拉格朗日方程（Lagrange 方程），因數學物理學家約瑟夫·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736~1813）而命名，是分析力學的重要方程，可以用來描述物體的運動，特別適用于理論物理的研究。拉格朗日方程的功能相當于牛頓力學中的牛頓第二運動定律。拉格朗日方程有兩類，常用的是第二類拉格朗日方程，方程的一般形式為。
1788年，拉格朗日通過總結、歸納前人的經驗，實現了將全部力學都統一在一個普適的原理方法之下的目標，并出版了《分析力學》一書。在書中，他推出了拉格朗日方程。拉格朗日方程是解決具有理想的完整約束的質點系統動力學問題的基本方程，通常用來研究復雜的非自由質點系統動力學問題。
拉格朗日方程在物理學的其他領域有許多應用，如：哈密頓力學的提出、廣義動量在拉格朗日的表述、應用于幾何光學的拉式不變量以及費曼（Richard Feynman，1918~1988）用經典拉格朗日量提出的路徑積分方法等。因此，拉格朗日方程的建立奠定了分析力學基礎，描述了力學系統的動力學規律，通過用一個公式去表現盡量多的事項，把力學理論簡化成為普遍公式，實現了力學理論的巨大飛躍。
定義
形如的方程稱為拉格朗日方程。它屬于可就或解出的方程。若有個獨立變量，則可以有個拉格朗日方程，它是廣義坐標的二階微分方程，可表示為。如果廣義力是保守力，它可以由某一個勢能函數導出，即，則拉格朗日方程可簡化成，式中：為系統的動能，表示與廣義坐標對應的廣義力，是拉格朗日量，為廣義坐標，是時間的函數，為廣義速度。
簡史
1687年，艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643~1727)出版《自然哲學的數學原理》，總結出了物體運動的三個基本定律，創立了經典力學的理論體系。但是，Newton主要研究自由質點的運動規律。1743年，讓·達朗貝爾，J.le R.（Jean Le Rond d'Alembert，1717~1783)在出版的《動力學》中，將牛頓運動定律推廣到受約束物體的運動規律，即著名的d'Alembert原理；后來，戈特弗里德·萊布尼茨（Leibniz,G.W.1646~1716）提出“活力”“作用形式”等參量并用之為運動的度量，把視點轉向了運動自身，并選了一些與參考系沒有直接關聯的標量來描述運動。
之后，約瑟夫·拉格朗日想要提出一種力學理論與解法，使問題能化歸為一些普適的公式，并在對這些公式簡單推導后，就得出解決問題所需的全部方程，從而實現將全部力學都統一在一個普適的原理方法之下的目標。于是在1761年，拉格朗日在發表的論文《可解不同動力學問題的方法——追前法之應用》中，探討了用最小作用量原理進行力學分析之可能性，并將萊昂哈德·歐拉（德語：Leonhard Euler, 1707年4月15日～1783年9月18日）于1744年發表的，質點在有心力場中的變分方程推廣到一般情況，該論文也為他以后的一系列文章奠定了基礎；約瑟夫·拉格朗日在1764年發表的《月球的天平動研究》中，對達倫貝爾原理作了變分運算，并指出“這方法可將物體的全部運動規律歸納到它的平衡規律中去，從而有可能將動力學歸入靜力學”。
1788年，拉格朗日吸收、發展了歐拉，讓·達朗貝爾等人的研究成果，并將自己所寫的一系列論文成果集中出版于《分析力學》一書中，在書中，拉格朗日提出了虛功原理、動力學普遍方程和Lagrange方程，創立了分析力學的理論體系，使經典力學進入第二個發展階段——Lagran力學。
簡介
