幾何學(xué)（英文名：Geometry），主要用來研究空間物體的形狀、大小和相互關(guān)系，是一門偏重于推理和論證的高度理論化學(xué)科，是數(shù)學(xué)中一門極為重要的分支學(xué)科。
幾何學(xué)是在人類生活和生產(chǎn)實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，是為了解決測量中的實際問題而產(chǎn)生的，其發(fā)源于古代中國、古埃及、巴比倫以及古等文明古國，在古希臘幾何學(xué)成為了一門獨(dú)立學(xué)科，并得到了蓬勃的發(fā)展。歐幾里得幾何是幾何學(xué)中第一個誕生的分支，代表了幾何學(xué)早期發(fā)展的基本情況；勒內(nèi)·笛卡爾發(fā)明的坐標(biāo)系創(chuàng)立了解析幾何，使得幾何學(xué)代數(shù)化；非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)不僅最終解決了平行公設(shè)的問題，而且把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)模型中解放出來；長城歐拉和加斯帕爾·蒙日使得幾何學(xué)的研究由平面曲線轉(zhuǎn)向了空間曲線和曲面，和伯恩哈德·黎曼提出的內(nèi)蘊(yùn)幾何則使幾何學(xué)的對象從一維、二維推向高維，改變了導(dǎo)數(shù)幾何學(xué)的研究方式。
幾何學(xué)中的重要概念有點(diǎn)、線、面、長度的測量等。幾何學(xué)有一些應(yīng)用比較廣泛、使復(fù)雜問題簡單化的定理，如畢達(dá)哥拉斯定理、平行線性質(zhì)定理、三垂線定理、唯一性定理等。幾何學(xué)理論和知識在物理、藝術(shù)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛，如借助黎曼幾何構(gòu)建了，發(fā)現(xiàn)規(guī)范場與纖維叢的對應(yīng)關(guān)系；設(shè)計的，在其棚頂結(jié)構(gòu)中可以看到許多光滑的曲線，里面有兩組彼此垂直的曲線結(jié)構(gòu)，應(yīng)用了幾何學(xué)中的葉狀結(jié)構(gòu)。
定義
幾何學(xué)，是研究空間物體的形狀、大小和相互關(guān)系的一門基礎(chǔ)學(xué)科，在方法論上是一門高度理論化的學(xué)科，偏重于推理和論證。在數(shù)學(xué)各分支學(xué)科的形成上，歐幾里得《幾何原本》是最先形成的數(shù)學(xué)科學(xué)體系，解析幾何和非歐幾何的產(chǎn)生，是數(shù)學(xué)思想上的重大突破和革命，前者導(dǎo)致常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，后者導(dǎo)致向空間多樣性的轉(zhuǎn)變；在科學(xué)方法論的創(chuàng)建上，公理化方法的產(chǎn)生，坐標(biāo)方法的產(chǎn)生，都是從幾何學(xué)開始的，因此幾何學(xué)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域里一門極為重要的學(xué)科。
名稱由來
“幾何學(xué)”一詞，拉丁文是geometria，英文名為“Geometry”，希臘文，是由（土地）和（測量）二字合成，原義是土地測量的意思。幾何學(xué)的產(chǎn)生與土地測量有關(guān)。中文里的幾何學(xué)一詞是由中國明朝的數(shù)學(xué)家徐光啟（公元1562~1633年）翻譯名著《幾何原本》時翻譯得來。
研究對象
幾何學(xué)的研究對象是研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系，只研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系，而不考慮物體的其他性質(zhì)。點(diǎn)、線、面或若干個點(diǎn)、線、面組合在一起，就形成了幾何圖形。
恩格斯認(rèn)為幾何學(xué)的對象側(cè)重研究現(xiàn)實物質(zhì)世界的空間形式，而算術(shù)、代數(shù)和函數(shù)等側(cè)重研究現(xiàn)實物質(zhì)世界的數(shù)量關(guān)系，恩格斯的論斷表明幾何學(xué)的對象主要是研究現(xiàn)實世界的空間形式，幾何對象來源于客觀世界，幾何對象是抽象化和理想化的概念。
分類
平面幾何
平面幾何是研究平面上的圖形和性質(zhì)的，是歐幾里得平面幾何的基礎(chǔ)部分，通常稱具有這些性質(zhì)的這個平面為歐幾里得平面，或歐幾里得二維空間，它就是解釋平面的一個數(shù)學(xué)模型。在這個平面上，平行線的理論滿足歐幾里得平行公理：“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”，根據(jù)這條公理可以推出“三角形的內(nèi)角和等于二直角”等。尼古拉·羅巴切夫斯基平面幾何和伯恩哈德·黎曼平面幾何，也都是研究平面上圖形性質(zhì)的幾何學(xué)，所研究的這個平面，前者稱為羅巴切夫斯基平面，后者稱為黎曼平面，它們也都是解釋平面的不同數(shù)學(xué)模型。但是，在羅氏平面上，平行線的理論滿足羅氏平行公理：“過直線外任一點(diǎn)至少存在兩條直線與已知直線不相交”，根據(jù)這條公理可以推出“三角形的內(nèi)角和小于二直角”，在平面上不存在“不相交的兩條直線”，即滿足黎氏平行公理：“過直線外任一點(diǎn)不存在直線與已知直線不相交”，根據(jù)這條公理可以推出“三角形的內(nèi)角和大于二直角”。
立體幾何
立體幾何是研究空間圖形大小、形狀和相互位置關(guān)系等幾何性質(zhì)的科學(xué)，主要介紹空間幾何學(xué)的一些基本概念以及幾何形體之間的關(guān)系，著重討論了空間直線和平面的位置關(guān)系、空間立體的體積、表面積的計算公式。立體幾何是三維歐氏空間的幾何學(xué)的傳統(tǒng)名稱，又稱空間幾何學(xué)，即初等幾何學(xué)的空間部分。立體幾何是建立在歐幾里得公理體系基礎(chǔ)上的三維歐氏空間幾何學(xué)，故又稱為三維歐幾里得幾何，簡稱三維歐氏幾何。
基本概念
圖形
歐幾里得定義點(diǎn)為沒有可以分割的部分。以及通過使用代數(shù)或嵌套的集合。在幾何學(xué)中，用“點(diǎn)”來標(biāo)記一個位置，點(diǎn)就是位置的抽象化。抽象地來說，就是一個“動點(diǎn)”從一個點(diǎn)的位置移動到另一個點(diǎn)的位置。
歐幾里得將線定義為只有長度沒有寬度。幾何學(xué)中用“線段”表示動點(diǎn)所經(jīng)過的路徑，且最短路徑唯一存在，把線段的一段無限延伸，可以得到一條射線，射線只有一個端點(diǎn)。各線段中以直線段最簡單也最基本，直線沒有端點(diǎn)，可以向兩端無限延伸。相異兩點(diǎn)定一直線，相反，相交兩直線定一點(diǎn)。
