而來。
如果一個等差數列的首項為a1，公差為d，那么該等差數列第n項的表達式為：
或：
等差數列遵守 的形式，可規定，若b為數列的0項，則記為a0，k為數列的公差，記為d，y為通項公式，記為an，則：
對應的求和數列為： ，其中 正整數。
求和公式
若一個等差數列的首項為a1，末項為an那么該等差數列和表達式為：
即。
前n項和公式
注意：n是正整數（相當于n個等差中項之和）。等差數列前N項求和，實際就是梯形公式的妙用：上底為a1首項，下底為，高為n。即：，也可寫成：
推論
（1）從通項公式可以看出，的一次函數或常數函數)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，S(n)是n的二次函數()或一次函數，且常數項為0。
（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：，(類似：)，
（3）若，且，則有成等差數列，等等。若。
證明：
（4）其他推論：
等差中項
等差中項即等差數列頭尾兩項的和的一半，但求等差中項不一定要知道頭尾兩項。在等差數列中，除首項與有窮等差數列的末項外，每一項（一般設為A(r)）都是它的前一項與后一項的等差中項。當成等差數列時，，所以A(r)為等差中項，且為數列的平均數。并且可以推知，且任意兩項a(m)、a(n)的關系為：，(類似，相當容易證明，它可以看作等差數列廣義的通項公式。
等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數的一種數列，常用A、P表示。從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數，該數列就稱為等差數列，該常數稱為等差數列的公差。等差數列有時又被稱為“等差級數”、“算術級數”，可能是來源于其英文名arithmetic progression。這與分析學級數理論中的“級數”重名，然而數列本身并不直接包含“級數”的含義。公差常用字母d表示。數列的高階差分為等差數列時，被稱為高階等差數列，其通項公式為多項式；等差數列的各項均為質數的情形吸引了許多數學家的注意，并且產生了與之相關的格林-陶定理等成果。
等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級；高斯是一位早慧的數學天才。相傳他在童年時期獨立發現了等差數列的求和公式。當他10歲時，一次數學課上，老師為了教訓班里吵鬧調皮的同學們，布置了一個“復雜”的任務：讓學生計算從1加到100的所有整數的和。老師預期這會是一個耗時較長的任務，不用20分鐘到30分鐘是很難做出來。然而，令人驚訝的是，沒過多久，高斯就舉手表示他已經完成了計算，并給出了答案：5050。老師核對后發現答案完全正確，這讓他感到非常意外和好奇。當老師詢問高斯是如何如此迅速地得出答案時，高斯解釋了他的方法：他沒有采用逐個相加的方式，而是觀察到了一個規律：1和100相加等于101，2和99相加也等于101，依此類推，直到50和51相加同樣等于101。這樣，從1到100的整數就可以被分成50對，每對的和都是101。因此，他只需將101乘以50，就得到了總和5050。高斯的這種巧妙方法讓他贏得了老師的贊賞，這段故事也被流傳下來。若為等差數列，且有。則。等差數列的各項均為質數的情形吸引了許多數學家的注意，并且產生了與之相關的格林-陶定理等成果；而數列的高階差分為等差數列時被稱為高階等差數列，其通項公式為多項式。
其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了：今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何？書中的解法是：并初、末日織布數，半之，余以乘織訖日數，即得。這相當于給出了的求和公式。
基本性質
（1）數列為等差數列的重要條件是：數列的前n項和S 可以寫成 + 的形式(其中a、b為常數)。
（2）在等差數列中，當項數為時， ；當項數為(）(n∈正整數)時， （中） ，。（3）若數列為等差數列，則， ， ，…仍然成等差數列，公差為。
（4）若數列{an}與{bn}均為等差數列，且前n項和分別是Sn和Tn，則 = 。
（5）在等差數列中，
（6）記等差數列的前n項和為S。①若，公差，則當時，S 最大；②若，公差，則當時，S 最小。
（7）若等差數列則。
等差數列的判定
（1）(d為常數、）[或d是常數]等價于{a(n)}成等差數列。
（2）等價于{a(n)}成等差數列。
（3） 等價于{a(n)}成等差數列。
（4）等價于{a(n)}為等差數列。
特殊性質
在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和；特別的，若項數為奇數，還等于中間項的2倍,
即，中
例：數列：1，3，5，7，9，11中 ; 即，在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和。
數列：中 ; 即，若項數為奇數，和等于中間項的2倍，另見，等差中項。
例題
在等差數列?中，
(1)已知，求?與d；
(2)已知，求。
解答：
參考資料 >