假設存在一顆珠子在線上滑動，或者一顆擺動的簡單擺。如果將每個大物體（珠子、擺輪）視為一個質點，使用牛頓力學計算質點的運動將需要求解隨時間變化的約束力，以使這個質點保持受限運動（線對珠子施加的反作用力，或簡單擺桿的張力）。對于相同的問題，使用拉格朗日力學時，我們觀察質點可能采取的路徑，并選擇一組完全描述質點可能運動的方便的獨立廣義坐標。這種選擇消除了約束力進入結果方程組的需要。由于我們并不直接計算給定時刻約束對質點的影響，方程較少。對于各種物理系統，如果一個大物體的大小和形狀可以忽略不計，將其視為質點是一個有用的簡化。對于具有質量的個質點系統，每個質點都有一個位置向量，表示為。笛卡爾坐標通常足夠，因此，等。在三維空間中，每個位置矢量需要三個坐標來唯一定義點的位置，因此有個坐標來唯一定義系統的構型。這些都是空間中特定的點，用于定位粒子；空間中的一般點寫為。每個粒子的速度是粒子沿其運動路徑移動的速度，并且是其位置的時間偏導數，因此。
牛頓第二運動定律是，而拉格朗日力學使用系統中的能量而不是力。拉格朗日力學的核心量是拉格朗日量，它總結了整個系統的動力學。總的來說，拉格朗日量有能量單位，但沒有所有物理系統的單一表達式。任何產生符合物理定律的正確運動方程的函數都可以視為拉格朗日量。在沒有電磁場的情況下，粒子系統的非相對論性拉格朗日量由式和系統的潛在能量反映了粒子之間的相互作用能量，即一個粒子由于所有其他粒子和其他外部影響而具有的能量。對于保守力（如牛頓引力），它只與粒子的位置向量有關，所以為0。對于那些可以從適當勢能導出的非保守力（如電磁勢能），速度也會出現。如果有外部場或隨時間變化的外部驅動力，勢能將隨時間變化。
一個或多個粒子可以各自受到一個或多個約束，每個約束都有一個方程來描述。每個方程都可以適用于任何粒子。如果粒子受約束，則在任何時刻，受約束粒子的坐標都是鏈接在一起的，而不是獨立的。約束方程決定了粒子可以移動的允許路徑，而不是它們的位置或它們在每個時刻的移動速度。非完整約束的三個例子是：當約束方程不可積時，當約束不等式時，或者具有復雜的非保守力（如摩擦力）時，非完整約束需要特殊處理，人們可能不得不恢復到牛頓力學，或使用其他方法。如果動能或約束方程或兩者都因時間依賴的約束或外部影響而明確地依賴于時間，拉格朗日函數是顯式時間依賴的。如果勢能和動能都不隨時間變化，那么拉格朗日函數是顯時間獨立的。在任何情況下，拉格朗日函數總是通過廣義坐標具有隱式時間依賴性。
設一系統由個質點組成，各質點的勒內·笛卡爾坐標為系統受到個非完整約束(1)，式中為各質點坐標和時間的函數，或為常數。此外，系統還受到個完整約束(2)，對求導，有(3)，亦可寫成(4)，式中約束(1)式和(2)式在虛位移上所加的條件分別為(5)和(6)，將這些條件與讓·達朗貝爾約瑟夫·拉格朗日原理結合起來考慮，且引入未定乘子作推理可以得到
式中為未定乘子，方程組（7）為約瑟夫·拉格朗日的第一類方程。方程組中是作用于質點上主動力在軸上投影，則分別是非完整約束和完整約京加在質點上的約束力在軸上投影，對軸和軸上的量亦可作類似的解釋。式(7) 有個運動微分方程，可結合(1)、(2)中個約束方程求解，它們總共包含個未知坐標和個未定乘子
考慮一個個質點組成的完整系統，自由度為，廣義坐標為。由于系統是完整的，因此這個廣義坐標的等時變分即廣義虛位移也是完全獨立的。于是由讓·達朗貝爾約瑟夫·拉格朗日原理在廣義坐標下的表達式（8）為（9），可得到（10），（10）式即為拉格朗日第二類方程，式中為系統用各廣義坐標和各廣義速度所表示的系統動能；為對應于的的廣義力。
