復(fù)數(shù)（complex number）是指形如a+ib（a、b均為實(shí)數(shù)）的數(shù)，i稱為虛數(shù)單位，滿足i2=-1，通常記復(fù)數(shù)為z=a+ib，a、ib分別稱為其實(shí)部與虛部。由所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱為復(fù)數(shù)集或復(fù)數(shù)域，常用C表示。
復(fù)數(shù)的歷史可追溯到15世紀(jì)。1484年，法國(guó)數(shù)學(xué)家舒開（Chuquet）在《算術(shù)三編》中第一次在形式上給出了負(fù)數(shù)的平方根。1545年，意大利數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Girolcomo Cardano）在著作《大法》中首次把負(fù)數(shù)的平方根寫出來，其相關(guān)設(shè)想隱含著虛數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的加法、乘法運(yùn)算法則。1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（Descartes）在《幾何學(xué)》中給出了“虛數(shù)”這一名稱，虛數(shù)由此流傳開來，但此時(shí)一些數(shù)學(xué)家不承認(rèn)虛數(shù)。
從18世紀(jì)開始，虛數(shù)被廣泛地用于解決各種函數(shù)問題。1777年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Euler）在《微分公式》中首創(chuàng)了用符號(hào)作為虛數(shù)的單位，并創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的基本定理。1788年，挪威數(shù)學(xué)家韋塞爾（Wessel）用一個(gè)單位線段來表示復(fù)數(shù)的幾何意義，形成了其幾何術(shù)語(yǔ)定義以及平面向量的運(yùn)算法則。1831年，德國(guó)約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Gauss）在《哥廷根學(xué)報(bào)》上明確了復(fù)平面的概念，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算。1837年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓（Hamilton）將復(fù)數(shù)定義為一個(gè)有序的實(shí)數(shù)對(duì)，奠定了復(fù)數(shù)理論嚴(yán)格的純算術(shù)基礎(chǔ)。19世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論逐漸發(fā)展起來。
復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算包括加法、減法、乘法、除法、乘冪、方根等，其四則運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律等規(guī)律。復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，特別是在交流電、量子力學(xué)、信號(hào)處理和控制理論等方面發(fā)揮了重要作用。復(fù)數(shù)理論逐漸成熟，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)工具之一。
定義
虛數(shù)單位：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，是不能開平方的，故方程的解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是無解的，為了能夠使負(fù)數(shù)開平方，引入一個(gè)新的數(shù)，叫作虛數(shù)單位。它是方程的兩個(gè)解之一，其平方等于，即。
復(fù)數(shù)：形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中和是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)；稱為虛數(shù)單位，滿足，通常記復(fù)數(shù)為。和又分別稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，記作
。
當(dāng)時(shí)，，即為實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，稱之為純虛數(shù)。
由所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱為復(fù)數(shù)集或復(fù)數(shù)域，常用表示。
和是兩個(gè)復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，稱兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，記作。
歷史
早期研究