認(rèn)為面只有長度和寬度，面的邊緣是線。在各種“面”中，以平面為最簡單、最常用，平面就是一個到處平直而且可以向四方無限延伸的面。它的特性是：對于面上任給相異兩點(diǎn)、，其所決定的直線完全包含在這個面之內(nèi)。主要推論：不共線三點(diǎn)定一平面；一直線及線外一點(diǎn)決定一平面；相交兩直線決定一平面。
由一點(diǎn)出發(fā)的兩個射線所構(gòu)成的圖形叫做角。平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。兩條射線的公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，組成角的射線叫做角的邊。
在平面上不相交的兩條直線叫做平行線。用符號“”表示，若直線平行于直線，則記作。
在幾何學(xué)中，體是幾何體的簡稱，比如長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體。
如果點(diǎn)集是由開的直線段上的點(diǎn)所組成，它到內(nèi)的點(diǎn)集建立的對應(yīng)是一個拓?fù)溆成洌瑒t稱B為簡單曲線段。即簡單曲線段是開的直線段在中的同胚象。直觀地說，對直線段進(jìn)行不粘連、不斷裂的任意彎曲變形后，就得到一條簡單曲線段。例如圓弧、圓柱螺線等。
流形是局部具有歐氏空間性質(zhì)的拓?fù)淇臻g，粗略地說，流形上每一點(diǎn)的附近和歐氏空間的一個開集是同胚的，流形正是一塊塊歐氏空間粘起來的結(jié)果。流形具有整體上的柔性和可流動性。如果流形上每兩個點(diǎn)之間可以連續(xù)地過渡，那么稱為連續(xù)流形。而如果流形由離散的點(diǎn)組成，則稱為離散流形。
測量
長度是一維空間的度量，是國際單位制中的七個基本物理量的量綱之一，一般用符號表示。通常在量度二維空間中量度直線邊長時，稱長度數(shù)值較大的為長，不比它的值大或者在“側(cè)邊”的為寬。所以寬度其實也是長度量度的一種，所以在三維空間中量度“垂直長度”的高。測量工作的法定長度計量單位為公制單位，具體換算如下：1米=10分米=100厘米=1000毫米；1百米=100米；1千米=1000米。
面積是指平面上一個封閉圖形所包圍的平面部分（區(qū)域）的大小。取定一個平面圖形（一般取邊長等于長度單位的正方形）作為計算面積的單位，叫做面積單位。將平面封閉圖形包圍的區(qū)域所含有面積單位的數(shù)量，叫做該圖形的面積，一般用符號表示。比如平行四邊形的面積以底和高的乘積作為度量；三角形的面積以底高乘積的一半作為度量；梯形的面積以兩底之和的一半與高的乘積作為度量。
體積是指物體所占空間的大小，一般用符號表示。計量體積的常用單位有立方厘米、立方分米和立方米。為了唯一地度量體積，取棱長等于單位長的立方體作為體積單位（與它所對應(yīng)的數(shù)是1），于是任何體積的度量數(shù)，就是該體積與單位體積的比值。
性質(zhì)
在幾何學(xué)中，如果兩個形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合，則把這兩個圖形叫做全等形（congruent figures）。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。全等三角形判定定理：兩邊和夾角對應(yīng)相籌的兩個三角形全等。設(shè)有三角形和三角形，如果的長度等于的長度，的長度等于的長度，，則這兩個三角形全等。
在幾何學(xué)中，把形狀相同的圖形叫做相似形（similar figures），兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到。兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形（similar polygons）。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（similarity ratio）。在相似多邊形中，最簡單的就是相似三角形（similar triangles）。相似三角形判定定理：兩對對應(yīng)邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似。在兩個三角形與中，如果與的長度比和與的長度比相等，而且與相等，則已知兩個三角形相似。
如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形（axi-symmetric figure），這條直線就是它的對稱軸（axis of symmetry）。此時這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱；把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，叫做對稱點(diǎn)（symmetric points）。
把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱（central symmetry），這個點(diǎn)叫做對稱中心（簡稱中心）。這兩個圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對稱中心的對稱點(diǎn)。
簡史
古代時期
幾何學(xué)是在人類生活和生產(chǎn)實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，有著古老文化的中國、埃及、巴比倫以及印度等文明古國都是幾何學(xué)的重要發(fā)源地。古埃及人最早把數(shù)學(xué)資料寫在草片上（公元前1700年），記載著一些數(shù)學(xué)問題和他們的解答。古代巴比倫人則把數(shù)學(xué)資料刻在印泥板上，后來的泥板表明，巴比倫天文學(xué)家實施了梯形程序來計算木星在時間速度內(nèi)的位置和運(yùn)動空間。這些幾何程序?qū)⑴＝蛴嬎闫鳎òㄆ骄俣?a href="/hebeideji/8607972194790743201.html">定理）提前了14個世紀(jì)。在中國，從出土的文物中可以看到，當(dāng)人類進(jìn)入石器時代，從打獵、捕魚和采集食物當(dāng)中，就初步認(rèn)識了一些簡單的幾何圖形。
幾何學(xué)概念的形成