在拉格朗日量中，位置坐標和速度分量都是自變量，拉格朗日量的偏導數根據通常的導數規則分別取（例如相對于粒子2的速度分量的偏導數，由定義，只是；不需要使用笨拙的鏈規則或總導數來將速度分量與相應的坐標）相關聯。在每個約束方程中，一個坐標是多余的，因為它是根據其他坐標確定的。因此，獨立坐標的數量為。我們可以將每個位置向量轉換為一組通用的個廣義坐標，方便地寫成元組，通過表示每個位置向量，從而將位置坐標表示為廣義坐標和時間的函數，向量是系統配置空間中的一個點，廣義坐標的時間偏導數稱為廣義速度，對于每個粒子，其速度矢量的變換，即其位置相對于時間的總導數為，給定，如果位置向量由于時變約束而顯式依賴于時間，則廣義坐標中的動能取決于廣義速度、廣義坐標和時間，因此。有了這些定義，將拉格朗日方程代入拉格朗日量可得到系統的運動方程。與牛頓力學相比，方程的數量有所減少，從廣義坐標中的到耦合的二階微分方程。這些方程根本不包括約束力，只需要考慮非約束力。
雖然運動方程包括偏導數，但偏導數的結果仍然是粒子位置坐標中的常微分方程。表示為的總時間導數通常涉及隱式微分。這兩個方程在拉格朗日方程中都是線性的，但在坐標中通常是非線性耦合方程。
推導
在分析力學里，有三種方法可以導引出約瑟夫·拉格朗日方程。最原始的方法是使用達朗貝爾原理導引出拉格朗日方程；更進階層面，可以從哈密頓原理推導出拉格朗日方程；最簡明地，可以借用數學變分法的萊昂哈德·歐拉拉格朗日方程來推導。
借用數學變分法來推導
設定函數和:
，其中，是自變量。
若取得局部平穩值，則在區間內，歐拉-拉格朗日方程成立:
在后續的推導過程中，需注意到：變分運算和導數運算差不多，的變分；對變分的時候，與無關；和可以直接交換順序，即；的變分滿足關系：
因此的變分可表示為：
現在，執行下述變換：設定獨立變量為時間、設定函數、設定泛函為拉格朗日量，則可得到拉格朗日方程，
為了滿足變換的正確性，廣義坐標必須互相獨立，所以，系統必須是完整系統。又拉格朗日量是動能減去位勢，而位勢必須是廣義位勢。所以，系統必須是單演系統。
利用達朗貝爾原理推導
達朗貝爾原理表明：對于任何物理系統，所有慣性力或施加的外力，經過符合約束條件的虛位移，所作的虛功的總和為零。即：
（1）
其中為慣性力，,為粒子所受外力，為符合系統約束的虛位移。
設粒子的位置為廣義坐標與時間的函數：（2）
則虛位移可以表示為：（3），粒子的速度可表示為：（4）
取速度對于廣義速度的偏微分：（5）首先轉化方程（1）的加速度項。將方程（3）代入：（6）
應用乘積法則：（7）
注意到的參數為，而速度的參數為，所以，（8）
,（9）
因此，以下關系式成立:（10）
將方程(5)與(10)代入，加速度項成為：
（11），
代入動能表達式(12)
則加速度項與動能的關系為：(13)
然后轉換方程(1)的外力項代入方程(3)得：（14）
其中是廣義力：（15），將方程(13)與(14)代入方程(1)可得：（16）
假設所有的廣義坐標都相互獨立，則所有的廣義坐標的虛位移也都相互獨立。由于這些虛位移都是任意設定的，只有滿足下述方程，才能使方程(16)成立：（17）
這系統的廣義力與廣義位勢之間的關系式為：（18）
代入得：（19）
定義拉格朗日量為動能與勢能之差，可得拉格朗日方程：
設一系統由個質點組成，各質點的勒內·笛卡爾坐標為，系統受到個非完整約束，
式中為各質點坐標和時間的函數，或為常數。此外，系統還受到個完整約束：
對求導后，結合讓·達朗貝爾拉格朗日原理，引入未定乘子，即可得到拉格朗日第一類方程：
利用哈密頓原理推導
力學體系的運動規律的最一般的形式可以由所謂最小作用量原理(或者哈密頓原理)給出。根據這一原理，每一力學體系由一定的函數來描述其特性，而體系的運動滿足下面的條件。假定在和的時刻，體系占有兩個確定的位置，這兩個位置分別有兩組坐標值決定。這時，體系在兩個位置之間按照使積分有最小可能值的方式運動。函數叫做該體系的拉格朗日函數，而積分（1）則叫做作用量。
現在來推導確定積分（1）最小值的微分方程。為了簡化公式書寫，假定體系只有一個自由度，這樣一來，應該決定的只有一個函數了。