復(fù)數(shù)的歷史可追溯到15世紀(jì)。1484年，法國(guó)數(shù)學(xué)家舒開（Chuquet）在《算術(shù)三編》一書中，把方程的根寫為，第一次在形式上給出了負(fù)數(shù)的平方根。1545年，意大利數(shù)學(xué)家吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾（Gerolamo Cardano）在著作《大法》中，介紹了三次方程的求根公式，首次把負(fù)數(shù)的平方根寫出來。同時(shí)，他還討論了“負(fù)數(shù)的平方根”的某些性質(zhì)，并把正數(shù)的平方根稱為真實(shí)的根，負(fù)數(shù)的平方根為虛構(gòu)的根。意大利數(shù)學(xué)家拉法耶爾·蓬貝利（Rafael Bombelli）在其1572年出版的《代數(shù)學(xué)》中引入了復(fù)數(shù)運(yùn)算的方法。1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（Descartes）在《幾何學(xué)》中使“虛的數(shù)”與“實(shí)的數(shù)”相對(duì)應(yīng)，并給出了“虛數(shù)”這一名稱，虛數(shù)由此流傳開來。但也引起了數(shù)學(xué)界的困惑，很多數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù)。1693年，英國(guó)數(shù)學(xué)家瓦利斯（Wallis）指出可以用一條垂直于實(shí)數(shù)軸的直線表示虛數(shù)，并給出了方程的根的幾何圖像。
從18世紀(jì)開始，虛數(shù)被廣泛地用于解決各種函數(shù)問題。法國(guó)數(shù)學(xué)家亞伯拉罕·棣莫弗（Abraham de Moivre）于1730年發(fā)現(xiàn)了棣莫弗關(guān)系式，即棣莫弗定理。1747年，法國(guó)數(shù)學(xué)家讓·達(dá)朗貝爾（d'Alembert）按照多項(xiàng)式的四則運(yùn)算規(guī)則對(duì)虛數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，得出它的結(jié)果總是的形式（都是實(shí)數(shù)）。1748年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn)了歐拉恒等式，且他于1777年在《微分公式》中首創(chuàng)了用符號(hào)作為虛數(shù)的單位，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)間的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理。
后續(xù)發(fā)展
18世紀(jì)后期，隨著對(duì)微積分研究的深入，數(shù)學(xué)家們逐漸認(rèn)識(shí)到復(fù)數(shù)的性質(zhì)和意義。1788年，挪威數(shù)學(xué)家韋塞爾（Wessel）在他的《關(guān)于方向的分析表示：一個(gè)嘗試》的論文中，以作為一個(gè)單位線段來表示復(fù)數(shù)的幾何意義，確立復(fù)數(shù)的幾何術(shù)語(yǔ)定義以及平面向量的運(yùn)算法則。1797年，德國(guó)約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（Gauss）利用復(fù)數(shù)證明了代數(shù)基本定理。1806年，他公布了虛數(shù)的圖像表示法，將虛數(shù)用一個(gè)平面上的點(diǎn)來表示，出現(xiàn)了由各點(diǎn)都對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的平面，即復(fù)平面，后被稱為高斯平面。同年，日內(nèi)瓦數(shù)學(xué)家讓·羅貝爾·阿爾岡（Jean Robert Argand）用幾何形式表示了，并引入了“模”一詞代表向量的長(zhǎng)度。
1811年，高斯從復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類似數(shù)性確立了復(fù)數(shù)的數(shù)性，并給出了“復(fù)數(shù)”這個(gè)詞及其一般形式為。1831年，他在《哥廷根學(xué)報(bào)》上還給出了嚴(yán)格的復(fù)數(shù)的幾何表示，形成了復(fù)平面的概念，并建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算，使得復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算“代數(shù)化”，為復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)論的研究鋪平了道路。至此，復(fù)數(shù)才被人們所接受。1837年，英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓（Hamilton）將復(fù)數(shù)定義為一個(gè)有序的實(shí)數(shù)對(duì)，奠定了復(fù)數(shù)理論嚴(yán)格的純算術(shù)基礎(chǔ)。19世紀(jì)，復(fù)數(shù)的研究蓬勃興起，學(xué)者們把數(shù)學(xué)和物理上的向量聯(lián)系起來，找到了復(fù)數(shù)的物理模型，經(jīng)過法國(guó)數(shù)學(xué)家奧古斯丁-路易·柯西（Cauchy）、德國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩哈德·黎曼（Riemann）和卡爾·魏爾施特拉斯（Weierstrass）等人的貢獻(xiàn)，復(fù)數(shù)理論逐步形成并發(fā)展成為重要的數(shù)學(xué)分支——復(fù)變函數(shù)論。
