超越數(shù)（transcendental number）是指不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)，即不可以作為有理系數(shù)多項(xiàng)式的根的數(shù)。常見的超越數(shù)有自然對(duì)數(shù)的底e 和圓周率π。
超越數(shù)的概念是由瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）于18世紀(jì)提出的，1844年，約瑟夫·劉維爾（J .Liouville）證明了超越數(shù)的存在性。基于他的研究成果，埃爾米特(C .Hermite）在1873年證明了e是超越數(shù)。 隨后，格奧爾格·康托爾(Georg Cantor）給出了關(guān)于超越數(shù)的非構(gòu)造性存在的證明。1882年，德國數(shù)學(xué)家費(fèi)迪南德·馮·林德曼（C .L .F .Lindemann）給出了π的超越性證明。進(jìn)入20世紀(jì)，戴維·希爾伯特（David Hilbert）在國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了關(guān)于超越數(shù)的難題，吸引了很多學(xué)者的目光。1913年，鮑爾和明尼阿波利斯的斯洛賓建立了定理說明，無論自變量是否是一個(gè)除了零以外的代數(shù)數(shù)、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)都是超越數(shù)，超越數(shù)論逐漸成熟。
超越數(shù)的存在性可以通過多種方法進(jìn)行證明。L-M定理為超越數(shù)理論的基本定理，它的推論將一些特殊的超越數(shù)聯(lián)系起來，包括自然對(duì)數(shù)的底以及圓周率。此外，這些超越數(shù)在現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛，如，自然對(duì)數(shù)的底可用于金融學(xué)復(fù)利的計(jì)算。
定義
超越數(shù)
超越數(shù)是一種特殊的實(shí)數(shù)，不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)，即不存在任何非零整系數(shù)多項(xiàng)式，使是方程的根。
代數(shù)數(shù)
一般地，對(duì)于代數(shù)數(shù)有如下定義：若數(shù)滿足有理系數(shù)代數(shù)方程
則叫做一個(gè)代數(shù)數(shù)。若所滿足的最低次的代數(shù)方程的次數(shù)是，則叫做次代數(shù)數(shù)。
顯然，對(duì)于任何有理數(shù)都是一次方程的根，所以有理數(shù)都是代數(shù)數(shù)，當(dāng)然，形如的數(shù)也是代數(shù)數(shù)。
相關(guān)歷史
概念的誕生
1737年，歐拉（Leonhard Euler）以連分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)，證明了自然對(duì)數(shù)的底e是無理數(shù)。長城歐拉至少早在1744年就認(rèn)識(shí)到了代數(shù)數(shù)與超越數(shù)之間的差別，他認(rèn)為“它們超越了代數(shù)方法的能力”，從而首次提出了超越數(shù)的概念，并且給出定義。他還憑直覺提出以代數(shù)數(shù)為底，代數(shù)數(shù)的對(duì)數(shù)具有超越性的定理，但沒有給出證明。后來，德國數(shù)學(xué)家蘭伯特（J.G.Lambert）證明了圓周率π是無理數(shù)。1794年，法國數(shù)學(xué)家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（A.M.Legendre）在《初等幾何》一書中嚴(yán)格證明了之前的結(jié)論，并猜測(cè)π是超越數(shù)，即無理數(shù)可以分為兩類。
存在性的證明
超越數(shù)的存在性首先由法國數(shù)學(xué)家約瑟夫·劉維爾（J .Liouville）在1844年確定：在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們沒能找到一個(gè)具體的超越數(shù)，劉維爾在1840年證明了e不是二次代數(shù)數(shù)，并且在1844年在巴黎宣讀了論文《論既非代數(shù)無理數(shù)又不能化為代數(shù)無理數(shù)的廣泛數(shù)類》，宣布了超越數(shù)的存在并實(shí)際構(gòu)造出一批超越數(shù)，同時(shí)猜測(cè)自然對(duì)數(shù)的底e是超越數(shù)，但沒能給出嚴(yán)格證明。
