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牛頓第二運動定律（Newton's second law of motion），又稱為加速度定律，是經(jīng)典力學中的一個核心理論，描述了質點在外力的作用下，其動量隨時間的變化率同該質點所受的外力成正比，并且與外力的方向相同。其內核是動量的變化與沖量成同向正比，具體而言，物體所受到的外力等于動量對時間的一階偏導數(shù)(一次微分值)。當物體在運動中質量不變時，牛頓第二定律也可以用質量與加速度的乘積表示。牛頓第二運動定律有其局限性，僅適用于慣性坐標系下宏觀低速運動的物體。微觀物體應當用量子力學描述，高速物體應用相對論描述。

牛頓第二定律表明，物體所受到的外力等于其質量乘以加速度，可以用數(shù)學表達為力等于質量乘以加速度（F = ma）。這一定律強調了外力對物體運動狀態(tài)的影響，為解釋自然現(xiàn)象、預測實驗結果以及推動科學進步提供了重要理論基礎。

牛頓第二定律最早由英國物理學家艾薩克·牛頓在其重要著作《自然哲學的數(shù)學原理》中于1687年提出。這個定律是牛頓運動定律的三條之一，其他兩條是牛頓第一定律和牛頓第三運動定律。牛頓第二定律的出現(xiàn)標志著經(jīng)典力學的誕生，它的影響不僅限于物理學領域，還對西方哲學思想與文明的發(fā)展產生了深遠影響。

牛頓第二定律在實際應用中具有廣泛重要性，它被用于物理、汽車工程、航空工程、航天工程、電子學和電機工程學等多個領域，它可以用來設計高樓大廈的結構以確保其穩(wěn)定性，還可以計算火箭的運動軌跡，實現(xiàn)從地球到其他天體的太空探測任務。這一定律為物體的運動行為提供了可靠的定量描述，因此在科學研究和工程設計中具有不可替代的地位。

定義

牛頓對牛頓第二運動定律的原始表述

牛頓第二定律表明，物體的運動變化與受力成正比，并且方向指向力的方向，施加于物體的外力等于此物體動量的時變率：

其中，p是動量，t是時間。

由于動量等于質量乘以速度，所以，假若質量不變，則可得到加速度形式的牛頓第二定律，假若質量隨著時間流易而改變，則該系統(tǒng)為可變質量系統(tǒng)，必須將時變質量納入考量，更多內容，請參閱可變質量系統(tǒng)。

加速度形式的牛頓第二定律

當運動中的物體質量不變時，牛頓第二定律可以表述為：物體所受到的外力等于質量與加速度的乘積，而加速度與外力同方向，作用在物體上的各個外力遵循矢量疊加法則，因此合力的方向決定了物體加速度的方向，進而影響其運動狀態(tài)的變化方向。以方程表達

其中，F(xiàn)是外力，m是質量，a是加速度。

按照第二定律，設定物體的質量不變，則物體的加速度與所受到的外力成正比，設定物體所受到的外力不變，則物體的加速度與質量成反比。

假設施加外力于某物體，則由于該物體的加速度只與外力、質量有關，在任何狀況下，質量不變的物體都會表現(xiàn)出同樣的加速度：

牛頓的論述

原版第二定律的英文翻譯為：

“motion”是“quantity of motion”的簡稱，在這里指的是物體的動量。“impressed force”指的是沖量。整個句子翻譯為：

牛頓對于動量與沖量彼此之間的關系的作解釋：“假設施加于物體的沖量造成了物體的動量改變，則雙倍的沖量會造成雙倍的動量改變，三倍的沖量會造成三倍的動量改變，不論沖量是全部同時施加，還是一部分一部分慢慢地施加，所造成的動量改變都一樣。

動量改變與原先動量之間的關系：這動量改變必定與施加的沖量同方向。假設在沖量施加之前，物體已具有某動量，則這動量改變會與原先動量相加或相減，依它們是同方向還是反方向而定，假設動量改變與原先動量呈某角度，則最終動量是兩者按著角度合成的結果。”

艾薩克·牛頓所使用的術語的涵義、他對于第二定律的認知、他想要第二定律如何被眾學者認知、以及牛頓表述與現(xiàn)代表述之間的關系，科學歷史學者對于這些論題都已經(jīng)做過廣泛地研究與討論。