分類
幾何意義
點(diǎn)對(duì)應(yīng)
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個(gè)復(fù)數(shù)，都可以由一個(gè)有序實(shí)數(shù)對(duì)唯一確定。因?yàn)橛行驅(qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)。
如圖，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)平面，軸叫作實(shí)軸，軸叫作虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。
按照這種方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。由此可知，復(fù)數(shù)集和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，即
。
向量對(duì)應(yīng)
在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序實(shí)數(shù)對(duì)來表示，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，這樣就可以用平面向量來表示復(fù)數(shù)。
如圖，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，連接，則向量由點(diǎn)唯一確定；反過來，點(diǎn)（相對(duì)于原點(diǎn)來說）也可以由向量唯一確定。因此，復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)的向量所成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的（實(shí)數(shù)與零向量對(duì)應(yīng)），即
。
運(yùn)算
加法、減法
加法、減法：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加就是它們相應(yīng)的分量分別地相加，類似的原則對(duì)于減法也成立。設(shè)和是任意給定的兩個(gè)復(fù)數(shù)，定義復(fù)數(shù)的加法和減法分別為：
，
，
稱復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)與的和，稱復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)與的差。
幾何意義：若復(fù)數(shù)分別用對(duì)應(yīng)的向量表示，則復(fù)數(shù)的加減法與向量的加減法一致，于是在平面上以、為邊的平行四邊形的對(duì)角線就表示復(fù)數(shù)，如圖所示，對(duì)角線就表示復(fù)數(shù)。若將向量平移至向量，則向量就表示復(fù)數(shù)。由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，下列兩個(gè)不等式成立：
，
，
其中，表示向量的長(zhǎng)，也就是復(fù)平面上點(diǎn)之間的距離。
乘法、除法
乘法
乘法：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘就是它們的模相乘，而幅角相加。兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，可以按多項(xiàng)式乘法法則來進(jìn)行，即
。
若復(fù)數(shù)用三角形式或指數(shù)形式表示，即
，，
則
。
顯然
，。
幾何意義：復(fù)數(shù)與的乘積在幾何上相當(dāng)于把對(duì)應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)，然后再伸長(zhǎng)或縮短倍。
除法
除法：兩個(gè)復(fù)數(shù)相除就是它們的模相除，而幅角相減，即
。
若
，
則
顯然
，。
幾何意義：復(fù)數(shù)與的商在幾何上相當(dāng)于把所對(duì)應(yīng)的向量旋轉(zhuǎn)，然后再伸長(zhǎng)或縮短倍。
共軛復(fù)數(shù)、模、幅角、有理化
共軛復(fù)數(shù)
共軛復(fù)數(shù)：共軛復(fù)數(shù)是指實(shí)部相等，虛部的系數(shù)絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)與，即是與共軛的復(fù)數(shù)，或稱是的共軛復(fù)數(shù)，或是的共軛復(fù)數(shù)。共軛復(fù)數(shù)記為，即，那么有。
性質(zhì)：
（1）共軛復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù)，即為實(shí)數(shù)。因?yàn)椋菍?shí)數(shù)，所以是實(shí)數(shù)。
（2）共軛復(fù)數(shù)的積是實(shí)數(shù)，即為實(shí)數(shù)。因?yàn)椋投际?a href="/hebeideji/7463680432911817229.html">實(shí)數(shù)，所以是實(shí)數(shù)。
（3）兩個(gè)復(fù)數(shù)的和的共軛復(fù)數(shù)等于各個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的和，即。
