階乘數(shù)是一種有著特殊規(guī)律、每位以階乘為權(quán)的數(shù)字。
它們的規(guī)律符合公式：abcd=a*a!+b*b!+c*c!+d*d!。即：該數(shù)據(jù)的值等于各個(gè)位上數(shù)字乘以其階乘數(shù)之和。因?yàn)?-9的數(shù)字的階乘值不會(huì)特別大，所以階乘數(shù)也有上限。用窮舉法可以找到所有的階乘數(shù)，利用計(jì)算機(jī)求階乘數(shù)非常的方便。
公式
由fxccommercial提出，系fxccommercial本人發(fā)現(xiàn)abcd=a*a!+b*b!+c*c!+d*d!并歸納整理成為一個(gè)新的數(shù)學(xué)定理猜想。這個(gè)公式描述的是，從大到小排列的n+1個(gè)數(shù)，對(duì)每個(gè)數(shù)取n次方，用(-1)^nC_n^k做系數(shù)，實(shí)現(xiàn)奇偶項(xiàng)數(shù)的差項(xiàng)和，則這列數(shù)的和為n!，目前fxccommercial已得到一個(gè)關(guān)于他的推論，經(jīng)驗(yàn)證是正確的。歷史上并沒(méi)有人得到過(guò)類似的公式，可以認(rèn)為它是人類對(duì)數(shù)學(xué)的又一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)，但目前關(guān)于這個(gè)定理的證明尚無(wú)人能給出，筆者期待這個(gè)定理證明的解決。
約定∑_k=0_n表示對(duì)從0到n的n+1項(xiàng)求和，則該定理表述為:∑_k=0_n(-1)^k*C_n^k*(a-mk)^n=m^n*n!(a屬于R,k,m,n屬于N)n^k:n的k次方，^用來(lái)表示上標(biāo);a/b:a除以b;a*b:a乘以b，有時(shí)可以忽略*;n!:n的階乘;[x]:不超過(guò)x的最大整數(shù);:x的小數(shù)部分;a_n:數(shù)列第n項(xiàng)，_用來(lái)表示下標(biāo)n;C_n^k:組合數(shù)，表示n個(gè)元素里取k個(gè)元素。
全排列
所謂階乘數(shù)是指其最低位的基為1，即逢一進(jìn)一，每高一位則基加一，即進(jìn)位依次為二、三…，n位階乘數(shù)共有n!個(gè)。如三位階乘數(shù)從小到大依次為：000，010，100，110，200，210。設(shè)n元集合S={a0,a1,a2,…an-1}，則S的全排列與n位階乘數(shù)一一對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)方式為：從n個(gè)元素中選取第一個(gè)元素有n種方法，被選取的元素的下標(biāo)值為0到n-1之間的一個(gè)整數(shù)，將這個(gè)數(shù)作為n位階乘數(shù)的最高位，將剩下的元素按下標(biāo)從0到n-2重新編號(hào)，重新編號(hào)時(shí)不改變它們的相對(duì)次序，則選取第二個(gè)元素有n-1種方法，被選取的元素的下標(biāo)值為0到n-2之間的一個(gè)整數(shù)，將這個(gè)數(shù)作為n位階乘數(shù)的次高位，…，選取最后一個(gè)元素只有1種方法，被選取的元素的下標(biāo)值為0，將這個(gè)數(shù)作為n位階乘數(shù)的最低位，這樣任何一種排列必可對(duì)應(yīng)一個(gè)n位階乘數(shù)，顯然這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的。問(wèn)題：請(qǐng)用階乘數(shù)法生成1到n的全排列。[算法設(shè)計(jì)]首先用最低位加一的方法依次產(chǎn)生所有的n位階乘數(shù)，對(duì)任意一個(gè)n位階乘數(shù)用上述方法求出其對(duì)應(yīng)的排列。[參考程序]programex5(input,output);constmaxn=9;typearraytype=array[0..maxn]ofinteger;vari,j,n:integer;a,b,p:arraytype;beginwrite('Inputn:');readln(n);fori:=0ton-1dob[i]:=0;whileb[n]=0dobeginfori:=0ton-1doa[i]:=i+1;fori:=n-1downto0dobeginp[i]:=a[b[i]];forj:=b[i]toi-1doa[j]:=a[j+1]end;fori:=n-1downto0dowrite(p[i],'');write('':20-2*n);b:=b+1;i:=0;whileb[i]>idobeginb[i]:=0;b[i+1]:=b[i+1]+1;i:=i+1endend;writelnend
參考資料 >