在人類生活和從事生產(chǎn)的各種實踐活動中，通過接觸自然界一些物體的形狀、大小和位置關(guān)系，經(jīng)過人類的思考、抽象逐步形成了形體的觀念。古埃及人為了治理尼羅河定期泛濫情況，促進(jìn)幾何學(xué)——測地術(shù)的誕生。在埃及南部，古代努比亞人建立了一個幾何系統(tǒng)，包括早期版本的太陽鐘。“蘭德”紙草書（Rhind papyri）是尚存的最古老的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，載有85個數(shù)學(xué)問題，其中26個是關(guān)于幾何學(xué)的；印度幾何學(xué)最早記錄于《繩法經(jīng)》（Sulba sutras），記載了各種祭壇的結(jié)構(gòu)和測量準(zhǔn)則。《繩法經(jīng)》之后，算家之第一人當(dāng)推（Aryabhata，公元前476年~?），他的著作《阿耶波多文集》中涉及到的幾何知識有勾股定理、三角形的面積、圓的面積等。繼阿耶波多之后的另一位數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家（Brahmagupta，公元598~665年以后），他在公元628年完成了《婆羅摩修正體系》，婆羅摩多在幾何方面的杰出成果是獲得了四邊形的面積公式；在中國，幾何萌芽于舊石器時代。在公元前6000年左右，中國祖先就已經(jīng)會制造許多幾何形狀的彩陶器了。隨著農(nóng)牧業(yè)、手工業(yè)、土木建筑等的出現(xiàn)和發(fā)展，人們?yōu)榱私鉀Q生產(chǎn)中遇到的測量、制圖、幾何計算、天文等實際問題，開始探討各種幾何圖形的性質(zhì)和相互聯(lián)系，概括出某些幾何規(guī)律，逐步積累了更多的幾何知識，并在很早就發(fā)現(xiàn)了重要的直角三角形和簡易測量的知識。
歐幾里得幾何
在幾何學(xué)的早期發(fā)展中，希臘人吸收了埃及的文化并加以發(fā)展，他們把從古埃及和古巴比倫得來的經(jīng)驗知識加以思考、整理使其理論化，而且把理論知識應(yīng)用于實際。在這方面做出重要貢獻(xiàn)的是世界上最早的數(shù)學(xué)家塔利斯（Thales，前624~前546年），他被人們推崇他為古希臘七賢之首，在歷史上人們稱他為“科學(xué)之祖”。他在研究對頂角、三角形全等和相似及其應(yīng)用等方面做出了重要貢獻(xiàn)。著名哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580~前568年生，公元前501~前500卒）在數(shù)學(xué)方面的主要成就是畢達(dá)哥拉斯定理，中國稱為勾股定理，也稱商高定理。此后，數(shù)學(xué)家（Euelid，約公元前330~前275年）系統(tǒng)地總結(jié)前人工作，寫出了偉大的著作《》（Elements），定義了最原始的點(diǎn)、線、面，并且提出了5條公理和5條公設(shè)。
歐幾里得之后的平面幾何學(xué)
在歐幾里得之后，公元前2世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)、力學(xué)家阿基米德（Archimedes，公元前287~前212年）證明了圓面積等于以半圓周為長邊，以半徑為短邊的長方形的面積；給出了圓周率的界：，以及正圓柱、圓錐表面與球面積的計算公式等。與阿基米德幾乎同一時期的古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius，公元前262~前190年）系統(tǒng)地研究了圓錐曲線的性質(zhì)，他還證明了：平面上給定兩點(diǎn)和，以及常數(shù)，使的動點(diǎn)的軌跡是圓，其中的圓即是阿波羅尼奧斯圓。公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯（D.Menelaus，公元1世紀(jì)）證明了，分別在的三邊，和上的點(diǎn)，和共線的充要條件是。這就是梅涅勞斯定理。之后，古希臘數(shù)學(xué)家克羅狄斯·托勒密（C.Ptolemy，約公元100~170年）證明了下面的托勒密定理：凸四邊形內(nèi)接于圓的充要條件是，它的對角線乘積之和等于對邊乘積之和，古希臘數(shù)學(xué)家海倫曾經(jīng)評注過的《》，增補(bǔ)了一些新定理，包括他本人給出的正多邊形面積公式，圓臺、棱臺、截球體和正多面體等的體積公式，以及阿基米德所發(fā)現(xiàn)的海倫公式。到公元3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)的黃金時代已成過去，這時期的古希臘數(shù)學(xué)家主要工作是搜集、整理和評注歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼斯等人的著作。
近代時期
推動幾何學(xué)第二個重要的、歷史性發(fā)展的人是勒內(nèi)·笛卡爾（Descarte，1596~1650年）。他是法國哲學(xué)家，不是專門研究數(shù)學(xué)的。他用坐標(biāo)的方法，把幾何學(xué)變成了代數(shù)。在此期間，歐幾里得的第5公設(shè)（平行公設(shè)）存在一定問題，人們對“第五公設(shè)”整整研究了兩千多年，最終非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)不僅解決了平行公設(shè)的問題，而且把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)模型中解放出來，創(chuàng)造了許多不同體系的幾何學(xué)道路。非歐幾何的發(fā)現(xiàn)具有較大的社會意義，因為它表示空間不一定只有一個。一個空間可以有好幾種坐標(biāo)，怎樣描述空間，空間有什么樣的幾何學(xué)性質(zhì)，針對這一問題高斯與伯恩哈德·黎曼建立和發(fā)展了這方面的理論。他們把坐標(biāo)一般化，使坐標(biāo)不一定有意義，即空間的個數(shù)是無窮的，有很多很多不同的空間。
射影幾何
射影幾何學(xué)是一門討論在把點(diǎn)射影到直線或平面上的時候，圖形的不變性質(zhì)的一門幾何學(xué)。射影幾何是迪沙格和帕斯卡在1639年開辟的，最終由彭賽勒的研究使得射影幾何真正獨(dú)立。1822年，他發(fā)表了《論圖形的射影性質(zhì)》一文。后來，他的許多概念被斯坦納進(jìn)一步發(fā)展。1847年，斯陶特發(fā)表了《位置幾何學(xué)》一書，使射影幾何最終從測量基礎(chǔ)中解脫出來。射影幾何學(xué)在航空、攝影和測量等方面都有廣泛的應(yīng)用。18世紀(jì)后期，加斯帕爾·蒙日提出了二維平面上的適當(dāng)投影表達(dá)三維對象的方法，因而從提供的數(shù)據(jù)能快速算出炮兵陣地的位置，避開了冗長的、麻煩的算術(shù)運(yùn)算。后來研究證明，采用度量適當(dāng)?shù)纳溆岸x，能在射影幾何的范圍內(nèi)研究度量幾何學(xué)。將一個不變圓錐曲線添加到平面上的射影幾何中，就能得到傳統(tǒng)的非歐幾何學(xué)。在19世紀(jì)晚期和20世紀(jì)初期，對射影幾何學(xué)作了多種公設(shè)處理，并且有限射影幾何學(xué)也被發(fā)現(xiàn)。事實證明，逐漸地增添和改變公設(shè)，就能從射影幾何過渡到歐幾里得幾何，其間經(jīng)歷了許多其它重要的幾何學(xué)。
解析幾何