假定正巧是使有極小值的函數。那么，以形如（2）的函數代換時，就增大，其中，是在從到整個時間間隔內都很小的函數（它叫做函數的變分）。既然當和時，所有用于比較的函數（2）應該有相同的值，因而應該有（3），以代所引起的的變化由差決定。這個差按和（在被積分式子內）指數的展開式是從一級項開始的，這些項的總和等于零是為極小值的必要條件。這總和叫做積分的第一變分（或通常簡稱為變分）。因此，最小作用量原理可以寫成（4），或者進行變分后為：。
再對第二項實行分部積分，并注意到，得到(5)。但由于條件（3），式中第一項消失，所以，當取任意值的時候，剩下的積分應該等于零。這只有在被積分的式子恒等于零的情況下才是可能的。因此，得到方程。
當具有幾個自由度時，在最小作用量原理中應被獨立地變分個不同的函數。顯然，這時我們將得到個方程(6)，式（6）就是要找的導數方程。
性質
拉格朗日函數是力學體系的一個特性函數，具有可加性、等價性以及其他特性。此外，拉格朗日函數還具有其他性質，如：非唯一性；點變換下的不變性與守恒性，如能量守恒、動量守恒和角動量守恒；能量函數為常數；列夫·達維多維奇·朗道的力學相似性；相互作用和規范對稱性和奇異拉格朗日量等。
一般特性
拉格朗日函數是力學體系的一個特性函數，表征著約束、運動狀態和相互作用等性質。
對于完整約束，在關系中，引用獨立的廣義坐標就可以去掉虛位移，對于非完整約束，即使采用獨立的廣義坐標，廣義虛位移還是不獨立的，不可簡單地去掉，這時需要運用拉格朗日乘子法。考慮到代入（1）并經整理后，即得，但該拉格朗日方程是只有完整約束的力學系統的動力學方程，如果主動力全是勢力（保守力）的情況下，則廣義力可用勢能表示為，于是，拉格朗日方程可改寫成
定義，它為廣義坐標和廣義速度和時間的函數，這完全能確定力學狀態，而表征了力學體系的相互作用。由此看來，拉格朗日函數是表征著約束、運動狀態和相互作用的一個特性函數。
可加性
假定力學系統由和兩部份組成，并且每一部份都是封閉的，因而有各自的拉格朗日函數和，如果這兩個部份之間的距離分開得很遠，以至它們之間的相互作用可以忽略不計時，整個體系的拉格朗日函數可表示為：。
可加性的實質是和兩個部份的相互作用勢可以忽略不計，所以兩個無相互作用部份任一部份的運動方程，都不應包含屬于另一部份的量。此外，拉格朗日函數的可加性，更為重要的是表現為由它所推出的能量可加性，動量可加性，動量矩可加性和質量可加性等。
等價性
兩個拉格朗日函數和，如果僅相差一個坐標與時間的函數對時間的全導數，則這兩個拉格朗日函數等價即：。
其他特性
即函數乘以任意常數，可歸結為選擇質量量度單位的改變，但是當量度單位改變時，不同粒子的質量間的比例關系并沒有改變，因此，粒子的質量才具有實在的物理意義。
拉格朗日函數并不存在任意的不確定性
由于和等價，而是任意的，常數也是任意的，因此我們常說具有任意性。但是，若將，這雖不影響各個部分的約瑟夫·拉格朗日方程，但整個系統的運動方程卻將改變。因此，拉格朗日函數的可加性消除了這種任意的不確定性，于是只能有。這一特性在研究力學的相似時將有十分重要的意義。
非唯一性
非唯一性是指，質點拉格朗日函數不是唯一的，而是存在任意多個等效的拉格朗日函數，這個結論可以推廣到其他復雜的力學系統。即同一力學體系可以用不同的拉格朗日函數描述。
對于一組特定的運動方程，約瑟夫·拉格朗日方程并沒有唯一的選擇。指向給定運動方程的廣義坐標。因此，如果是一個適當的拉格朗日方程，是可微函數和時間的任意廣義坐標，那么也是得到了相同運動方程的拉格朗日函數，除了按照這個處方構造的約瑟夫·拉格朗日函數外，通常還可以找到其他的拉格朗日函數。等式一直是構造保守系統拉格朗日函數的合適方法，它并不提供唯一適合給定系統的拉格朗日函數。
點變換下的不變性