（4）共軛復(fù)數(shù)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，，，，，點(diǎn)和關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。
模、輻角
模：除了直角坐標(biāo)表示外，還可用極坐標(biāo)表示，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為，稱作絕對(duì)值或模。
輻角：根據(jù)平面上的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系：，，復(fù)數(shù)又可以表示成
，
稱為復(fù)數(shù)的三角式。
其中，為的解，表示了向量與正實(shí)軸之間的夾角，亦稱復(fù)數(shù)的輻角，記為。的方向規(guī)定為逆時(shí)針方向?yàn)檎?a href="/hebeideji/7441380775864484874.html">順時(shí)針方向為負(fù)。
針對(duì)同一個(gè)的值，會(huì)有無窮多個(gè)角，將位于內(nèi)的那一個(gè)角稱為的主輻角或者主值，記為。
顯然，對(duì)復(fù)數(shù)無輻角可言，而對(duì)每一個(gè)復(fù)數(shù)，其輻角有無窮多個(gè)，且
由于，所以，主輻角與有以下關(guān)系： 。
有理化
復(fù)數(shù)的有理化運(yùn)算被定義為，把復(fù)數(shù)表達(dá)化成標(biāo)準(zhǔn)形式。能夠把某些復(fù)數(shù)計(jì)算結(jié)果變成的標(biāo)準(zhǔn)形式，則便于把它的模和幅角用圖表示出來。一旦把表達(dá)式變成分子同分母相比的形式，只要分子和分母都乘上分母的共軛復(fù)數(shù)。即
則能把它變成標(biāo)準(zhǔn)形式。這時(shí)分母已不包含它的虛部，只是一個(gè)實(shí)數(shù)。下面給出一個(gè)例子：
。
極坐標(biāo)形式
除了直角坐標(biāo)（標(biāo)準(zhǔn)形式）表示外，還可用極坐標(biāo)形式表示，特別是在需要進(jìn)行乘法和除法運(yùn)算時(shí)，這種表示方式會(huì)更加方便。對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)時(shí)，取任何值均表示相同的數(shù)值，為得到唯一的表示，通常的選擇是令；當(dāng)時(shí)，輻角對(duì)取模后是唯一的。因此，如果兩個(gè)復(fù)數(shù)唯一的差別是它們的輻角相差的整數(shù)倍，則認(rèn)為它們是等價(jià)的，為得到唯一的表示，通常將的取值限制在區(qū)間內(nèi)。
根據(jù)復(fù)數(shù)模與相位的定義，有：
該表示稱為三角形式。根據(jù)歐拉恒等式有
式可以表示為
并稱為復(fù)數(shù)形式。
乘冪、方根
乘冪：設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，是正整數(shù)，稱個(gè)的乘積為的次冪，記為，則
當(dāng)對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)時(shí)，可以得到棣莫弗公式：
。
方根：考慮非零復(fù)數(shù)的次方根。凡是滿足方程的值稱為的次方根，記為。
當(dāng)時(shí)，顯然；當(dāng)時(shí)，設(shè)
，
則
所以
，
因此的次方根為
顯然，只要取就可以得到個(gè)不同的根。取其他值時(shí)，得到的一定是這個(gè)值中的一個(gè)。例如，當(dāng)時(shí)，非零復(fù)數(shù)的個(gè)不同的次方根均勻分布在以原點(diǎn)為圓心、半徑為的圓周上，即它們是內(nèi)接于該圓周的正邊形的個(gè)頂點(diǎn)。
代數(shù)基本定理
代數(shù)基本定理是關(guān)于在復(fù)數(shù)域上具有復(fù)系數(shù)的任何代數(shù)方程的根的存在定理。它是關(guān)于多項(xiàng)式根的定理，其內(nèi)容為：設(shè)是一個(gè)次數(shù)不小于的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式，則在復(fù)數(shù)域內(nèi)至少有一個(gè)根。由此可推出，一個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)恰有個(gè)根，即復(fù)系數(shù)的代數(shù)方程一定有復(fù)數(shù)解。但是，該定理不適用于有理數(shù)域和實(shí)數(shù)域，如多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有兩個(gè)根，但在有理數(shù)域和實(shí)數(shù)域中都沒有根。
性質(zhì)
（1）交換律：設(shè)與是兩個(gè)復(fù)數(shù)，則
。
（2）結(jié)合律：設(shè)與是三個(gè)復(fù)數(shù)，則
。
（3）分配律：設(shè)與是三個(gè)復(fù)數(shù)，則
。
（4）單位元
對(duì)任何，，。
對(duì)任何，規(guī)定
，
。
所有其第二個(gè)數(shù)為零的復(fù)數(shù)的集合具有實(shí)數(shù)的集合的一切性質(zhì)。特別地，復(fù)數(shù)起到復(fù)數(shù)系零的作用，且復(fù)數(shù)充當(dāng)單位元的作用。即，此時(shí)加法零元是，乘法單位元是。
（5）逆元
加點(diǎn)的形式：對(duì)于任意復(fù)數(shù)，存在唯一的復(fù)數(shù)，使，常記為，并稱為的負(fù)元素。任何的加法逆元是。
