高斯函數(shù)（英文：Gauss 函數(shù)）是一類特殊函數(shù)。一般地，形式如f(x)=Ae-ax^2的函數(shù)，稱為高斯函數(shù)，其中a為實參數(shù)且A大于0。
在19世紀(jì)以前，在天文學(xué)領(lǐng)域有一個經(jīng)典的問題，即數(shù)據(jù)結(jié)合問題。1809年，德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（英語：Carl Friedrich Gauss,1777~1855）發(fā)表了數(shù)理天文學(xué)著作《繞日天體運動理論》(Theory of the Motion of the Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections），書中的談到了對該問題的看法，并介紹了高斯推導(dǎo)出誤差正態(tài)分布的過程，給出了最早的高斯函數(shù)的簡單形式，即正態(tài)分布N(0,σ)的概率密度函數(shù)。后來，在得到拉普拉斯中心極限定理的支持后，經(jīng)由朗伯·阿道夫·雅克·凱特勒和高爾登等人的努力，高斯函數(shù)成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)之中重要的統(tǒng)計模型之一。
除了正態(tài)分布的密度函數(shù)之外，高斯脈沖信號也是一種高斯函數(shù)。高斯函數(shù)具有幾個基本性質(zhì)：如它是光滑函數(shù)，且其各階導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)的；高斯函數(shù)的傅里葉變換仍然是高斯函數(shù)。基于高斯函數(shù)的特殊性質(zhì)，可構(gòu)建統(tǒng)計模型與小波分析模型，應(yīng)用于生物學(xué)、圖像處理、氣象學(xué)和工程學(xué)等各種領(lǐng)域。
簡史
在19世紀(jì)以前，在天文學(xué)領(lǐng)域有一個經(jīng)典的著名問題，即數(shù)據(jù)結(jié)合問題：“當(dāng)對同一目標(biāo)的若干次觀測結(jié)果不同時，如何處理這些數(shù)據(jù)？或如何利用觀測數(shù)據(jù)對觀測目標(biāo)的真值進(jìn)行估計？”最早提出“數(shù)據(jù)結(jié)合問題"的時間可以追溯到公元前的巴比倫和古希臘時期，雖然很久以前就以取算術(shù)平均數(shù)的方法來處理這一問題，但并無理論根據(jù)。
1809年，約翰·卡爾·弗里德里希·高斯發(fā)表了數(shù)理天文學(xué)著作《繞日天體運動理論》，書中談到了有關(guān)數(shù)據(jù)結(jié)合問題的內(nèi)容。高斯介紹了預(yù)測行星軌道的方法，同時證明了“觀測誤差服從正態(tài)分布”，得出觀測參數(shù)的估計為算術(shù)平均值，并給出了簡單正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，即正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。
1812年，法國數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯在著作《概率的分析理論》中，把早期中心極限定理的理論進(jìn)行了擴展，并首次引入特征函數(shù)對中心極限定理進(jìn)行證明，指出二項分布可用正態(tài)分布逼近。在得到拉普拉斯中心極限定理的支持后，經(jīng)由朗伯·阿道夫·雅克·凱特勒和高爾登等人的努力，高斯函數(shù)成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)之中重要的統(tǒng)計模型之一。
定義
高斯函數(shù)適用于描述數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程學(xué)中的許多過程，在信號和圖像處理領(lǐng)域有重要作用。例如，在信號傳輸或處理過程中由于各種隨機因素所引起的噪聲，即高斯噪聲，其分布概率密度函數(shù)是高斯函數(shù)型；在圖像處理中，點光源通過衍射受限透鏡成像，由于衍射在焦點處形成的光斑，其中以第一暗環(huán)為界限的中央亮斑，即艾里斑可近似地用二維高斯函數(shù)來表示。
