三角恒等式（英文名：trigonometric 恒等式），指含有三角函數且對任意角都成立的等式。
三角恒等式的歷史可以追溯到克羅狄斯·托勒密（Ptolemy of Alexandris）于公元二世紀所著的書《天文學大成》。托勒密的《斜截面》（Sections Angulares）(該書在他死后于1615年出版)推動了三角恒等式的進一步發展。到了14-16世紀，三角學曾一度成為歐洲數學的主要研究內容，其中包括三角恒等式的建立和推導。后來，法國數學家韋達（Fran?ois Viète）把解平面三角形和斜三角形的公式匯集在一起，并且把這些恒等式表示成代數形式。
三角恒等式包括基礎三角恒等式、兩角和差公式、倍角公式、積化和差公式、和差化積公式、正切半角公式、降冪公式、誘導公式、三角級數等。它可以應用于求解不定積分和幾何問題，使復雜的的問題簡單化。同時，三角恒等式還常應用于研究物理中的簡諧振動。
定義
三角恒等式，含有三角函數且對任意角都成立的等式稱為三角恒等式。恒等式對于任何的值都成立。這種等式就是三角恒等式。
一般地，如果函數有相同的定義域，且在定義域內的任何取值都相等，同時，有一個為三角式，就稱是無條件三角恒等式，例如，。如果只在一定條件下成立，則為條件三角恒等式，例如，當時， 。
注：本文所有三角恒等式統一用、、、表示三角函數的自變量。
簡史
三角恒等式的歷史可以追溯到克羅狄斯·托勒密（Ptolemy of Alexandris）于公元二世紀所著的書《天文學大成》，書中包含了兩角和差公式、二倍角公式。隨后托勒密還建立了很多三角恒等式，如兩角差恒等式以及用和表示和的恒等式，其中后一個寫在他所著的《斜截面》（該書在他死后于1615年出版）一書中。到了14-16世紀，三角學曾一度成為歐洲數學的主要研究內容，其中包括三角恒等式的建立和推導。后來，法國數學家韋達（Fran?ois Viète）在他著于1591年并出版于1615年的《論方程的整理與修正》（De Aequationum Recognitioneet Emendatione）一書中，提出了用一個三角恒等式解出不可約三次方程，該方法后來一直為人們所用。從而避免使用卡丹的公式，這豐富了三角恒等式的應用。同時，他把解平面三角形和斜三角形的公式匯集在一起，并且把這些恒等式表示成代數形式。
公式內容
基礎三角恒等式
兩角和差
和差化積
積化和差
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
n倍角公式
根據棣莫弗定理得到用復數表示的n倍角公式：
也可以表示為：
半角公式
輔助角公式
輔助角公式逆用了兩角和的正弦曲線公式，主要作用是化角為函數來研究三角函數的性質，公式如下：
。
萬能公式
降冪公式
式中為正整數。
誘導公式
由于正割、余割與余切分別是余弦、正弦曲線與正切的倒數，根據三角函數相互轉化的關系可以得到正割、余割與余切函數的誘導公式。
角（為任意的整數）的恒等式：
角的恒等式：
角的恒等式：
角的恒等式：
角的恒等式：
角的恒等式：
角的恒等式：
角的恒等式：
角的恒等式：
口訣：奇變偶不變，符號看象限角。
三角級數
三角函數級數
反三角函數級數
傅里葉級數
根據三角函數系的正交性，將三角級數逐項積分可得歐拉——傅里葉公式，公式如下：
由歐拉——傅里葉公式算出的系數叫做函數的傅里葉系數，以為系數作出的三角級數叫做函數的傅里葉級數。
證明
途徑
證明三角恒等式通常有三種途徑：
（1）從恒等式的任意端（如左端或右端）出發，進行變換，（通常選取表達式比較復雜的那一端），使它等于等式的另一端（右端或左端）。
（2）從恒等式的兩邊同時進行變換，證明兩邊式子都與同一個式子恒等。
（3）先假定等式成立，對等式做適當的變換，或化簡而得到一個新的關系式，再證明新式恒等，從而原恒等式得證。
舉例
下面，提供利用兩角和公式證明倍角公式：
，
當時，有。
，
當時，有。
因此，。
又因為，，
因此，。
即，
因此，。
又因為，
因此，。
因此，。
應用
應用基礎三角恒等式
例題： 化簡。
解答：
。
應用兩角和差公式
角頻率相同的正弦函數和余弦函數的疊加是一個簡諧函數，即
。
其中，都是與自變量無關的常數。
解答： 根據兩角和公式得，
。
將兩邊各自平方并開方，得
。
將兩式相除，得
。
應用降冪公式
例題： 計算下列不定積分：。
解答： 由湊微分法有 ,
利用降冪公式可將分母轉化為,
。
應用誘導公式
三角恒等式還可以用在數學證明上，在證明過程中，把各種幾何量借助于三角函數表示出來后，要證明的結論就體現成一個三角恒等式，于是解決這個問題的關鍵就是證明一個適當的三角恒等式。
解答： 設半徑為1，可如圖標出，
因為,
所以，。
應用級數公式
例題： 某角的弧長等于它的半徑，計算它的余弦值到小數點后四位。
解答： 由三角函數級數可知，;
由題意可知，;
故有，
。
參考資料 >