在迪沙格和帕斯卡開辟了射影幾何的同時，勒內(nèi)·笛卡爾和皮耶·德·費(fèi)瑪開始構(gòu)思解析幾何的概念。這兩項研究之間存在一個根本區(qū)別：前者是幾何學(xué)的一個分支，后者是幾何學(xué)的一種方法。塔比特·伊本·古拉（Thābitibn Qurra，公元836~901年）處理了應(yīng)用于幾何數(shù)量比率的算術(shù)運(yùn)算，并為解析幾何的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyám，1048~1131年）發(fā)現(xiàn)了三次方程的幾何解。1637年，笛卡爾（Descarte，1596~1650年）出版《幾何》一書，發(fā)明了笛卡爾坐標(biāo)系，創(chuàng)立了解析幾何。《幾何》通過使用代數(shù)方法解決幾何問題，重點(diǎn)討論了冠以古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯（Pappus of Alexandria，公元前290年~公元前350年）名字的帕普斯問題。在解析幾何出現(xiàn)之前，幾何和代數(shù)是分開的，幾何的問題只能通過幾何的方法解決，代數(shù)的問題也只能通過代數(shù)的方法解決。
解析幾何的基本思想是用代數(shù)法研究幾何性質(zhì)，把形和數(shù)完全融合為一體，用有序的實數(shù)組表示點(diǎn)，用方程表示直線，平面或其他曲線和曲面。十六世紀(jì)末，維特（Viete）所著的“代數(shù)”啟發(fā)了笛卡爾（Descarte，1596~1650年）和皮耶·德·費(fèi)瑪（Fermat，1601~1655年），使他們想到可以用新興的代數(shù)學(xué)作為研究幾何學(xué)的有力工具，解析幾何的產(chǎn)生不但為空間的研究開辟了新的途徑，而且把整個幾何學(xué)的研究從原先“定性的層面”推進(jìn)到能進(jìn)行有效計算的“定量的層面”。費(fèi)馬和笛卡爾研究解析幾何的方法不同，費(fèi)馬是從方程出發(fā)來研究它的軌跡，而笛卡爾是從軌跡出發(fā)建立它的方程，這是解析幾何中一個問題的正反兩個方面的提法，這兩種提法各有側(cè)重，費(fèi)馬是從代數(shù)到幾何學(xué)，而笛卡爾是從幾何學(xué)到代數(shù)。解析幾何的產(chǎn)生，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，并為牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分開辟了道路，為數(shù)學(xué)分析的出現(xiàn)提供了基礎(chǔ)。
非歐幾何
非歐幾何有三種不同的含義：狹義的，單指羅氏（尼古拉·羅巴切夫斯基）幾何學(xué)；廣義的，泛指一切和歐氏（歐幾里得）幾何不同的幾何學(xué)；通常意義的，指羅氏幾何和黎曼幾何。歐幾里得的第5公設(shè)（平行公設(shè)）在數(shù)學(xué)史上占有特殊的地位，它與前4條公設(shè)相比，性質(zhì)顯得太復(fù)雜了。為了尋求真理，許多數(shù)學(xué)家對平行公理進(jìn)行了長期艱苦的工作。最終非歐幾何的發(fā)現(xiàn)不僅解決了平行公設(shè)的問題——平行公設(shè)被證明是獨(dú)立于歐氏幾何的其它公設(shè)的，而且把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)模型中解放出來，創(chuàng)造了許多不同體系的幾何學(xué)道路。
尼古拉·羅巴切夫斯基（JIoóa(chǎn)yeBKй，1792~1856年）認(rèn)識到歐幾里得平行公理是建立歐氏幾何所必需的，如果采用一個與此相矛盾的命題從一組新公理來推導(dǎo)結(jié)論，便產(chǎn)生了新的幾何學(xué)——羅氏幾何。以羅巴切夫斯基的觀點(diǎn)為例，在所有不用歐氏平行公理的地方證明與歐氏幾何相同的結(jié)果，而涉及第五公設(shè)時，他假設(shè)過直線外一點(diǎn)至少可作兩條直線與已知直線不相交，都是該直線的平行線，繼而推導(dǎo)出一整套的與歐氏幾何平行的理論體系，并且在物理學(xué)中得到應(yīng)用。羅氏幾何的發(fā)現(xiàn)是19世紀(jì)關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識上的最大進(jìn)展。它的直接結(jié)果使歐氏平行公理對其他公理是獨(dú)立的。尼古拉·羅巴切夫斯基為非歐幾里得幾何的生存和發(fā)展奮斗了三十多年，為了擴(kuò)大非歐幾何的影響，爭取早日取得學(xué)術(shù)界的承認(rèn)，除了用俄文外，他還用法文、德語發(fā)表了自己的著作，同時還精心設(shè)計了檢驗大尺度空間幾何學(xué)特性的天文觀測方案。不僅如此，他還發(fā)展了非歐幾何的解析和微分部分，使之成為一個完整的、有系統(tǒng)的理論體系。羅氏幾何的發(fā)現(xiàn)，打破了歐氏幾何一統(tǒng)空間的觀念，促進(jìn)了人類對幾何學(xué)廣闊領(lǐng)域的進(jìn)一步探索。
非歐幾何除了羅氏幾何還有黎曼幾何，黎曼幾何是德國數(shù)學(xué)家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826~1866）在繼承和發(fā)展高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何思想的同時，把幾何學(xué)的對象從一維、二維推向高維，引入了流形的概念，并利用高斯曲率定義了黎曼曲率張量，由此創(chuàng)立了黎曼幾何。內(nèi)蘊(yùn)幾何最早由高斯提出，并給出若干內(nèi)蘊(yùn)研究方式的案例，使得更多的微分幾何問題的解決成為可能。gaussian形成內(nèi)蘊(yùn)幾何思想并認(rèn)識到內(nèi)蘊(yùn)思想重要性的關(guān)鍵，在于一個被他稱為絕妙的：“如果一個曲面可以展到另一個曲面，對應(yīng)點(diǎn)的曲率保持不變。”即總曲率是內(nèi)蘊(yùn)的。1854年，黎曼在就職講師的演講中，提出了另一種不同于、也不同于尼古拉·羅巴切夫斯基的新幾何學(xué)，首次提出流形的概念，在流形上定義度量、曲率，通過引入這些新概念，解決空間本質(zhì)和幾何學(xué)建構(gòu)的基本問題。黎曼認(rèn)為，平行是不存在的，即“在一個平面上過直線外一點(diǎn)的所有直線，都與這一直線相交。”黎曼用上述命題作為公理，替代歐幾里得的平行公理，并由此推出了“三角形內(nèi)角和大于180°”的結(jié)論。黎曼不但將內(nèi)蘊(yùn)導(dǎo)數(shù)幾何學(xué)推廣至高維，而且轉(zhuǎn)變了內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的研究對象，使得不依賴于歐氏空間背景的流形成為研究對象。