適用范圍

牛頓第二運動定律的隱含假定：質量守恒

質量守恒，又被稱為“牛頓第零運動定律”。牛頓并沒有直接地提出這定律。第零運動定律表明，物體的質量守恒，與速度無關，與物體的受力無關．當幾個物體相互作用時，或許會有質量從一個物體轉移到另一個物體，但總質量不變。

牛頓第二運動定律只適用于質點

對質點系，用牛頓第二運動定律時一般采用隔離法，或者采用質點系牛頓第二定律。

牛頓第二運動定律只適用于慣性參考系

慣性參考系是指牛頓運動定律成立的參考系，在非慣性參考系中牛頓第二運動定律不適用。在慣性參考系中，若要知道物體在某一時刻的加速度，則必須從某個靜止物體（或呈勻速直線運動的物體）測量物體隨著時間的流易而改變的位移，而在外力為零的前提下，這個靜止物體（或呈勻速直線運動的物體）必須保持運動狀態(tài)不變，這意味著必須從慣性參考系來測量整個物理系統(tǒng)。因此，牛頓第二定律已事先假設，物體的加速度是從慣性參考系測量到的數(shù)值。但是，通過慣性力的引入。可以使牛頓第二運動定律的表示形式在非慣性系中使用。

牛頓第二運動定律只適用宏觀問題

解決微觀問題在部分情況下需要參考量子力學。當考察物體的運動線度可以和該物體的物質波相比擬時，由于粒子運動不確定性關系式（即無法同時準確測定粒子運動的方向與速度），物體的動量和位置已經(jīng)是不能同時準確獲知的量了，因而牛頓動力學方程缺少準確的初始條件無法求解。也就是說經(jīng)典的描述方法由于粒子運動不確定性關系式已經(jīng)失效或者需要修改。量子力學用希爾伯特空間中的態(tài)矢概念代替位置和動量（或速度）的概念（即波函數(shù)）來描述物體的狀態(tài)，用薛定諤方程代替牛頓動力學方程（即含有力場具體形式的牛頓第二運動定律）。用態(tài)矢代替位置和動量的原因是由于不確定性原理我們無法同時知道位置和動量的準確信息，但是我們可以知道位置和動量的概率分布，測不準原理對測量精度的限制就在于兩者的概率分布上有一個確定的關系。

牛頓第二運動定律只適用低速問題

當速度高到一定程度時，由于相對論的影響，牛頓第二運動定律有時候并不能解決問題。由于牛頓動力學方程不是亨德里克·洛倫茲協(xié)變的，因而不能和狹義相對論相容，因此當物體做高速移動時需要修改力、速度等力學變量的定義，使動力學方程能夠滿足洛倫茲協(xié)變的要求，在物理預言上也會隨速度接近光速而與經(jīng)典力學有不同。

有關性質

決定性

牛頓第二定律是一種決定性定律。假定物體的質量、初始位置與初始速度為已知量，則從施加于物體的外力，可以應用牛頓第二定律來計算出物體在其運動軌跡的任意時間的位置與速度。

瞬時性

當物體（質量一定）所受外力發(fā)生突然變化時，作為由力決定的加速度的大小和方向也要同時發(fā)生突變；當合外力為零時，加速度同時為零，加速度與合外力保持對應關系。力和加速度同時產生、同時變化、同時消失。牛頓第二定律是一個瞬時對應的規(guī)律，表明了力的瞬間效應，加速度只有在外力作用時才產生。生活中的例子：當你用力推動一輛停在路上的自行車，自行車會立即加速。然后，你停止施加力，自行車將立即減速并最終停下來。

矢量性

力和加速度都是矢量，物體加速度方向由物體所受合外力的方向決定。牛頓第二定律數(shù)學表達式中，等號不僅表示左右兩邊數(shù)值相等，也表示方向一致，即物體加速度方向與所受合外力方向相同。生活中的例子：一輛汽車在道路上行駛時，同時受到引擎產生的驅動力、摩擦力和空氣阻力等多個力的影響。這些力的方向和大小決定了汽車的總加速度和運動方向。