倒數(shù)：對(duì)于任一非零復(fù)數(shù)，都有逆元存在，記之為，它們滿足：。任何， 的乘法逆元是。
抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)
作為商域的構(gòu)造
從實(shí)數(shù)域構(gòu)造復(fù)數(shù)域：從實(shí)數(shù)域得到復(fù)數(shù)域，引入虛元素，它使不可約多項(xiàng)式值為。復(fù)數(shù)域可認(rèn)為是一個(gè)包含和的最小域，記為。
代數(shù)閉域：假設(shè)集合，那么是的代數(shù)擴(kuò)張等價(jià)于是的有限擴(kuò)張，也等價(jià)于是上的代數(shù)元。在任一域擴(kuò)張中，上的代數(shù)元的全體構(gòu)成一個(gè)中間域，叫做在中的代數(shù)閉包。設(shè)為一域，如果中每一個(gè)多項(xiàng)式在中都可以分解成一次因式的乘積，則稱為代數(shù)閉域。
復(fù)數(shù)域的代數(shù)封閉性：復(fù)數(shù)域是一個(gè)代數(shù)閉域，實(shí)數(shù)域不是代數(shù)閉域。當(dāng)代數(shù)閉域是的擴(kuò)域時(shí)，稱是的代數(shù)閉擴(kuò)張。每個(gè)域都至少有一個(gè)代數(shù)的代數(shù)閉擴(kuò)張。
矩陣表示
復(fù)數(shù)的乘法有著鮮明的幾何背景，利用乘積的模與輻角公式，有，當(dāng)時(shí)，乘法變成了單純的旋轉(zhuǎn)；當(dāng)時(shí)，乘法變成了單純的伸縮。
復(fù)數(shù)的矩陣表示：給定旋轉(zhuǎn)變換
點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)矩陣作用下變換到點(diǎn)。類似地，記。根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的向量一一對(duì)應(yīng)，可以得到，即
可知式的作用都是將平面上的點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角到點(diǎn)。得出結(jié)論：
（旋轉(zhuǎn)因子等價(jià)于二階旋轉(zhuǎn)矩陣）。
上式兩邊同時(shí)乘以不為零的常數(shù)，有
，即。
定理：復(fù)數(shù)等價(jià)于一個(gè)二階實(shí)系數(shù)矩陣。其中對(duì)稱矩陣表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，反對(duì)稱矩陣表示復(fù)數(shù)的虛部。
復(fù)變量函數(shù)
復(fù)數(shù)列
復(fù)數(shù)列：一列無窮多個(gè)有序的復(fù)數(shù)
稱為一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列，簡(jiǎn)稱為復(fù)數(shù)列，記為。
復(fù)數(shù)列收斂：給定一復(fù)數(shù)列，設(shè)是一個(gè)復(fù)常數(shù)。若對(duì)任意給定的總存在自然數(shù)，使當(dāng)時(shí)，有不等式
成立，則稱是復(fù)數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限，記作
此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列收斂于。如果復(fù)數(shù)列不收斂，則稱發(fā)散。
（1）充要條件：設(shè)則的充要條件是
。
（2）收斂性與抽象角度的度量：假如用抽象集合來替代實(shí)數(shù)集合及復(fù)數(shù)集合，并在中引入抽象距離函數(shù)，那么便形成了抽象度量空間的概念。而定義復(fù)數(shù)序列收斂性這一基本概念要用到復(fù)平面上的度量。在任意的度量空間中，可以研究中的點(diǎn)列，并能用度量按與微積分中相類似的方式去定義收斂性。
復(fù)指數(shù)
復(fù)指數(shù)函數(shù)：是表示復(fù)數(shù)和復(fù)函數(shù)以及實(shí)三角函數(shù)的工具，對(duì)，該函數(shù)定義為：
復(fù)指數(shù)函數(shù)將映射到\，它是實(shí)指數(shù)函數(shù)的一個(gè)推廣，即，若，則，使用符號(hào)來表示。
，，
對(duì)及是成立的，與為實(shí)數(shù)的情形不同，最后一個(gè)等式（升冪運(yùn)算）當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，一般是不成立的。
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，一個(gè)純虛數(shù)的指數(shù)函數(shù)為：
因此復(fù)數(shù)
是落在單位圓上的，如下圖。
復(fù)對(duì)數(shù)
復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)：定義為復(fù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。即若，則稱為的對(duì)數(shù)。記作
設(shè)，則由
可得 ，
于是 ，
其中表示正實(shí)數(shù)的實(shí)自然對(duì)數(shù)，則
