橢圓函數(shù)，是雙周期的亞純函數(shù)。最初是從求橢圓弧長時(shí)引導(dǎo)出來的，是復(fù)變函數(shù)論在19世紀(jì)發(fā)展中最光輝的成就之一。N.H.魯?shù)婪颉ぐ⒇悹?/a>、C.G.J.卡爾·雅可比和K.卡爾·魏爾施特拉斯等人對(duì)此都有卓越的貢獻(xiàn)。
正文
一個(gè)函數(shù)?(z)，如果存在著常數(shù)T≠0（可以是復(fù)數(shù)），使對(duì)一切z均有
?(z+T)=?(z) (1)
則稱?(z)為周期函數(shù),T為其周期。可使周期T滿足式(1)且有最小的模。
如果一函數(shù)?(z)有兩個(gè)周期2ω，2ω┡，且（以下恒設(shè)其>0），則稱?(z)為雙周期函數(shù)。一般說來，?(z)在z=z0附近的性態(tài)與在附近的性態(tài)相同,m,n為任何整數(shù);z0+稱作z0的(周期)合同點(diǎn)。因此，研究?(z)例如可只限于z在以0,2ω1=2ω,2ω2=2(ω+ω┡),2ω3=2ω┡為頂點(diǎn)的平行四邊形p中變動(dòng)。這個(gè)平行四邊形稱為?(z)的基本周期四邊形或基本胞腔（見圖）。
只有極點(diǎn)的雙周期解析函數(shù)?(z)就是橢圓函數(shù)。不妨假設(shè)在p的周界上沒有?(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)，因?yàn)榉駝t只要對(duì)復(fù)坐標(biāo)z作適當(dāng)平移變換便可達(dá)到目的。
由劉維爾定理知，雙周期解析函數(shù)?(z)如果沒有奇點(diǎn)則必為常數(shù)。又由留數(shù)定理易證，?(z)在p 中也不可能只有一個(gè)單極點(diǎn)。且可證明，?(z)在p 中取任何值的點(diǎn)的個(gè)數(shù)包括極點(diǎn)的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)也計(jì)入個(gè)數(shù)內(nèi)）均相同。橢圓函數(shù)在p中極點(diǎn)的個(gè)數(shù)稱作它的階數(shù)。因此,（非常數(shù)的）橢圓函數(shù)至少是二階的。
ξ函數(shù)與P函數(shù)? 定義
(2)
式中∑┡表示對(duì)一切整數(shù)m,n求和，但m=n=0除外。ξ(z)是一亞純函數(shù)，以為單極點(diǎn)(m,n=0，±1，±2,…)，且主部為。它不是周期函數(shù)，但滿足下列關(guān)系：
(3)
式中ηj=ξ(ωj)為三個(gè)常數(shù)，它們之間有如下關(guān)系：
由式(3)可見
已是一個(gè)二階橢圓函數(shù)，以為二階極點(diǎn)，并以為其主部。
任何橢圓函數(shù)均可通過 P(z)及其各階導(dǎo)函數(shù)表出。
函數(shù)P(z)滿足微分方程
式中。P函數(shù)還有所謂加法公式
σ函數(shù)? 為了得到橢圓函數(shù)的一種方便的表示法，引進(jìn)σ函數(shù)。
,
式中∏┡表示對(duì)一切整數(shù)m,n求積，但m=n=0除外。σ(z)是以為單零點(diǎn)的整函數(shù)，它不是雙周期的，但滿足下列關(guān)系：
易證
任何n階橢圓函數(shù)?(z)，如分別以α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn為其零點(diǎn)和極點(diǎn)（計(jì)入重?cái)?shù)），則總可使得，這時(shí)它可表為
式中C為一常數(shù)。如記
,
則可證
式中，且根式已適當(dāng)選定一支。
θ函數(shù)? 在實(shí)際應(yīng)用中，作變換，可使橢圓函數(shù)?(z)變成另一橢圓函數(shù)φ(υ)，后者的一個(gè)周期為1，另一周期為。引進(jìn)θ函數(shù)
式中q=。θ(υ)不是橢圓函數(shù)，但有
由θ(υ)還可引進(jìn)函數(shù)如下：
這些函數(shù)都不是橢圓函數(shù)，但有
任何以2ω,2ω┡為周期的橢圓函數(shù)?(z)，可通過θ函數(shù)表出：
如前式中αr,βr(r＝1,…,n)為?(z)的零點(diǎn)與極點(diǎn)。
P(z)與k(υ)間有如下確定的關(guān)系：
式中。
k 函數(shù)間也有加法公式等。
雅可比橢圓函數(shù)令(根號(hào)取定一值)，定義雅可比橢圓函數(shù)如下：
它們都是u的二階橢圓函數(shù)。snu以 4K與2iK┡為周期,cnu以4K與2K+2iK┡為周期,dnu以2K與4iK┡為周期，式中。它們和三角函數(shù)有某些相似之處。例如，有
,
等等。由這些公式，可得
，
這里根式應(yīng)選取u＝0時(shí)取值 ＋1的一支，由此可以得出
(4)
右邊這類含有四次根式的積分正是求橢圓的弧長時(shí)會(huì)遇到的那種類型，它們統(tǒng)稱為橢圓積分。由式(4)可見，u作為z的函數(shù)時(shí)，其反函數(shù)正好是橢圓函數(shù)snu。橢圓函數(shù)名稱來源于此。
自守函數(shù)? 橢圓函數(shù)?(z)具有這樣一個(gè)特點(diǎn)：當(dāng)z經(jīng)過平移變換
后函數(shù)值不變。變換T，T┡生成一群G,?(z)的變量z經(jīng)G中任何變換后?(z)保持不變。
一般說來，設(shè)G =｛T｝為分式線性變換構(gòu)成的群(但不是單位群，即不是由恒等變換一個(gè)元構(gòu)成的群)，又設(shè)?(z)為某區(qū)域D中的亞純函數(shù)，群G中的任何元T把D變成自身。且使
,
則稱?(z)為區(qū)域D中關(guān)于群G的自守函數(shù)。橢圓函數(shù)就是全平面中關(guān)于群整數(shù)}的自守函數(shù)。
自守函數(shù)理論是由H.亨利·龐加萊與F.菲利克斯·克萊因等人在19世紀(jì)80年代建立起來的，它對(duì)復(fù)變函數(shù)論的許多分支以及微分方程都有重要影響。
參考資料 >