一維高斯函數(shù)
定義：一維高斯函數(shù)為式中
二維高斯函數(shù)
類似地，可得二維高斯函數(shù)的定義:
該函數(shù)圖形如下圖所示，函數(shù)曲線下的體積等于若則二維高斯函數(shù)可表示成：
若用極坐標(biāo)表示，令則有
常見形式
正態(tài)分布的概率密度
正態(tài)分布
正態(tài)分布（normal distribution）亦稱常態(tài)分布、誤差分布、高斯分布。在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，正態(tài)分布的概率分布密度函數(shù)是高斯函數(shù)。
式中為實參數(shù)，且，則的分布稱為（一維）正態(tài)分布，簡記為
正態(tài)分布的密度函數(shù)：
高斯推導(dǎo)過程
設(shè)被測量的真值為誤差密度為則觀測得到的概率與成比例，可得個獨立測量值為的概率與成比例。
令
上式中被稱為獨立測量值的似然函數(shù)。
由最大似然估計法可得:
上式的最大值問題可等價于的最大值問題。
故對求導(dǎo)，并令得:
根據(jù)觀測值的算術(shù)平均值是真值最合理的估計，即是已經(jīng)應(yīng)取的估計，從而式應(yīng)是由式解得的值。
引入輔助函數(shù)則
故求解只求解由為偶函數(shù)，可知為奇函數(shù)，即
令且則有
則可將化簡得
由引理：已知連續(xù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意自然數(shù)及實數(shù)
均有則(其中為常數(shù))。
可得出即
又從而
故
可知常數(shù)且函數(shù)隨增大而減小，故常數(shù)須小于
則可令即
那么確定常數(shù)即可得出概率密度函數(shù)的解析式。
已知密度函數(shù)在整個實數(shù)域上的積分值為即
令可得
又因為即可得
密度函數(shù)的解析式是由數(shù)學(xué)家約翰·高斯在研究天文觀察誤差過程中推導(dǎo)出來的，稱為正態(tài)分布的的概率分布密度函數(shù)。
類似地，正態(tài)分布的密度函數(shù)，即高斯函數(shù)為
其中，實參數(shù)分別是正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。
高斯脈沖信號
對于高斯脈沖信號它在時域中的持續(xù)時間是無限的并且其頻譜密度函數(shù)
是高斯函數(shù)，其在頻域中的頻譜分布也是無限的。這時其有效脈沖寬度和有效頻帶寬度可以根據(jù)能量求得。
例如，有效脈沖寬度可定義為在時域中絕大部分能量集中的那一段時間，即
式中,表示在時間寬度內(nèi)的能量占總能量的百分?jǐn)?shù)，通常取
同理，有效頻帶寬度可定義為在頻域中絕大部分能量集中的那一段頻帶，即
性質(zhì)
導(dǎo)函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點有一增量時，函數(shù)相應(yīng)地有增量若當(dāng)時，增量比的極限，即
存在，就稱該極限值為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記為
或
即也稱函數(shù)在點可導(dǎo)或導(dǎo)數(shù)存在。
高斯函數(shù)的各階導(dǎo)函數(shù)
令則上式可化簡為
一階導(dǎo)數(shù)：
三階導(dǎo)數(shù)：
高斯函數(shù)是光滑函數(shù)，且其各階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。
積分
反常積分的定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，任取一有限數(shù)
積分存在，稱極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，
記作即
高斯積分是無窮區(qū)間上的反常積分。
高斯積分的定義：一般地，形如包含高斯函數(shù)的定積分稱為高斯積分。作的變量變換，則可將高斯積分寫成另一種形式：
高斯函數(shù)的積分
令可得高斯積分
因為高斯函數(shù)從到的積分為即則可得到的高斯積分為