就在黎曼逝世的第三個年頭，羅巴切夫期基逝世的第十二個年頭，1868年，意大利數(shù)學(xué)家歐金尼奧·貝爾特拉米（Beltrami，1935~1900年）發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實現(xiàn)，這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐氏幾何命題，如果歐氏幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。同時，他還給出了非歐幾里得幾何在歐氏空間的曲面上的實際解析。例如，把黎曼幾何看成類似于球面上的幾何學(xué)等。兩年后，德國數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因（Klein，1849~1925年）也給出了另一種實際解析，他把歐氏幾何稱為“拋物幾何”，因為它的直線有一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；而羅氏制藥幾何稱為“雙曲幾何”，因為它的直線有兩個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；黎曼幾何則稱為“橢圓幾何”，它的直線沒有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。經(jīng)歐金尼奧·貝爾特拉米和克萊因兩人的解析，非歐幾何終于得到了人們的認(rèn)可。尼古拉·羅巴切夫斯基和黎曼的獨(dú)創(chuàng)性研究也由此得到學(xué)術(shù)界的高度評價和一致贊美，這時的羅巴切夫斯基則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的尼古拉·哥白尼”。
現(xiàn)代時期
拓?fù)鋵W(xué)
拓?fù)鋵W(xué)（Topology）原名叫做位置分析（Analysis situs），是研究圖形（或集合）在連續(xù)變形下還能保持不變的一些整體性質(zhì)的一門學(xué)科。在拓?fù)鋵W(xué)中人們只關(guān)心對象間的位置關(guān)系而不考慮它們的形狀和大小。拓?fù)鋵W(xué)可分為一般（點(diǎn)集）拓?fù)鋵W(xué)、組合拓?fù)鋵W(xué)（代數(shù)拓?fù)?/a>）和微分拓?fù)鋵W(xué)。拓?fù)鋵W(xué)最早可以追溯到兩千多年前（Euclid，約公元前330~公元前275年）所建立的歐氏幾何學(xué)，當(dāng)時的Klein最先定義拓?fù)鋵W(xué)為空間（在Klein那里意味著歐氏空間）的從屬于最一般的一對一連續(xù)變換群的幾何學(xué)。即維實數(shù)空間的一對一連續(xù)變換稱的拓?fù)渥儞Q，簡寫為。后來經(jīng)過法國數(shù)學(xué)家H.龐伽萊（H.Ponicaré，1854~1912年）工作的研究，拓?fù)鋵W(xué)逐漸成為比較成熟的數(shù)學(xué)分支和活躍的研究方向。中文“拓?fù)鋵W(xué)”一詞最早由陳省身根據(jù)英文Topology音譯而來。主要研究幾何學(xué)圖形或空間在連續(xù)變換形狀后保持不變的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)通常稱為拓?fù)湫再|(zhì)。
計算幾何學(xué)
計算幾何學(xué)于20世紀(jì)70年代末從算法設(shè)計與分析中分化而來，既是一門數(shù)學(xué)，又是計算機(jī)理論，已在計算機(jī)領(lǐng)域被廣泛認(rèn)同的新型學(xué)科。主要研究幾何學(xué)模型和數(shù)據(jù)處理的相關(guān)問題，探討幾何學(xué)形體的計算機(jī)表示，并分析和設(shè)計，如何靈活、有效地建立幾何學(xué)形體的數(shù)學(xué)模型以及在計算機(jī)中更好地存儲和管理這些模型數(shù)據(jù)。在圖形學(xué)、機(jī)器人技術(shù)、超大規(guī)模集成電路設(shè)計和統(tǒng)計等諸多工程與數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著十分重要的應(yīng)用。
凸幾何學(xué)
凸幾何學(xué)（Convex Geometry）是19世紀(jì)下半葉萌芽、20世紀(jì)初形成、20世紀(jì)中后期蓬勃發(fā)展起來的一門現(xiàn)代幾何學(xué)科。凸幾何學(xué)的核心內(nèi)容為Brunn-Minkowski理論，主要發(fā)端于經(jīng)典的等周問題。19世紀(jì)末期，H.Minkowski證明了下面的著名不等式：
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)與同位相似。這里，表示維歐氏空間中的凸體（即中有非空內(nèi)點(diǎn)的緊致凸集），，表示上的Lebesgue測度，+表示Minkowski加法。上面的不等式被稱為Brunn-Minkowski不等式，其三維情形最早由H.Brunn在19世紀(jì)中后期給出。
20世紀(jì)初，凸幾何學(xué)繁榮發(fā)展。A.D.Aleksandrov、W.Fenchel、B.Jessen等數(shù)學(xué)家的工作使得凸幾何學(xué)得到了進(jìn)一步的發(fā)展。他們提出了混合面積測度的概念，討論了凸體的投影理論和均質(zhì)積分，得到了另一個有著基本重要性的不等式一Aleksandrov-Fenchel不等式。A.D.Aleksandrov還將凸幾何學(xué)理論應(yīng)用到了橢圓型偏微分方程的研究當(dāng)中；W.Blaschke和他領(lǐng)導(dǎo)的積分幾何學(xué)派主要討論了二維和三維的凸幾何學(xué)，定義了凸體的Blaschke和等重要的幾何學(xué)概念，建立了著名的Blaschke-Santalo不等式。中國數(shù)學(xué)家陳省身、吳大任在這一時期也對凸幾何學(xué)做出了重要的貢獻(xiàn)。
進(jìn)入20世紀(jì)90年代，R.J.Gardner、G.Y.Zhang、A.Koldobsky、K.Ball、A.A.Giannopoulos等數(shù)學(xué)家對于Busemann-Petty截面問題的研究使得整個凸幾何學(xué)理論的發(fā)展達(dá)到高潮。比如E.Lutwak，D.Yang和張高勇（G.Zhang）等人在凸幾何學(xué)與傳統(tǒng)的信息論之間建立了聯(lián)系，通過R.J.Gardner和A.Vassallo等人的工作，使得凸幾何學(xué)在體視學(xué)（stereology）與機(jī)器人學(xué)中的幾何學(xué)探索（geometric probing）等領(lǐng)域得到了應(yīng)用，并且已經(jīng)形成了一門新的交叉學(xué)科——“幾何斷層學(xué)”（Geometric Tomograply）。凸幾何學(xué)還在醫(yī)學(xué)（X-射線光機(jī)、CT掃描、核磁共振）、計算機(jī)模式識別、仿晶學(xué)（sryslallography）、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域得到了越來越多的應(yīng)用。