疊加性（力的獨立性原理）

什么方向的力只產生什么方向的加速度，而與其他方向的受力及運動無關。牛頓第二定律中的F可以是單個的力，也可以是這些力的向量和。生活中的例子：在斜面上放置一個物體，它可能同時受到重力、摩擦力和斜面支持力等多個力的作用。通過將這些力分解成沿斜面和垂直斜面的分量，可以計算物體的加速度和滑動方向。

因果性

力是改變物體運動狀態(tài)的原因，質量大的物體的運動狀態(tài)不容易改變。加速度是力的作用效果，所以力是改變物體運動狀態(tài)的原因。人教版高中物理必修一書中設定了相關證明實驗，用槽碼牽引小車運動，直觀地證明了這一點，在槽碼勾放到小車之前，小車靜止。

等值不等質性

雖然力的大小與方向等于物體質量與加速度大小的成績數(shù)值和方向，但是物體質量與加速度的乘積并不表示力，而是反應物體狀態(tài)變化情況的。雖然物體的質量等于力與物體加速度的比值，但這只是度量物體質量大小的計算式，物體的質量與其受力和加速度無關。

研究歷史

伽利略指出（注：伽利略于1642年去世，其相關論述實際形成于生前）：“以任何速度運動著的物體，只要除去加速或減速的外因，此速度就可以保持不變。”然而笛卡兒沒有建立起他試圖建立的那種能演繹出各種自然現(xiàn)象的體系，不過他的思想對牛頓對此類定律之后的總結產生了一定的影響。笛卡爾認為，在沒有外加作用時，粒子或者勻速運動，或者靜止。艾薩克·牛頓把這一假定作為他的第一定律，并將伽利略的思想進一步推廣到有力作用的場合，提出了他的第二定律。

約在1684年11月的《論物體的運動》手稿的第5節(jié)中，牛頓寫道：“加速的量或力與既定時間內產生的速度成比例···運動的量或力與在既定時間內產生的運動成比例，像重物的力在較大的物體中較大，在較小的物體中較小。所以運動的力與加速的力之比和運動與速度之比一樣，因為運動量是由速度乘以運動的物體，而加速力的量是由加速的力乘以同一物體得出的。”這是艾薩克·牛頓第一次在手稿中提出F=ma的文字表述。

17 世紀英國著名的天文學家埃德蒙多·哈雷（Edmond Halley）說服牛頓，將20年前就已開始思考的引力問題最終成熟、完善。全力促成牛頓《自然哲學的數(shù)學原理》的出版。在哈雷的勸說與鼓舞下，自1684年8月后，牛頓專心于《自然哲學的數(shù)學原理》的寫作，他對自己的手稿進行系統(tǒng)的整理，并對有些問題重新考慮。到1685年11月，九頁的論文已變成了兩卷專著。哈雷擔任了《自然哲學的數(shù)學原理》的出版工作。1687年7月5日，《自然哲學的數(shù)學原理》使用拉丁文出版問世了。

艾薩克·牛頓三大定律的表述基本上采用的是牛頓在總結前人基礎上，發(fā)表于1687年《自然哲學的數(shù)學原理》上的表述。方程f=ma在牛頓的名著《自然哲學的數(shù)學原理》中從未出現(xiàn)過。原文翻譯如下：第二運動定律運動的變化與所加的動力成正比，并且發(fā)生在這力所沿的直線的方向上。

進階論述

任何物理定律都必須具有可證偽性，即必須能夠對于物理定律做實驗證實是否正確。為了要明確牛頓第二定律是否具有可證偽性，必須對于加速度、力與質量做測量。測量加速度很簡單，加速度是速度的時間變率，只要能測得速度改變與時間間隔，則可計算出加速度。然而，怎樣測量力與質量，力與質量的定義為何，怎樣在定義里給出物理量的量度程序？

在對于質量與力給出定義后，按照這些定義里的定量描述來測量物體的質量與物體的受力，再加上從觀測物體的運動得到的加速度，就可以很容易地檢試牛頓第二定律的正確性。

力的定義

很多常用教科書對于力的定義不盡人意。在大衛(wèi)·哈勒代（David Halliday）與羅伯特·瑞思尼克（Robert Resnick）著作的教科書基礎物理學里，力被定義為造成物體加速的作用。類似地，在大學物理教科書里，力也被定義為兩個物體之間或物體與環(huán)境之間的作用。但是，它們都沒有對于“作用”給出解釋。保羅·提泊羅（Paul Tipler）在《科學家與工程師的物理》教科書里，將力定義為造成物體改變速度的影響。那么，“影響”又是什么呢？在道格拉斯·基安可理（Douglass Giancoli）撰寫的教科書里，力的定義是可以直覺地被人們體驗為對于物體的“推”或“拉”。可是，作者并未進一步解釋推或拉怎樣改變物體的運動狀態(tài)。這些概念性定義都無法對于力這基礎術語用更為基礎的概念來表達。

