概率分布，是指用于表述隨機變量取值的概率規律。事件的概率表示了一次試驗中某一個結果發生的可能性大小。若要全面了解試驗，則必須知道試驗的全部可能結果及各種可能結果發生的概率，即隨機試驗的概率分布。如果試驗結果用變量X的取值來表示，則隨機試驗的概率分布就是隨機變量的概率分布，即隨機變量的可能取值及取得對應值的概率。根據隨機變量所屬類型的不同，概率分布取不同的表現形式。
簡介
概率分布律[law of probability 廣義函數]簡稱概率律或概率分布。上描述隨機變量取值規律的概率測度。假定 是概率空間 上的隨機變量則由
所定義的 上的集函數 F 是一個概率測度，稱為隨機交量 的概率分布律。對于任何 隨機變量 落入B中的概率可通過計算B 的測度 得出這就是說概率分布F 完全刻畫了 取值的概率規律。
正態分布
正態分布是一種很重要的連續型隨機變量的概率分布。生物現象中有許多變量是服從或近似服從正態分布的，如家畜的體長、體重、產奶量、產毛量、血紅蛋白含量、血糖含量等。許多統計分析方法都是以正態分布為基礎的。此外，還有不少隨機變量的概率分布在一定條件下以正態分布為其極限分布。因此在統計學中，正態分布無論在理論研究上還是實際應用中，均占有重要的地位。關于正態分布的概率計算，我們先從標準正態分布著手。這是因為，一方面標準正態分布在正態分布中形式最簡單，而且任意正態分布都可化為標準正態分布來計算；另一方面，人們已經根據標準正態分布的分布函數編制成正態分布表以供直接查用。
分布函數的性質
對于特定的隨機變量X，其分布函數FX是單調不減及右連續，而且FX(-∞)=0，FX(∞)=1。這些性質反過來也描述了所有可能成為分布函數的函數：設F:[-∞,∞]→[0,1],F(-∞)=0,F(∞)=1且單調不減、右連續，則存在概率空間(Ω,F,P)及其上的隨機變量X，使得F是X的分布函數，即FX=F。
隨機變量的分布
設P為概率測度，X為隨機變量，則函數F(x)=P(X≤x),(x∈R)稱為X的概率分布函數。如果將X看成是數軸上的隨機點的坐標，那么，分布函數F(x)在x處的函數值就表示X落在區間(-∞,x]上的概率。例如，設隨機變量X為擲兩次子所得的點數差，而整個樣本空間由36個元素組成。其分布函數是：F(x)={0,x<0; 6/36,x<1; 16/36,x<2; 24/36,x<3; 30/36,x<4; 34/36,x<5; 1,x≤5}。
離散概率分布族
離散概率分布指的是隨機變量取值為離散集合時的概率分布，例如只取整數值的隨機變量。離散概率分布的一個重要特征是其分布函數的值域是離散的。如果隨機變量X的取值只有有限或可數無限多個，比如x1 二項式分布 二項分布是離散概率分布中最重要的一種，由瑞士數學家雅各布·伯努利發展。它適用于每次試驗只有兩種可能結果的情況，且每次試驗是獨立的。二項分布的概率質量函數為f(n,k,p)={n \choose k}p^k(1-p)^(n-k)，其中p是單次試驗中成功的概率。二項分布的期望值為E(X)=np，方差為var(X)=np(1-p)。 超幾何分布 超幾何分布適用于不放回抽樣的情況。在一個容器中有N個球，其中M個黑球，(N-M)個紅球，超幾何分布的概率質量函數為f(k,n;M;N)={M \choose k}{N-M \choose n-k}/{N \choose n}，用以計算抽出n個球中有k個黑球的概率。 泊松分布 泊松分布是二項分布的一種極限形式，適用于事件發生概率很小而試驗次數很大的情況。泊松分布的概率質量函數為f(n,k,p)=(n*p)^k/(e^(n*p)*k!)，其中e是自然對數的底數。泊松分布常用于計算稀有事件的概率，如某時間段內發生某事件的次數。 連續概率分布涉及隨機變量取值為連續集合時的概率分布。如果連續隨機變量X具有分布函數F，且F的一階導數處處存在，則其導函數f(x)=dF(x)/dx稱為X的概率密度函數。概率密度函數的性質包括∫(?∞,∞)f(x)dx=1和∫(a,b)f(x)dx=P(a≤X≤b)=F(b)?F(a)。連續概率分布的常見類型包括正態分布、指數分布、t分布、F分布和χ2分布等。 正態分布 正態分布是連續概率分布中最著名的一種，其概率密度函數為f(x)=(1/(σ√(2π)))e^(-1/2((x?μ)/σ)^2)，其中μ是平均值，σ是標準差。正態分布的曲線呈對稱鐘形，因此又被稱為鐘形曲線。正態分布在統計學中有廣泛的應用，許多自然和社會現象的分布都近似于正態分布。正態分布的累積分布函數為F(x)=(1/(σ√(2π)))∫(?∞,x)e^(-1/2((t?μ)/σ)^2)dt。標準正態分布是μ=0和σ=1的特殊情況，其累積分布函數為Φ(z)=(1/√(2π))∫(?∞,z)e^(-1/2t^2)dt。通過z變換z=(x?μ)/σ，可以將任意正態分布轉換為標準正態分布進行計算。 正態分布與二項分布的關系 當二項分布的試驗次數n很大，且單次試驗的成功概率p不是很小時，正態分布可以用來近似二項分布。近似的規則是n*p*(1-p)≥9。從二項分布中獲得μ和σ的方法是μ=n*p，σ=√(n*p*(1-p))。如果σ>3，則需要使用連續性修正，即P(x1≤X≤x2)≈Φ((x2+0.5?μ)/σ)?Φ((x1?0.5?μ)/σ)。這種修正有助于在σ值較大時獲得更精確的近似值。 參考資料 >連續概率分布族