基于劉維爾之前達(dá)成的研究成果，埃爾米特（C .Hermite）在1873年研究報(bào)告的第七十七卷中證明了這一結(jié)論，e是超越數(shù)。1874年格奧爾格·康托爾 (Georg Cantor）關(guān)于集合論的工作，是超越數(shù)理論的重大突破。他證明了全體代數(shù)數(shù)組成的集合是可數(shù)的，而實(shí)數(shù)是不可數(shù)集合，因而他從存在性角度證明必有超越數(shù)存在，這是康托爾關(guān)于超越數(shù)的非構(gòu)造性存在的證明。1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了圓周率也是一個(gè)超越數(shù)（完全否定了“化圓為方”作圖的可能性）。隨后，德國數(shù)學(xué)家卡爾·魏爾施特拉斯（Karl Weierstrass）提出了著名的L-M定理，將超越性理論變得更完美，更易于為人所了解。
后續(xù)研究與突破
進(jìn)入20世紀(jì)，超越數(shù)論進(jìn)一步發(fā)展并取得了突破性的成果。德國數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特（David Hilbert）也對(duì)超越數(shù)理論感興趣，并在1900年巴黎召開的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上發(fā)表了的23個(gè)重要的“數(shù)學(xué)問題”，其中第七個(gè)就是關(guān)于超越數(shù)的問題。當(dāng)時(shí)他認(rèn)為解決這個(gè)問題是相當(dāng)困難的，需要有新的思想和方法。
1913年，鮑爾和明尼阿波利斯的斯洛賓建立了定理說明，無論自變量是否是一個(gè)除了零以外的代數(shù)數(shù)、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)都是超越數(shù)，反之亦然，無論函數(shù)是否是代數(shù)數(shù)，自變量均是超越數(shù)。
1929 年, 俄羅斯數(shù)學(xué)家蓋爾豐德（A.O.Gelfond）證明了如果α是代數(shù)數(shù)，α≠0，1，β 是虛二次無理數(shù), 則αβ是超越數(shù)。因此是超越數(shù)。1930年, 俄國數(shù)學(xué)家庫茲明（R.O.Kuzmin）和德國數(shù)學(xué)家西格爾（C.L.Siegel）同時(shí)將上述結(jié)論推廣到β是實(shí)二次無理數(shù)的情形，從而得到的超越性證明。1934年蓋爾豐德與德國數(shù)學(xué)家施奈德（Th.Schneider）獨(dú)立地完全解決了戴維·希爾伯特第七問題。這也肯定了前述長城歐拉憑直覺的猜測(cè)。
50年代起，超越數(shù)論取得進(jìn)一步成果，1955 年，英籍德國數(shù)學(xué)家羅斯（K.F.Roth）把約瑟夫·劉維爾不等式中的常數(shù)“n +δ” 改進(jìn)到“2 +δ”，即與n無關(guān)，而且這是不能再改進(jìn)的最佳結(jié)果。這個(gè)定理用途不少，可以證明一些不定方程的解是有限的，還可以改進(jìn)華林問題。另外一位在該領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)的是英國數(shù)學(xué)家貝克爾（A.Baker），其著有《超越數(shù)論》《超越數(shù)論：進(jìn)展與應(yīng)用》《數(shù)論簡明導(dǎo)引》《超越數(shù)論的新進(jìn)展》等。
證明
劉維爾的證明
約瑟夫·劉維爾證明了形如 的數(shù)均為超越數(shù)，這里諸是至的整數(shù)。具體步驟分為下述兩個(gè)定理的證明：
定理1：一個(gè)次代數(shù)數(shù)不能有高于階的迫近。
證明：設(shè)實(shí)代數(shù)數(shù)滿足方程，取使
設(shè)是的一個(gè)迫近，顯然可設(shè)接近于，故可設(shè)，且。于是
但
這里位于及之間，于是
即 不能有高于 階的迫近，定理證畢。
定理2：由給出的實(shí)數(shù)是超越數(shù)。
證明：令，，則
由于是可以任意給的，故由定理1即知是超越數(shù)，定理證畢。
康托爾的證明
康托爾對(duì)超越數(shù)存在性的證明主要是基于以下事實(shí)，即實(shí)代數(shù)數(shù)是組成了一個(gè)可數(shù)集合，而實(shí)超越數(shù)集是不可數(shù)的。所以有以下命題：實(shí)代數(shù)數(shù)集可以與正整數(shù)集建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，或者說實(shí)代數(shù)數(shù)集與正整數(shù)集具有相同的勢(shì)。