由此可見，對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù)；對(duì)于每一個(gè)復(fù)數(shù)，有無窮多個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，它們的實(shí)部都是，而虛部相差的整數(shù)倍，如果取的輻角為其主值，那么，就得到對(duì)數(shù)函數(shù)的一個(gè)單值分支，記作
稱為對(duì)數(shù)函數(shù)的主值。
類似地，對(duì)于式中每一個(gè)確定的，都確定了對(duì)數(shù)函數(shù)的一個(gè)單值分支。這些單值分支均可由主值分支表出
對(duì)數(shù)函數(shù)的主值，除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)半軸以外，處處連續(xù)，在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)半軸上，它是間斷的。事實(shí)上，設(shè)為負(fù)實(shí)半軸上任一點(diǎn)，當(dāng)在第二象限內(nèi)趨于時(shí)，有
而當(dāng)在第三象限內(nèi)趨于時(shí)，有
這說明，當(dāng)趨于時(shí)，沒有極限。
對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以根據(jù)反函數(shù)的求導(dǎo)法則求出：
對(duì)于的其他分支，也有同樣的結(jié)論。
復(fù)對(duì)數(shù)與實(shí)對(duì)數(shù)：由于輻角具有
等性質(zhì)，因而復(fù)對(duì)數(shù)函數(shù)在一定意義下保持了實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。
復(fù)可微
復(fù)可微函數(shù)：是指在復(fù)數(shù)平面區(qū)域上的每一點(diǎn)的附近能用冪級(jí)數(shù)表示的函數(shù)。全純函數(shù)是一個(gè)同時(shí)為連續(xù)單值及解析的函數(shù)。
設(shè)是在復(fù)數(shù)域的開集上定義的復(fù)值函數(shù)。點(diǎn)，如果
存在，則稱函數(shù)是復(fù)可微的，稱為在點(diǎn)的導(dǎo)致，用表示。如果在的每一點(diǎn)都是復(fù)可微的，稱在是正則的。
復(fù)可微與實(shí)可微：設(shè)是在區(qū)域上的復(fù)函數(shù)，則在是復(fù)可微的，當(dāng)且僅當(dāng)在是實(shí)可微的且，。
復(fù)三角
復(fù)變量三角函數(shù)：復(fù)變量的三角函數(shù)均可用復(fù)變量的指數(shù)函數(shù)來表示，如正、余弦函數(shù)均是用指數(shù)函數(shù)定義的。
給定一個(gè)復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)正弦和余弦的定義分別為：
，
如果，則有
，
。
應(yīng)用
計(jì)算機(jī)科學(xué)
圖像的復(fù)制—粘貼（Copy-Move）篡改是一種常見的篡改方式，將一幅圖像的某個(gè)或多個(gè)區(qū)域復(fù)制后粘貼到同幅圖像的其他區(qū)域，以改變圖像內(nèi)容。基于圖像重疊分塊的基本思路是將圖像進(jìn)行重疊分塊，提取圖像塊特征，進(jìn)行特征匹配，從而定位篡改區(qū)域。四元數(shù)極性復(fù)指數(shù)變換可以將待測(cè)圖像進(jìn)行重疊分塊之后，計(jì)算各分塊的四元數(shù)極性復(fù)指數(shù)變換不變量，并作為每一塊的特征向量，構(gòu)成特征矩陣。該算法可以有效檢測(cè)圖像中的復(fù)制—粘貼篡改，并且對(duì)圖像旋轉(zhuǎn)、縮放、加噪和JPEG壓縮等篡改區(qū)域后處理操作具有較好的魯棒性。
物理學(xué)
許多物理量，如力、速度、電流等，都由矢量表示，把矢量的運(yùn)算代之以復(fù)數(shù)運(yùn)算，幫助解決物理學(xué)中的一些問題。例如，在空間科學(xué)領(lǐng)域?qū)乜臻g、深空等紫外目標(biāo)的探測(cè)系統(tǒng)中，運(yùn)用復(fù)數(shù)，將陽(yáng)極與讀出電子學(xué)聯(lián)合建立模型，可推導(dǎo)出電子學(xué)讀出等效噪聲電荷的計(jì)算方法。通過比較，復(fù)共軛極點(diǎn)成形器等效噪聲電荷性能優(yōu)于實(shí)極點(diǎn)成形器，以此為依據(jù)優(yōu)化了電荷靈敏放大器輸入端參數(shù)以及成形器的階數(shù)和時(shí)間常數(shù)，實(shí)現(xiàn)了一種低噪聲探測(cè)系統(tǒng)。
工程學(xué)
復(fù)數(shù)與平面向量有許多相似之處，它在工程學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用。例如，在工程測(cè)量中，為了施工方便，根據(jù)需要，在施工過程中往往要將施工坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成施工小坐標(biāo)，這樣的轉(zhuǎn)化在隧洞防線中應(yīng)用較為廣泛。因此，常常通過引入復(fù)數(shù)的模、復(fù)角、旋轉(zhuǎn)角和尺度參數(shù)，對(duì)工程中大地坐標(biāo)與施工坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)化進(jìn)行分析、研究、合理優(yōu)化，可以得出適合工程實(shí)際與方便編程應(yīng)用的簡(jiǎn)潔公式，避免因坐標(biāo)轉(zhuǎn)換帶來的不便，最終提升工作效率。
參考資料 >