類似地，可以得到高斯函數(shù)從 到的高斯積分
傅里葉變換
定義：通過積分運算把屬于某函數(shù)類的函數(shù)通過含參變量的積分變?yōu)榱硪缓瘮?shù)類中的函數(shù)是一個確定的二元函數(shù)，通常稱為該積分變換的核,稱為像原函數(shù),稱為的像函數(shù)。特別地，當(dāng)核函數(shù)時，即
稱為函數(shù)的傅里葉（Fourier）變換。
高斯函數(shù)的傅里葉變換
高斯函數(shù)的傅氏變換式為：
令則上式積分變?yōu)橐粡?fù)變函數(shù)的積分，即
根據(jù)復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì)和柯西積分定理，可得高斯函數(shù)的傅里葉變換為：
高斯函數(shù)的傅里葉變換仍然是高斯函數(shù)。
相關(guān)概念
高斯誤差函數(shù)
高斯誤差函數(shù)以符號表示，其中表示自變量，表達(dá)式稱為高斯誤差函數(shù)。
特別地，由高斯積分可得出
高斯誤差補函數(shù)以表示，其定義為
性質(zhì)
則有
推論：
對于函數(shù)若則有
應(yīng)用
生物學(xué)
水稻的葉曲線是空間中一條近似光滑的曲線，基于不同年份與施氮水平的水稻桶栽試驗，定期利用三維激光掃描儀來獲取水稻主莖不同葉位葉曲線空間坐標(biāo)數(shù)據(jù)，并利用動態(tài)建模技術(shù)以高斯函數(shù)為基礎(chǔ)構(gòu)造構(gòu)建水稻主莖不同葉位葉曲線動態(tài)模擬模型，模擬研究水稻葉曲線空間變化特征，能較好地預(yù)測不同施氮水平水稻主莖不同葉位葉曲線在生長進(jìn)程中的變化動態(tài)，從而為進(jìn)一步提高水稻葉片及植株的可視化效果提供了技術(shù)支持。
圖像處理
紅外光圖像在采集過程中受到距離和采集設(shè)備等因素的影響，導(dǎo)致紅外光圖像受到的干擾較大，信息特征的反應(yīng)能力不足。針對傳統(tǒng)算法抗干擾能力弱和圖像增強后信噪比低的難題，使用基于高斯函數(shù)的紅外光圖像增強算法，能對紅外光圖像進(jìn)行增強處理，把降噪輸出紅外光圖像分解為小波尺度，提取圖像的高階譜特征，突出圖像中的重要部分，減弱或去除不需要的信息，從而提高圖像的識別和特征提取能力。
地理學(xué)
基于GPS信號的計算機層析成像技術(shù)較早應(yīng)用于三維和四維電離層成像領(lǐng)域，并取得了較好的效果。相對于電離層層析成像，對流層層析需要一個更完善的算法。在對流層層析中，由于GPS衛(wèi)星和測站數(shù)量有限，站星的幾何結(jié)構(gòu)不好等因素，層析觀測方程往往是不適定的，需要增加一些約束條件來獲取唯一解。
水汽在垂直方向變化很快，合理的垂直約束在獲取準(zhǔn)確的水汽場上起著重要作用。利用高斯函數(shù)建立垂直約束進(jìn)行層析實驗，相對于指數(shù)約束所得結(jié)果，層析濕折射率的標(biāo)準(zhǔn)差在整個對流層和低對流層中都有所減小。因此，高斯函數(shù)建立特定時期特定地點的垂直約束條件能夠很好地反映水汽的垂直分布情況，并且有利于得到更加準(zhǔn)確可靠的層析解，相對于指數(shù)函數(shù)具有明顯的優(yōu)越性。
工程學(xué)
概率潮流計算是定量分析電力系統(tǒng)隨機性的重要方法，合理地描述風(fēng)速隨機性是概率潮流計算的基礎(chǔ)。基于高斯函數(shù)-最大原理的改進(jìn)半不變量概率潮流計算方法，可適用于風(fēng)電并網(wǎng)系統(tǒng)中對概率潮流的計算，并分析風(fēng)電出力的隨機性對系統(tǒng)造成的影響，具有通用性強，計算精度高、速度快等優(yōu)點。
最大熵原理：指在一定的約束條件下，熵達(dá)到最大值時，計算得到的隨機變量的概率分布最接近真實分布。
基于高斯函數(shù)改進(jìn)最大熵展開的半不變量概率計算方法的研究創(chuàng)新：采用高斯函數(shù)結(jié)合改進(jìn)反射核密度估計建立計及有界性的風(fēng)速模型；引入高斯函數(shù)改進(jìn)經(jīng)典最大熵模型的通解形式和求解方法；無需對變量分布進(jìn)行先驗假設(shè)。
參考資料 >
Python中二維高斯函數(shù)的繪制.CSDN博客.2024-01-26