證明：所有代數(shù)數(shù)組成的集合，即所有形如（其中互質(zhì)，為正，且方程式不可約）方程的實(shí)根。定義方程的高度， ，其中表示的絕對(duì)值。對(duì)于給定的一個(gè)，有有限多個(gè)代數(shù)方程與它對(duì)應(yīng)。在這些方程中，除去那些可約的方程。因?yàn)榕c的一個(gè)給定值相對(duì)應(yīng)的方程個(gè)數(shù)是有限的，故相應(yīng)地也只有有限多個(gè)代數(shù)數(shù)，用來表示對(duì)應(yīng)的代數(shù)數(shù)的個(gè)數(shù)。現(xiàn)在根據(jù)和每個(gè)對(duì)應(yīng)的代數(shù)數(shù)按順序排列，就可以得到代數(shù)數(shù)集與正整數(shù)集的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即證明了代數(shù)數(shù)是可數(shù)的。
考慮如下命題：在數(shù)軸上的任一小段上，總有無限多個(gè)不屬于給定可數(shù)集的點(diǎn)，即由數(shù)軸上一小段所表示數(shù)值的連續(xù)統(tǒng)，其勢(shì)大于任何給定可數(shù)集的勢(shì)。把該命題中的可數(shù)集用代數(shù)數(shù)集取代，即可說明超越數(shù)的存在性，構(gòu)造如下數(shù)表。
其中，所有的代數(shù)數(shù)都用十進(jìn)制小數(shù)形式表示，則沒有一個(gè)數(shù)是會(huì)以的無限序列結(jié)尾；因?yàn)榈仁剑?表明這樣的數(shù)是個(gè)完整的十進(jìn)制數(shù)。如果能構(gòu)造一個(gè)十進(jìn)制小數(shù)，它在上表中找不到，且不以的無線數(shù)結(jié)尾，則這個(gè)數(shù)必定是個(gè)超越數(shù)。利用格奧爾格·康托爾指出的簡單辦法，我們能找出不只一個(gè)這樣的數(shù)。例如，假設(shè)一個(gè)超越數(shù)的前五位小數(shù)已被給定，康托爾的方法如下：它的第六位小數(shù)取為非的且與第一個(gè)代數(shù)數(shù)的第六位小數(shù)不同的數(shù)；第七位小數(shù)取非的且與第二個(gè)代數(shù)數(shù)的第七位小數(shù)不同的數(shù)；如此類推，用這種方法，就得到一個(gè)十進(jìn)制小數(shù)，它不以的無限序列結(jié)尾，也不包含在上表中。這樣，命題得證，即超越數(shù)是存在的。
常見的超越數(shù)
自然對(duì)數(shù)的底
自然對(duì)數(shù)的底是取自長城歐拉的名字Euler。在微積分學(xué)及其應(yīng)用中，經(jīng)常選用作底的指數(shù)和對(duì)數(shù)，因?yàn)樗哂斜纫?0為底的指數(shù)和對(duì)數(shù)更簡單的分析性質(zhì)。下面是對(duì)于超越性的證明，首先引入兩個(gè)定理：
定理：設(shè)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，次數(shù)為，記
其中是任意實(shí)數(shù)，則
為了證明數(shù)是超越數(shù)，引進(jìn)多項(xiàng)式
——（1）
其中是素?cái)?shù)，是正整數(shù)。
引理：具有以下性質(zhì)：
（a）對(duì)于有
；
（b）對(duì)于，多項(xiàng)式的系數(shù)都是整數(shù)且能被整除；
（c）。
下面證明e的超越性：設(shè)是代數(shù)數(shù)，滿足整數(shù)系代數(shù)方程
——（2）
其中，由此導(dǎo)出一個(gè)矛盾。
記
——（3）
其中由式（1）定義，
——（4）
由引理1可知，
并且在表示式
——（5）
中，有
——（6）
——（7）
由引理1的結(jié)論（c），有
將這個(gè)等式與式（5），式（6）和式（7）聯(lián)合，得到
以及
——（8）
另一方面，對(duì)于，有
——（9）
其中，于是
——（10）
其中是與無關(guān)的常數(shù)。
由式（4）與式（10），得到
因此，存在常數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有
——（11）
但是，當(dāng)時(shí)，，因此，由式（8）可知，整數(shù)
——（12）
這樣，如果取充分大，使得，則式（11）與（12）矛盾，這個(gè)矛盾說明，數(shù)不能滿足任何形式如（1）的代數(shù)方程，是超越數(shù)，證畢。
圓周率