相關(guān)著作
《幾何原本》
《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數(shù)學(xué)的成果與精神于一身，既是數(shù)學(xué)巨著，也是哲學(xué)巨著，并且第一次完成了人類對空間的認(rèn)識。該書自問世之日起，在長達(dá)兩千多年的時間里，歷經(jīng)多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版，已有一千多種不同版本。《幾何原本》共有十三卷，首先給出了點(diǎn)、線、面等定義，接著給出了關(guān)于幾何學(xué)和量的10條公理，如“凡直角都相等”“整體大于部分”，以及后來引起許多紛爭的“平行線公理”，等等，公理后面是一個一個的命題及其證明。比如有平面作圖、、余弦定理等問題，此外還有比例的理論，正整數(shù)的性質(zhì)與分類，無理量等，公理化結(jié)構(gòu)是近代數(shù)學(xué)的主要特征，《》是公理化結(jié)構(gòu)的最早典范。
《幾何》
《幾何》由法國數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾出版于1637年，被公認(rèn)為解析幾何學(xué)誕生的標(biāo)志。《幾何》一書把代數(shù)應(yīng)用于幾何，使兩者結(jié)合起來的產(chǎn)物，建立了曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，對一個含有被笛卡爾稱作“未知和未定的量”和的代數(shù)方程，如果任意給一個值，從這個方程就可得到的一個值。《幾何》共分為三部分：第一部分是“僅使用直線和圓的作圖問題”。在這一部分中，笛卡爾將作圖問題歸納為作出未知線段；第二部分是“曲線的性質(zhì)”，主要介紹曲線的含義、分類及軌跡問題。在這一部分中，勒內(nèi)·笛卡爾認(rèn)為前人對曲線的分類毫無意義，他重新對曲線的概念進(jìn)行論述。第三部分是“立體與超立體問題的作圖”。這部分內(nèi)容關(guān)注的是方程的性質(zhì)以及如何求解方程。
《幾何基礎(chǔ)》
戴維·希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》第一版出版于1899年，以嚴(yán)格的公理化方法重新闡述了歐幾里得幾何學(xué)，書中首先給出不定義的概念一點(diǎn)、線、平面、在……之間、一對點(diǎn)重合、角的重合，然后列舉了歐幾里得幾何的公理系統(tǒng)，并用這些公理證明了歐幾里得幾何的一些基本定理。此外還證明了這些公理是獨(dú)立的。《幾何基礎(chǔ)》是數(shù)學(xué)史上的一部具有劃時代意義的著作。希爾伯特在世時，他所著的《幾何基礎(chǔ)》的最后一版是第七版。去世以后，他的學(xué)生P.貝爾耐斯（Ber. nays）對第七版進(jìn)行多次增補(bǔ)、修訂，到1977年出到第十二版。補(bǔ)篇中所增加的大部分內(nèi)容是受H.弗里敦塔爾（H.Freuden- thal）所寫的“關(guān)于幾何基礎(chǔ)的歷史”（Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie，見數(shù)學(xué)的新記錄（Nieuw Archief Voor Wiskunde）（4），第105頁一第142頁（1957））一文的啟發(fā)，特別是其中對原書闡述面積的理論及其應(yīng)用所作的批評，他曾以此文題獻(xiàn)于戴維·希爾伯特《幾何基礎(chǔ)》第八版一書。
相關(guān)定理
平面幾何
1.平行線性質(zhì)定理：兩條平行線與第三條直線相交，則同位角、內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角和等于二直角。
2.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面內(nèi)的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條直線垂直。
3.畢達(dá)哥拉斯定理：在直角三角形夾直角的兩個邊上畫出的兩個正方形面積之和等于直角所對的斜邊上畫出的正方形面積。
4.三角形面積公式：
5.三角形共邊定理：設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，則
解析幾何
在平面內(nèi)畫兩條相互垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸叫做平面直角坐標(biāo)系，（rectangular coordinate system），水平的數(shù)軸稱為軸（x-axis）或橫軸，習(xí)慣上取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為軸（y-axis）或縱軸，取向上方向為正方向；兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角。
數(shù)學(xué)中，把既有大小又有方向的量叫做向量。通常用有向線段（directed line segment）表示向量，以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的有向線段記作向量，線段的長度也叫做有向線段的長度，記作。
1.若向量，則向量和向量共線的充分必要條件是可以寫成的數(shù)乘，即，其中是由，唯一確定的一個實數(shù)。
2. 若、、為三個不共面的向量，則空間中的任意一個向量都可以寫成、、的線性組合，即存在不全為零的實數(shù)、、使得
。其中數(shù)量、、由、、、唯一確定。
3.設(shè)空間坐標(biāo)系Ⅰ到坐標(biāo)系Ⅱ的過渡矩陣是。則Ⅰ和Ⅱ同定向的充分必要條件為；從而它們是反定向的充分必要條件為。
4. 已知平面內(nèi)兩點(diǎn)和，且點(diǎn)分的比是，那么分點(diǎn)的坐標(biāo)是。
微分幾何
給出一點(diǎn)集，如果對于中每一個點(diǎn)，有一個確定的問量和它對應(yīng)，則可以說，在上給定了一個向量函數(shù)，記作。
如果曲線中的每個分量都是函數(shù)；，對任意t∈ （a,b） 成立。則曲線稱為正則曲線。
平面上不自交的閉曲線稱為約爾當(dāng)（Jordan）曲線．約爾當(dāng)曲線分平面為兩部分，并且每一部分都以此曲線為邊界，它們中間一個是有限的，另一個是無限的，其中有限的區(qū)域稱為初等區(qū)域。如果平面上初等區(qū)域到三維歐氏空間是一一對應(yīng)的，雙方連續(xù)的在上映射，則把三維歐氏空間中的象稱為簡單曲面。
1.唯一性定理：設(shè)，是中兩條以弧長為參數(shù)的正則參數(shù)曲線，。如果它們的曲率處處不為零，且有相同的曲率函數(shù)和撓率函數(shù)，即，，則有中的一個剛體運(yùn)動將變成。