古斯塔夫·基爾霍夫（Gustav Robert Kirchhoff）首先提議，將力定義為質量與加速度的乘積。按照這提議，第二定律只是一個數(shù)學定義式，而不是自然定律。假若第二定律只是一個數(shù)學定義式，則它在物理學里毫無用處，因為無法從數(shù)學定義式對于大自然給出任何預測。整個經(jīng)典力學會變成一種公理化理論，所有結論都是源自于這個定義，而不是源自于從做實驗推斷出的“自然定律”。實際而言，這提議沒有將在大自然里各種各樣的力，像彈力、引力、電磁力等，納入考量，它忽略了每一種力的獨特性質，例如，每一種力都有它的物質源。假若要將實際物理引入這公理化理論，則必須檢試對于力的定義所推導出的結果是否符合實際物理，只有符合實際物理的定義才可被采納，換句話說，從對于力的定義所推導出的結果必須符合實驗的檢試，否則不能被采納。

有些學者主張使用操作定義的方法來對于力給出嚴格定義，假設兩條同樣的彈簧被延伸同樣的距離，其各自產生的“彈力”（一種物理現(xiàn)象）相等，則將這兩條彈簧并聯(lián)，可以制成兩倍的彈力，又將一物體的兩邊分別連接這兩條彈簧的末端，使彈力方向相反，則作用于物體的合力為零，物體的運動狀態(tài)不會改變。為了對于彈力給出定量描述，設定“標準單位力”為某特定彈簧延伸特定距離所產生的彈力。稱這特定彈簧為“標準彈簧”。任意整數(shù)倍的標準單位力都可以用幾條標準彈簧所組成的系統(tǒng)來實現(xiàn)，對于標準單位力的任意分數(shù)倍，可以應用阿基米德的杠桿原理來實現(xiàn)。彈簧系統(tǒng)可以用來做測量實驗，對于任意力做比較，給出它的測量值。例如，假設懸掛于兩條標準彈簧的一個物體，正好能夠將這兩條標準彈簧延伸特定距離，則這物體的重量等于兩個標準單位力。

質量的定義

雖然質量在物理學教育里占有中心地位，人們并不很清楚質量的概念，很多教科書對于質量的定義也不甚令人滿意，它們都有一些重大瑕。這些定義所涉及到的困難，大部分出現(xiàn)于將經(jīng)典描述融入現(xiàn)代描述的后果之中，而且清楚地在廣義相對論、量子色動力學、強相互作用理論等等現(xiàn)代理論里顯現(xiàn)出來。

物質數(shù)量

有一種可以追溯到中世紀的定義將質量設定為物體內部所含有的物質數(shù)量。這也是艾薩克·牛頓在他的巨著《自然哲學的數(shù)學原理》里對于質量給出的定義，按照這定義，質量可以從物體的密度與體積乘積求得。德國物理學者恩斯特·馬赫對這定義給出嚴厲批評，他認為這定義觸犯了循環(huán)推理，因為密度的定義是每單位體積的質量。

從測量的角度來看，牛頓并沒有給出任何測量密度的方法，所以，也沒有給出測量質量的方法。牛頓不能對于質量與密度同時給出定義，因此，質量并未被嚴格定義。但是，牛頓的想法并不是這樣，他把物體視為由很多微小的基本粒子均勻組成的聚集體，他認為這聚集體的結構是更為基礎的概念，在計算物體的質量時，他會數(shù)算物體的小粒子數(shù)量，這數(shù)量乘以每個基本粒子的質量就是物體的質量。因此，只要設定某參考物體S的質量為標準質量，這參考物體S可以是石頭、金塊或鐵塊．那么，n個物體S的質量必定是這標準單位質量的n倍。