在點變換下具有不變性與守恒性，如拉格朗日系統在Lie點變換下的共形不變性，可通過Lie對稱性找到確定方程中的共形因子。該共形因子也就是系統的共形不變性，同時也是Lie對稱性的充分必要條件。當共形不變性滿足一定條件時，也可導致相應的守恒量。
如果力場是對于點1和點2之間任何物理上可能的路徑功?是相同的，那么力(和系統)就是保守的。保守系統的另一種描述是通過想象粒子被一條可能的路徑從點1帶到點2，然后被另一條路徑返回到點1來得到的。在特定路徑上的獨立性意味著圍繞這樣一個閉合電路所做的功是零，也就是。物理學上很清楚的表示，如果存在摩擦力或其他耗散力，系統就不可能保守，因為由摩擦引起的總是正的，積分不可能消失。根據一個眾所周知的向量分析定理，與質點所經過的物理路徑無關的充分必要條件是，是某個位置標量函數的梯度：。
其中被稱為勢能，或者說勢能。的存在可以通過一個簡單的論證直觀地推斷出來。如果與端點1和2之間的積分路徑無關，那么可以用僅取決于端點位置的量的變化來表示。這個量可以用來表示，因此對于微分路徑長度，我們有一個關系式，或，這個關系式等價于。在中，我們可以把空間中的任何數量常數加到而不影響結果。因此，拉格朗日方程具有點變換下的不變性。
能量函數為常數
由于時間的均勻性，封閉系統的拉格朗日函數將不直接依賴時間，則有，
用來代替，則可得
這個量是體系的一個運動積分，在封閉體系的運動期間內保持不變，且被稱為體系的能量。換言之，假若拉格朗日量顯性地與時間無關，則能量函數是個常數。
守恒律
由拉格朗日函數以時間均勻性、空間均勻性和空間各向同性的性質，能導出能量守恒、動量守恒和角動量守恒。能量守恒是指于不論在封閉系統，還是對于處在不變的外場（不依賴于時間）之中，體系的能量都是守恒的；動量守恒是指當封閉體系作為一個整體在空間平行移動時，它的力學性質不變，即當矢徑有一個無窮小的移動時，和對應的拉氏函數不變；角動量守恒是指當封閉體系整體在空間以任意方式轉動時，體系的力學性質不變。
朗道的力學相似性
朗道的力學相似性是指拉格朗日函數乘以任意常數不會改變運動方程。在一些重要情況下，利用這一點，無需實際求解運動方程就可以得到有關運動性質的一些有用結論。
相互作用和規范對稱性
相互作用和規范對稱性是指，在規范場理論下，它要求所采用的拉格朗日量具有特殊的規范對稱性。重要的是，這種對稱性的要求“自然”導致相互作用的引入，因此，人們把這種理論稱為相互作用的規范理論，規范性也成了理論合理性的一個重要標志。
奇異拉格朗日量
經典力學的教科書處理通常假設拉格朗日量是非奇異的；也就是說，拉格朗日量關于速度的二階導數矩陣是可逆的。該假設確保：(i)拉格朗日方程可以求解作為坐標和速度函數的加速度，(ii)可以反轉共軛動量的定義以求解作為坐標和動量函數的速度。然而，這個假設是不必要的限制——存在具有奇異拉格朗日量的有趣的經典動力系統。
示例
在應用第二類拉格朗日方程處理無初速釋放動力學問題時，設個質點的質點系，完整雙面定常約束，自由度為，廣義坐標為，則第i個質點的位置矢可表示為：
其速度為
系統的動能為
系統的動能可表示為（1）
代入第二類拉格朗日方程，得（2）
其中，為相應于廣義坐標的廣義力。
對無速釋放的動力學問題，當，，，其中為初瞬時的廣義加速度，為系統初始位置時的動能廣義速度二次項的系數，為系統初始位置時對應的廣義力，式（2）成為（3），即為所要求的公式。
為了便于記憶和應用式(3)，假想系統初瞬時的廣義速度分別為，，此時系統的動能為（4），其中，為系統在初始位置時動能廣義速度二次項系數。
=
顯然，因此式（3）可形象地記憶為把初瞬時的形式動能式（4）代入第二類拉式方程得到。
例
均質細桿的質量，長度，均質等邊三角形薄板的質量為，對垂直板面的質心的回轉半徑；柔繩的質量不計。若系統于圖示位置無初速度釋放（邊處于水平位置，如下圖所示），不計較鏈摩擦，試求桿和三角板薄板的角加速度。