2.存在性定理：設(shè)，是定義在區(qū)間上的任意二個給定的連續(xù)可微函數(shù)，并且。則除了相差一個剛體運(yùn)動之外，存在唯一的中的正則曲線，使得是的弧長參數(shù)，且分別以給定的函數(shù)和為它的曲率和撓率。
3.梅尼埃（Meusnicr）定理：曲面曲線在給定點(diǎn)的曲率中心就是與曲線曲線具有共同切線的法截線上同一個點(diǎn)的曲率中心在曲線的密切平面上的投影。
4.羅德里格（Rodrigues）定理：如果方向是主方向，則，其中，是曲面沿方向的法曲率。反之，如果對于方向有，則是主方向，且，是曲面沿方向的法曲率。
幾何作圖
尺規(guī)作圖
尺規(guī)作圖是指用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖。直尺的功能僅僅是作為一個畫直線的工具，而不能用以測量或標(biāo)示出距離。只用直尺和圓規(guī)作圖的傳統(tǒng)要回溯到古希臘時期，希臘人認(rèn)為直線和圓是最基本的圖形，而直尺和圓規(guī)使它們具體化，所以便選擇只用這兩種工具作圖。尺規(guī)作圖有五項“公法”：
（1）根據(jù)兩個已經(jīng)確定的點(diǎn)作出經(jīng)過這兩個點(diǎn)的直線。
（2）以一個已經(jīng)確定的點(diǎn)為圓心，以兩個已經(jīng)確定的點(diǎn)之間的距離為半徑作圓。
（3）確定兩個已經(jīng)作出的相交直線的交點(diǎn)。
（4）確定已經(jīng)作出的相交的圓和直線的交點(diǎn)。
（5）確定已經(jīng)作出的相交的兩個圓的交點(diǎn)。
古希臘人在研究尺規(guī)作圖過程中，提出了三個著名的尺規(guī)作圖問題，稱為三大不可能問題。即三分角問題：把一個給定角三等分；倍立方問題：作一個立方體使它的體積是已知立方體體積的兩倍；圓化方問題：作一個正方形使它的面積等于已知圓的面積。要想用圓規(guī)和直尺解決以上3個作圖問題，是根本不可能的。古希臘三大作圖問題直到19世紀(jì)，經(jīng)過兩千多年的探索，最后才證明在尺規(guī)的限制下，根本不可能作出所要求的圖形。并在探索這三個問題的過程中隱含了近代代數(shù)學(xué)的思想。其中，法國數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅瓦解決了古希臘三大尺規(guī)作圖問題的兩個問題：“三等分任意角”和“倍立方體”。
軟件做圖
隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用使得數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)技術(shù)更加方便，簡化了教學(xué)過程中存在的問題，具有較強(qiáng)的直觀性和針對性，大大地促進(jìn)了學(xué)生對知識的理解。 而幾何畫板軟件根據(jù)其自身優(yōu)點(diǎn)實現(xiàn)了教學(xué)過程中圖形和數(shù)據(jù)方面的直觀表達(dá)，將抽象的數(shù)學(xué)論述可視化，形象、 直觀、動態(tài)地展示數(shù)學(xué)知識。幾何畫板是由美國 Key Curriculum Press 研制的數(shù)學(xué)軟件，主要功能有繪制函數(shù)、幾何圖形度量計算、動畫、迭代等，其在動畫過程中，能保持和突出幾何關(guān)系，可以構(gòu)造出各種幾何圖形和解析幾何中的所有曲線。
幾何學(xué)公理系統(tǒng)
希爾伯特的前驅(qū)者
19世紀(jì)以后，幾何學(xué)空間概念發(fā)展的另一方向，是按照所研究流形的微分幾何原則的分類，每一種幾何學(xué)都對應(yīng)著一種定理系統(tǒng)。在幾何學(xué)公理法結(jié)構(gòu)的領(lǐng)域里，第一個巨大的成就是帕士的研究“新幾何學(xué)講義”（Pasch，Vorlesungen über neuere Geometrie，1882）”。帕士認(rèn)為，幾何學(xué)的基本命題應(yīng)該從實驗得來，但是幾何學(xué)系統(tǒng)的進(jìn)一步的展開應(yīng)該循著純邏輯推斷的途徑進(jìn)行。為此他提出了12條公理以及關(guān)于圖形的合同概念的10條公理。雖然帕士的公理存在一定功績，但過分夸大了為建立點(diǎn)的順序所需要的公理的個數(shù)，也只是非常接近于達(dá)到展開幾何學(xué)的公理系統(tǒng)。
以后，意大利的學(xué)者們——G.丕阿諾（G.Peano）和他的學(xué)生們對幾何學(xué)基礎(chǔ)提供了一系列的工作。G.丕阿諾自己的研究“邏輯地敘述的幾何基礎(chǔ)”（Principii di geometria logicamente esp-osti，1889）講述了比較狹窄的課題。丕阿諾給出的只相當(dāng)于戴維·希爾伯特的第一和第二組公理，即關(guān)聯(lián)公理和順序公理。M.庇愛里（M.Pieri）在“作為演繹系統(tǒng)的初等幾何學(xué)”（Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo，1899）中獨(dú)創(chuàng)地提出了歐幾里得幾何的公理系統(tǒng)的建立。他認(rèn)為每一個運(yùn)動是點(diǎn)集合到自身的雙射，但是這還不是運(yùn)動的完備的定義，因為其余的公理還把補(bǔ)充性的限制加在這個概念上。但由于M.庇愛里為了形式的簡單，想要達(dá)到基本概念的極小個數(shù)，卻在實質(zhì)上把公理系統(tǒng)弄得非常復(fù)雜化，也就使得公理形態(tài)變得極為笨重。
希爾伯特的公理系統(tǒng)
人們對《幾何原本》中在邏輯結(jié)果方面存在的一些漏洞、破綻的發(fā)現(xiàn)，正是推動幾何學(xué)不斷向前發(fā)展的契機(jī)。最后德國數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert，1862~1943）在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，在1899年發(fā)表了《幾何基礎(chǔ)》。在這本書上，他不但提出了完備的幾何公理系統(tǒng)，而且還給出證明一個公理對于別的公理的獨(dú)立性和證明已知公理系統(tǒng)確實完備的普遍原則。希爾伯特的工作，完成了幾何學(xué)完善的公理體系——“希爾伯特公理體系”，希爾伯特的公理體系結(jié)構(gòu)包括基本概念和公理兩部分，其中基本概念包括“點(diǎn)”“直線”“平面”3個基本概念以及“點(diǎn)在直線上”“點(diǎn)在平面上”“一點(diǎn)介于兩點(diǎn)之間”“兩線段相等”“兩角相等”5個基本關(guān)系；公理分為5組、20條。主要有結(jié)合公理、順序公理、合同公理、連續(xù)公理以及平行公理。這個公理體系自然地劃分公理，使得幾何學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)變得非常清楚，公理系統(tǒng)的這種劃分，首先能夠單純而又簡明地寫出公理。其次，即使作為基礎(chǔ)的不是整個公理系統(tǒng)，而是按照自然方式劃分公理系統(tǒng)而成的某些組公理，依然能夠研究幾何學(xué)究竟可以展開到多遠(yuǎn)。