慣性質量

另一種定義是基于慣性的概念。在這定義里，質量被用來量度物體對于改變它的運動狀態(tài)的抗拒能力。因此被稱為“慣性質量”。然而，不管這定義是如何真確，它并沒有給出量度質量的方法，人們無法直接估算物體的質量數(shù)值，因此，這定義似乎更像是一種形而上學定義。

回溯在經(jīng)典力學里，假設使用一條先前論述的標準彈簧，施加一個標準單位力F0于某物體，則可從測量這物體隨著時間流易而呈現(xiàn)出的速度，估算出這物體的加速度，標記其為a0。繼續(xù)做實驗，假設施加兩個標準單位力2F0于這物體，則可從測得這物體的加速度為2a0。類似地做實驗，施加彈力F于這物體，然后測量這物體的加速度a，可以得到力與加速度彼此之間的關系式:

其中，k是比例常數(shù)。

辨識這比例常數(shù)為慣性質量，則可察覺這關系式就是牛頓第二定律的方程。

馬赫的質量定義

由于上述兩種概念性定義的種種缺點，學者們常會使用操作性定義來給出定量描述，這種定義追溯至恩斯特·馬赫對于質量定義的原創(chuàng)研究。馬赫的定義只使用到運動學概念，完全不需涉及到力的概念。

假設在宇宙里的兩個物體A、B離其它物體非常遙遠，因此這兩個物體可以被視為處于一個孤立系統(tǒng)。從某個慣性系統(tǒng)觀察，這兩個物體因相互影響而使得他們各自呈現(xiàn)的加速度分別為aAB、aBA。從所有完成的關于這類系統(tǒng)的實驗總結，它們的加速度的方向相反，而比率可以用“加速度比率公式”來表達為

其中，KBA是標量常數(shù)。

標量常數(shù)KBA的恒定不變可以被視為力學的一條基礎定律，其為從做實驗獲得的結果。恩斯特·馬赫特別為此提出“實驗命題”：在實驗物理學設定的狀況下，兩個物體引發(fā)對方沿著彼此連線各自呈現(xiàn)相反的加速度方向，而加速度的比率為常數(shù)，并且與物體的物理狀態(tài)無關。

設想另一個物體C，由于物體C與A、C與B彼此之間的相互作用，按照第一實驗命題，

從做多個實驗獲得的另一個重要結果可以用“標量常數(shù)公式”來表達為

因此，可以得到關系式

這關系式顯示出，選擇物體A為標準物體，那么，每一個其它物體都會伴隨著一個常數(shù)，任何與該物體相互作用的物體都無法改變這常數(shù)。常數(shù)KBA可以被稱為物體B的質量，相對于物體A。由于物體A是參考物體，常數(shù)KBA可以被簡稱為物體B的質量mB。這樣，關系式可以被改寫為“質量-加速度關系式”

這質量定義的適用范圍很廣泛，例如，當兩個物體A、B被連結于一條理想彈簧的兩端時，它們彼此之間的相互作用為彈力，先將彈簧壓縮，然后放松，從測量它們因此動作而出現(xiàn)的加速度，可以按照加速度比率公式計算出標量常數(shù)KBA。再舉一個例子，當兩個物體A、B在進行約翰尼斯·開普勒二體運動時，它們彼此之間的相互作用為引力，從測量它們進行軌道運動時的加速度，可以計算出標量常數(shù)KBA。對于這些案例，前面列出的加速度比率公式與標量常數(shù)公式都成立。這質量定義能夠給出一種用來比較質量的方法，其為這樣做質量定義的重要目的。

注意到質量-加速度關系式展示出，當兩個物體相互作用時，兩個粒子的質量與加速度大小的乘積相等，并且這乘積與兩個物體的相對位置、相對速度或時間有關。將力定義為質量與加速度大小的乘積：