解：這是單自由度系統，取廣義坐標為。三角形薄板的轉角為，如下圖所示：
由點的速度條件，得
系統的動能為
下面求初瞬時的廣義力。給系統一虛位移，則
，顯然。
應用
拉格朗日方程在物理學的其他領域有許多應用，如：利用含多余廣義坐標的拉格朗日方程，可以求解得到一類平面雙線擺的微幅振動頻率的顯式計算公式，相比較于傳統的拉格朗日乘數法，該方法更適合于對動力系統的動力學行為進行定性分析；哈密頓（W.R.Hamiton，1805-1865）在拉格朗日方法基礎上，對系統動力學特征進行更深入研究之后提出哈密頓力學；拉格朗日的表述可以用廣義動量來表示。拉格朗日方程還可以應用于幾何光學，如給出了物空間和像空間在近軸區的各共軛量間關系的拉式不變量，用于研究折射面成像的約瑟夫·拉格朗日赫爾曼·馮·亥姆霍茲不變量等；在量子物理范疇，可應用于量子場論中場方程的建立；在流體力學中，可基于拉格朗日粒子方法追蹤運動界面。
1948年，理查德·費曼將最小作用量原理應用到量子力學中,?提出了費曼路徑積分方法，該方法是費曼從路徑積分和經典作用量的角度來處理問題，將時間分割為許多小時間段，以經典拉格朗日量作為相位的傳播算子，將所有到達的路徑貢獻疊加能得到波函數。
推廣
廣義勢
已知，有勢力可由標量函數表示，且是坐標和時間的函數，現考慮另一類有勢力，它的勢函數不僅是坐標和時間的函數，而且還與速度有關。那么對于只受對應普通勢和廣義勢的有勢力作用的體系，其方程仍取的形式，但這時的拉氏函數為。如果中不顯含時間，存在以下形式的廣義能量積分：此時體系稱之為廣義保守體系。
耗散函數
瑞利耗散函數，在廣義坐標中，與阻尼力存在對應的廣義力，那么，對于既有有勢力作用，又有阻尼力作用的理想、完整體系，拉格朗日方程為，于是要想確定體系的運動方程，得預先確定兩個標量函數，而，于是瑞利耗散函數可解釋為：等于阻尼力引起體系能量耗散率的相關數量關系。
電磁場中大質量帶電粒子的拉格朗日量
設拉格朗日函數為，作用量為。非相對論力學的運動方程由最小作用原理，即極值條件確定。根據狹義相對論的相對性原理，作用量應是不變的量，即（式1），（式2）是固有時間間隔，，因此必須是不變量。與粒子運動狀態有關的量是四維速度、電磁場張量或四維勢直接與運動速度有關，與粒子在外場受力有關，有這些量構成的亨德里克·洛倫茲不變量只可能是。
設（式3），
所以（式4），
將（式1）做展開，第一項（式5），
取，得（式6），
如果無外場，（式3）為，其中，是與速度有關的項，（式6）為自由電磁場的拉格朗日函數。當時，只取展開式的前兩項，它退化為，又拉氏函數中，常數項沒有意義，因為它對運動方程無貢獻，只須取拉氏函數為，常數可以取為電荷，由（式3）可知：它恰是時的靜電場的勢能。因此最后得到的拉格朗日函數為（式7）。當時，（式7）退化為非相對論的拉格朗日函數：。
影響
拉格朗日方程的建立奠定了分析力學基礎，標志著從牛頓力學借用圖形和運用形象思維處理力學問題的幾何方法向不用圖形而運用概括性的抽象思維處理力學間題的分析方法過渡的完成，實現了力學理論的巨大飛躍。數學家哈密頓把它稱為“科學的詩篇”，恩斯特·馬赫評價它把分析力學提到了發展的最高階段。從歷史上看，拉格朗日方程更為重要的是，首次顯示了能守恒是方程的必然結果，并就此可以推導出最小作用原理。
拉格朗日方程作為自然界中能量系統普適性方程之一，既吸收了動能定理引進能量函數的優點，又繼承了廣義坐標中質系動力學微分方程組的全部優點，成為動力學分析中被廣泛應用的重要理論基礎，在宏觀世界和微觀世界都得到了有效應用。
參考資料 >
分析力學筆記.復旦大學物理教學實驗中心.2024-05-16
拉格朗日函數的非唯一性.中國大百科全書.2024-04-23
相互作用.北京大學.2024-04-23