應(yīng)用
幾何學(xué)主要用來研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)，是數(shù)學(xué)中最基本的研究內(nèi)容之一，與代數(shù)、概率與統(tǒng)計在初中階段發(fā)揮著重要作用。幾何學(xué)可以很好得培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，并且已經(jīng)被應(yīng)用到更多領(lǐng)域。
物理領(lǐng)域
物理學(xué)發(fā)展到20世紀(jì)，幾何學(xué)被引入到物理理論中。阿爾伯特·愛因斯坦借助黎曼幾何構(gòu)建了廣義相對論，楊振寧發(fā)現(xiàn)規(guī)范場與纖維叢的對應(yīng)關(guān)系，而到1980年代后拓?fù)?a href="/hebeideji/2300291833082044051.html">量子場論的誕生，又將物理學(xué)推向了新的高峰。幾何學(xué)理論和相關(guān)概念在物理理論中大量使用，以至于有很多人說“物理就是幾何學(xué)”。1915年的廣義相對論，是物理學(xué)幾何化的第一個里程碑，微分幾何從此成為物理學(xué)家必須掌握的一門數(shù)學(xué)語言。流形（manifold），可以認(rèn)為就是各種各樣的圖形。為了能夠計算流行，必須得在流形上建立坐標(biāo)系。平直空間中向量可以隨便平移都不會發(fā)生改變，可是在彎曲空間中這種自由就不存在了。例如在球面上移動向量，同樣從赤道上出發(fā)開始“平動”（注意2維球面內(nèi)的向量方向只能切于球面），經(jīng)過橙色路徑后到達(dá)北極的指向與經(jīng)過藍(lán)色路徑到達(dá)北極的指向并不相同，這就是由球面的彎曲造成的效果。黎曼曲率就是利用這種效果來定義流形上每點(diǎn)的曲率。具體做法是讓初始向量從自家位置點(diǎn)出發(fā)，沿著閉合環(huán)路在家附近溜達(dá)一圈再回家，旅行之后的向量就會與出發(fā)前的向量有所差別。我們用向量代表這個變化量。
藝術(shù)領(lǐng)域
國際著名建筑師--女魔頭扎哈·哈迪德設(shè)計的北京的大興國際機(jī)場，被稱為世界七大奇跡之首。哈迪德本身是學(xué)數(shù)學(xué)出身，她創(chuàng)立了一個新的學(xué)派。這個學(xué)派最大的特點(diǎn)就是，用黎曼幾何，來取代歐式幾何。從空中鳥瞰大興機(jī)場的棚頂結(jié)構(gòu)，可以看到一個六芒星的結(jié)構(gòu)，建筑上有很多非常光滑的曲線，里面有兩組彼此垂直的曲線結(jié)構(gòu)。而它在幾何學(xué)中是對應(yīng)一個非常深刻的數(shù)學(xué)概念，叫做葉狀結(jié)構(gòu)。大興機(jī)場內(nèi)部的鋼架結(jié)構(gòu)，從本質(zhì)上講，它得到了兩族調(diào)和的葉狀結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)中間存在一個穩(wěn)定的奇異點(diǎn)。所以北京大興國際機(jī)場，完美的將藝術(shù)和幾何學(xué)結(jié)合在一起。
醫(yī)學(xué)領(lǐng)域
在醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域，共形幾何應(yīng)用非常廣泛，比如共形腦圖。人的大腦，形狀非常地復(fù)雜，有很多溝回，這些溝回，會隨著時間發(fā)生變化，比較兩個大腦是非常困難的，但通過共形變換可以把大腦映到單位球面上，并且這個映射基本是唯一的。得到這個映射之后，為大腦的每一點(diǎn)確定唯一的經(jīng)緯坐標(biāo)。這樣可以在大腦上精確地定位，進(jìn)行比較。
在醫(yī)學(xué)圖像中幾何的另一個應(yīng)用是關(guān)于癌癥檢測。大腸癌是男子常得的疾病，普通男子過了中年之后，腸子里面會長出一些息肉。如果息肉的位置長得不對，經(jīng)不斷摩擦它的脫氧核糖核酸復(fù)制次數(shù)就會非常多，這樣就非常容易出錯，出錯之后就會形成癌變。于是便有了虛擬腸鏡的方法，核心的想法就是——把腸子的皺褶打開攤平到整個平面上。如果以傳統(tǒng)方式來檢查，在活人身上是不可能實現(xiàn)的，但是用數(shù)字模型可以解決這個問題。虛擬腸鏡可以把所有腸壁的皺褶給攤開，把所有的息肉暴露出來，然后用CT來掃描人的直腸得到數(shù)字模型。最后，醫(yī)生通過戴上VR眼鏡就可以清楚的觀察腸道的內(nèi)壁。
安防領(lǐng)域
在安防領(lǐng)域，也用到大量的計算機(jī)視覺的知識。三維人臉識別、三維人臉注冊，非常普遍用到的數(shù)學(xué)幾何學(xué)原理。比如人臉曲面配準(zhǔn)。給定兩張三維人臉，在他們之間建立雙射。使用方法就是把三維人臉，用伯恩哈德·黎曼映照，映到二維的圓盤上。這樣通過降維攻擊，就把這三維問題變成了二維問題。二維問題，會簡化非常多。比如要把男孩的臉映到女孩的臉上。首先利用一些機(jī)器學(xué)習(xí)的方法，找到人臉上的特征點(diǎn)，比如眼角、鼻窩還有鼻尖，然后使特征點(diǎn)對齊。其次，使得整個的畸變達(dá)到最小。
參考資料 >
幾何在物理學(xué)中的妙用.中國科學(xué)院理論物理研究所.2023-11-11
幾何為萬物賦能——建筑、醫(yī)療、動漫、游戲…… | 世紀(jì)大講堂. 中國物理學(xué)會期刊網(wǎng).2023-11-11
數(shù)學(xué)三大核心領(lǐng)域概述之幾何. 中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院.2023-11-11
Neolithic Skywatchers.the Archaeological Institute of America.2023-11-16
陳省身：什么是幾何學(xué).成都市人民政府.2023-11-18
Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani.School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland.2023-11-16
Omar Khayyam.School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland.2023-11-16
【哥德巴赫】三大幾何作圖不能問題.中量大理學(xué).2023-11-08
3個看似簡單卻難倒了無數(shù)人的幾何問題，該如何解?.中國科學(xué)院高能物理研究所.2023-11-08
尺規(guī)作圖與古希臘三大作圖問題.中科院物理所.2023-11-08
淺談幾何的重要性.上海藝文教育.2023-11-13