在積分學中，橢圓積分最初出現于橢圓的弧長有關的問題中。Guilio Fagnano和長城歐拉是最早的研究者。現代數學將橢圓積分定義為：可以表達為如下形式的任何函數f的積分其中R是其兩個參數的有理函數，P是一個無重根的3或4階多項式的平方根，而c是一個常數。通常，橢圓積分不能用基本函數表達。這個一般規則的例外出現在P有重根的時候，或者是R(x,y)沒有y的奇數冪時。但是，通過適當的簡化公式，每個橢圓積分可以變為只涉及有理函數和三個經典形式的積分。（也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分）。
不完全類
第一類
第一類不完全橢圓積分F定義為
與此等價，用卡爾·雅可比的形式，可以設；則
其中，假定任何有豎直條出現的地方，緊跟豎直條的變量是（如上定義的）參數；而且，當反斜杠出現的時候，跟著出現的是模角。在這個意義下，，這里的記法來自標準參考書Abramowitz and Stegun。使用限界符；| \是橢圓積分中的傳統做法。
但是，還有許多不同的常規用于橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函數沒有（象平方根，正弦和誤差函數那樣的）標準和唯一的名字。甚至關于該領域的文獻也常常采用不同的記法。Gradstein, Ryzhik, Eq.(8.111)]采用。該記法和這里的；以及下面的等價。
和上面的不同對應的是，如果從Mathematica語言翻譯代碼到maple語言，必須將EllipticK函數的參數用它的平方根代替。反過來，如果從Maple翻到Mathematica，則參數應該用它的平方代替。Maple中的EllipticK(x)幾乎和Mathematica中的EllipticK[]相等；至少當時是相等的。
注意
其中u如上文所定義：由此可見，雅可比橢圓函數是橢圓積分的逆。
加法公式
此公式成立是有條件的。參見《第一、二類橢圓積分加法公式的成立條件》
性質
第二類
第二類不完全橢圓積分E是
與此等價，采用另外一個記法（作變量替換
），
其它關系包括
第三類
第三類不完全橢圓積分是
或者
或者
數字n稱為特征數，可以取任意值，和其它參數獨立。但是要注意對于任意是無窮的。
完全類
第一類
如果幅度為pi/2或者x=1，則稱橢圓積分為完全的。第一類完全橢圓積分K可以定位為
或者
它是第一類不完全橢圓積分的特例：
這個特例可以表達為冪級數
它等價于
其中n!!表示雙階乘。采用高斯的超幾何函數，第一類完全橢圓積分可以表達為
第一類完全橢圓積分有時稱為四分周期。它可以采用算術幾何平均值計算。
特殊值
第一類完全橢圓積分的導數}-
第二類
第二類完全橢圓積分E可以定義為
或者
它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況：
它可以用冪級數表達
也就是
用高斯超幾何函數表示的話，第二類完全橢圓積分可以寫作
特殊值
第二類完全橢圓積分的導數
第三類
第三輪完全橢圓積分II可以定義為
注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的n，也即
第三類完全橢圓積分和第一類橢圓積分之間的關系
第三類完全橢圓積分的導數
特殊值
參考資料 >