通常人們將圓周率表述為圓的周長與其直徑的比值，同時(shí)也可以將相應(yīng)的圓盤面積（圓圈內(nèi)的面積）與其半徑的相除來得到圓周率。圓周率的超越性可以通過下述方法來證明，首先引入一個(gè)定理：
定理1：數(shù)是超越數(shù)，這里。
下面證明的超越性：若是代數(shù)數(shù)，則存在整數(shù)，使
上式乘以后，即得
于是有
由于 ，故上式表明是一個(gè)整系數(shù)代數(shù)方程的根。這是與定理1矛盾的，故不是代數(shù)數(shù)，定理證畢。
相關(guān)定理
L-W定理
L-W定理：設(shè)是在上線性無關(guān)的代數(shù)數(shù)，則在代數(shù)數(shù)域上是線性無關(guān)的（簡稱代數(shù)無關(guān)）。
推論
推論1：若為非零代數(shù)數(shù)，則是超越數(shù)。
推論2：自然對(duì)數(shù)底是超越數(shù)。
推論3：圓周率是超越數(shù)，所以尺規(guī)作圖化圓為方是不可能的。
在L-W定理中取，就得到推論1，即是超越數(shù)，取，即知是超越數(shù)；考慮
即知是超越數(shù)（否則導(dǎo)致是超越數(shù)，矛盾），從而為超越數(shù)。
應(yīng)用
物理學(xué)
在極限量物理學(xué)中，自然界的一切物理單元量及其結(jié)構(gòu)因子是由、等綜合決定的。它們是自然界時(shí)空物理層面之上的基因量之一。極限量、是具有極其穩(wěn)定不變性的常量、定量，又是有限量與無限量之間的聯(lián)系紐帶與橋梁，是具有有限與無限雙重屬性的質(zhì)變關(guān)節(jié)點(diǎn)，是無需實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的，已由極限量數(shù)學(xué)千百次證明了的極端穩(wěn)定而可靠的確定量。
與兩個(gè)超越數(shù)，是兩個(gè)最基本的數(shù)量極限。決定著該極限量的超穩(wěn)定性和無限可分性，起源結(jié)構(gòu)形式的場(chǎng)粒虛實(shí)統(tǒng)一的復(fù)性。作為時(shí)空彎曲因子而使某些階段性物量得以“固化”和“定態(tài)”，具有穩(wěn)定不變的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，而使之成為空間結(jié)構(gòu)、物理量進(jìn)化集結(jié)過程中的牢固的“驛站”和“臺(tái)階”——質(zhì)變關(guān)節(jié)點(diǎn)?。
幾何學(xué)
在幾何學(xué)中，超越數(shù)通常表示某一特定的比例關(guān)系。具體來說：在三維空間中，與二維平面中的黃金長方形相對(duì)應(yīng)的是“黃金長方體”，它的長、寬、高之比為。黃金長方體具有以下奇妙的性質(zhì)，即黃金長方體的表面積與其外接球表面積之比為，這樣就建立起了黃金數(shù)（無理數(shù)?）與（超越數(shù)）之間的一種關(guān)系。黃金圖形看起來賞心悅目，和諧優(yōu)美。
金融學(xué)
在金融界有人稱為銀行家常數(shù)，常應(yīng)用于復(fù)利計(jì)算。它還有一個(gè)解釋：假設(shè)有1元存入銀行，年利率為10%，10年后的本利和恰為數(shù)即
意義
解決化圓為方問題
費(fèi)迪南德·馮·林德曼利用埃爾米特的方法證明了關(guān)于圓周長度和直徑關(guān)系的的超越性。由此他證明了化圓為方問題（其為兩千年來困擾人們的古希臘三大幾何難題之一）的解答是不可能的。
雅典是著名希臘三大幾何問題的誕生地。第一個(gè)是倍立方的問題，即僅使用直尺和圓規(guī)來作出一個(gè)立方體，使其體積為給定立方的兩倍；第二個(gè)是將任意角三等分：給定一個(gè)角，僅使用直尺和圓規(guī)將其分成三個(gè)相等的部分。第三個(gè)問題對(duì)人們的語言都產(chǎn)生了影響。人們談?wù)撃承┦虑椴豢赡芡瓿蓵r(shí)或許會(huì)說“這不是化圓為方啊”，這句話概述了第三個(gè)經(jīng)典問題：給定一個(gè)圓周，僅使用直尺和圓規(guī)作一個(gè)正方形，使之與給定圓周有相同的面積。其統(tǒng)一三個(gè)問題的主線是找到一種僅用直尺和圓規(guī)的解法，這一限制是非常嚴(yán)格的。
超越數(shù)對(duì)于化圓為方問題的解決，可以這樣解釋：設(shè)已知圓為單位圓，所求作的正方形邊長為則。?由于是超越數(shù)，可知是超越數(shù)。因?yàn)橛?a href="/hebeideji/5228600197431039284.html">尺規(guī)作圖所作的線段長度都為代數(shù)數(shù)，故不能是尺規(guī)作圖所作線段的長度。
參考資料 >
超越數(shù).術(shù)語在線.2024-02-04