這就是牛頓第二定律。

將力的定義式代入質量-加速度關系式，就可以得到牛頓第三運動定律：當兩個物體相互作用時，彼此施加于對方的力，其大小相等、方向相反，

實驗驗證

牛頓第二運動定律實驗是物理中的一個很基礎、必要的驗證性實驗，涉及到檢驗一個物理定律或規(guī)律的基本途徑和方法，因此對于其實驗精度往往有特殊的要求。

牛頓第二運動定律驗證實驗，就是測量在不同的作用下運動系統(tǒng)的加速度，并檢驗二者之間是否符合上述關系。

利用現(xiàn)代的實驗教學設施改進和補充原來的實驗手段，更能體現(xiàn)出物理學的科學素養(yǎng)和科學態(tài)度。

1983年，莫德采·米爾格若姆提出的修正牛頓動力學理論表明，由于星系自轉問題，即被觀測到的在星系里恒星的速度大于牛頓力學的預測速度，牛頓萬有引力定律或牛頓第二定律可能需要修正。[26]除了暗物質理論以外，修正艾薩克·牛頓動力學理論也可以用來解釋星系自轉問題。這理論的適用區(qū)域大約在加速度為a0210-10m/s2的數(shù)量級。為了符合天文物理學數(shù)據(jù)，這理論將牛頓第二定律修改為

其中，（a/a0）是個函數(shù)，其符合以下兩個條件：

一般而言，在各種物理案例中，很少會遇到這么微小的加速度，然而，假若修正牛頓動力學理論確實被證實，則整個經(jīng)典力學與廣義相對論都需要被修改。因此，驗證修正牛頓動力學理論是很重要的實驗研究論題。

1986年，使用干涉儀測量擺質量的加速度對于時變電場的響應，物理學者證實，在加速度為310-11m/s2的狀況下，牛頓第二定律仍舊有效。2007年，使用扭擺來表現(xiàn)對于時變電場的響應，實驗證實，在加速度為510-14m/s2的狀況下，牛頓第二定律正確無誤。2011年，物理學者做實驗測量微波共振器對于引力作用的響應，但并未在加速度為10-10m/s2的狀況下找到任何偏差。2014年，使用紐秤來量度引力引起的加速度，物理學者在加速度為10-12m/s2的狀況下仍未發(fā)現(xiàn)任何偏差。

應用

物理

沖量概念的推導

假設施加外力F于某物體的時間有那么久，則沖量J于此物體：

根據(jù)現(xiàn)代的第二定律，

經(jīng)過，假定質量不變，動量P的改變?yōu)?/p>

所以通過上式可得，沖量與動量之間的關系為

這就是原版第二定律。

沖量的概念時常被用來分析碰撞與撞擊問題。

可變質量系統(tǒng)

火箭的燃料經(jīng)過燃燒以后，會產生高溫高壓氣體，經(jīng)過加速排氣到外界，就可以推動火箭前進。第二定律不能直接應用于這種可變質量系統(tǒng)。基本而言，第二定律只能應用于單獨粒子（或理想化為粒子的物體），其質量守恒。對于多粒子系統(tǒng)案例，必需將第二定律加以延伸為

其中，F(xiàn)ext是施加于系統(tǒng)的合外力，P是系統(tǒng)的動量，M是系統(tǒng)的總質量，vcm是系統(tǒng)質心的速度。假設合外力Fext為零，則動量守恒，即最初動量Pi等于最終動量Pf。

假設在時間t+dt之間，火箭的質量從m變?yōu)閙+dm，即質量為-dm的燃料被燃燒與被排出，燃料排出時的速度為U，火箭的速度從v變?yōu)関+dv，那么，動量守恒方程可以寫為

注意到火箭速度v與燃料速度U都是從發(fā)射臺參考系觀測到的速度。那么，相對于火箭參考系，燃料排出的相對速度vrel為

經(jīng)過一番運算，可以得到

對于像火箭一類的可變質量系統(tǒng)，必需將第二定律的方程添加一個項目，這項目專門計算進入或離開火箭的質量所帶有的動量

其中，F(xiàn)ext是施加于火箭的外力，例如地球施加于火箭的重力。

火箭的推力定義為

將這定義式代入，可以得到

其中，F(xiàn)=FextF*t是外力與推力的向量和。

汽車工程

車輛加速和動力學

汽車制造商使用牛頓第二定律來計算引擎所需的力以及所能提供的加速度，這有助于確定汽車的性能特征。例如我們設V0為一段時間開始時刻的起始速度，Vt為一段時間結束時刻的末速度，我們在一段時間t之內希望汽車得到這樣的速度變化就可以通過力學公式Vt＝V0+at，求解出所需要的加速度大小。又已知汽車的總質量m在一定范圍之內，我們就可以通過牛頓第二運動定律的公式F=ma，得到引擎所需要產生的力。