在幾何學(xué)中，在給定點(diǎn)處的平面曲線的切線是在該點(diǎn)處“剛好接觸”曲線的直線。戈特弗里德·萊布尼茨將其定義為通過曲線上一對(duì)無限封閉的點(diǎn)的線。更準(zhǔn)確地說，如果直線通過曲線上的點(diǎn)（c，f（c）），則直線被稱為在曲線上的點(diǎn)x = c處的曲線y = f（x）的切線，并且具有斜率f'（c），其中f'是f的導(dǎo)數(shù)。類似的定義適用于n維歐幾里德空間中的空間曲線。
通過切線和曲線相交的點(diǎn)，稱為切點(diǎn)，切線與曲線“以相同的方向”，因此切點(diǎn)是曲線上的最佳直線近似點(diǎn)。
簡(jiǎn)介
類似地，在給定點(diǎn)處的表面的切平面是在該點(diǎn)處“正好接觸”表面的切平面。切線的概念是微分幾何中最基本的概念之一，并被廣泛推廣。
“切線”一詞來自拉丁語(yǔ)tangere，意為“觸摸”。
歷史
歐幾里得在元素的第三卷（公元前300年）中提到了圓圈的切線，在阿波羅尼斯（Apollonius）的工作中（公元前225年），他將切線定義為一條直線，使得其中沒有其他直線可能落在它和曲線之間。
阿基米德（公元前287年至公元前212年）通過考慮沿著曲線移地點(diǎn)點(diǎn)的路徑，發(fā)現(xiàn)了阿基米德螺旋線的切線。
在16世紀(jì)30年代，費(fèi)馬公司開發(fā)了足夠的技術(shù)來計(jì)算分析中的切線和其他問題，并用它來計(jì)算拋物線的切線。他的技巧和和之間的差除以h是相似的。勒內(nèi)·笛卡爾使用他的法線方法，基于圓的半徑總是與圓本身正交。
這些方法導(dǎo)致了17世紀(jì)差異演算的發(fā)展。許多人貢獻(xiàn)羅伯瓦爾（Roberval）發(fā)現(xiàn)的一種繪制切線的一般方法，通過考慮由移動(dòng)點(diǎn)描述的曲線，其運(yùn)動(dòng)是幾個(gè)更簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。René-Fran?oisde Sluse和約翰內(nèi)斯·胡德發(fā)現(xiàn)了用于找到切線的代數(shù)算法，進(jìn)一步的發(fā)展包括約翰·沃利斯和以撒巴羅的展示，產(chǎn)生了艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茲的理論。
1828年的切線定義是“一條曲線接觸的線，但是當(dāng)它產(chǎn)生時(shí)，它不會(huì)切割”。這個(gè)舊的定義可以防止拐點(diǎn)有任何切線。現(xiàn)代定義與戈特弗里德·萊布尼茨的定義相當(dāng)，萊布尼茲將線條定義為曲線上一對(duì)無限接近的線。
曲線的切線
通過考慮通過兩個(gè)點(diǎn)（A和B）的直線（割線）的順序，可以使切線“接觸”曲線更直觀的概念。當(dāng)點(diǎn)B近似或趨向于A時(shí)，A的切線是極限。切線的存在和唯一性取決于某種類型的數(shù)學(xué)平滑度，稱為“可微性”。例如，如果兩個(gè)圓弧在尖銳點(diǎn)（頂點(diǎn)）相遇，那么在頂點(diǎn)處沒有唯一定義的切線，因?yàn)楦罹€行進(jìn)的限制取決于“點(diǎn)B”接近頂點(diǎn)的方向。
在多數(shù)點(diǎn)上，切線觸及曲線而不穿過曲線（盡管可能，當(dāng)連續(xù)的時(shí)候，可以在距離切線的其他地方穿過曲線）。切線（此時(shí)）與曲線交叉的點(diǎn)稱為拐點(diǎn)。圓形，拋物線形，雙曲線和橢圓形沒有任何拐點(diǎn)，但是更復(fù)雜的曲線確實(shí)有像立方函數(shù)的圖形，它具有正好一個(gè)拐點(diǎn)，或正弦曲線，每個(gè)時(shí)間段有兩個(gè)拐點(diǎn)正弦。
相反，可能會(huì)發(fā)生曲線完全位于通過其上的點(diǎn)的直線的一側(cè)，但是該直線不是切線。例如，對(duì)于通過三角形的頂點(diǎn)而不與三角形相交的線的情況，由于上述原因，切線不存在。在凸幾何中，這樣的線稱為支撐線。
分析方法
切線是割線的極限。找到圖形切線的問題是導(dǎo)致17世紀(jì)微積分發(fā)展的原因之一。在RenéDescartes的第二本幾何書中，說到了構(gòu)建曲線切線的問題，“我敢說，這不僅是我所知道的幾何中最有用和最普遍的問題“。
直觀描述
假設(shè)曲線給出函數(shù)圖：。為了在點(diǎn)處找到切線，考慮曲線上的另一個(gè)附近點(diǎn)。穿過p和q的割線的斜率等于差商隨著點(diǎn)q接近p，這對(duì)應(yīng)于使h越來越小，差商應(yīng)該接近某個(gè)值k，這就是在點(diǎn)p的切線的斜率。如果k是已知的，則可以以斜坡形式找到切線的方程：嚴(yán)格描述
為了使上述推理嚴(yán)格，必須解釋接近某一極限值k的差商的含義。精確的數(shù)學(xué)公式是由奧古斯丁-路易·柯西在19世紀(jì)給出的，是基于極限的概念。假設(shè)該圖在p處沒有斷裂或尖銳的邊緣，并且在p附近既不是垂直的。那么存在k的唯一值，使得隨著h接近0，差商變得越來越接近k，并且如果h足夠小，它們之間的距離與h的大小相比可以忽略不計(jì)。這導(dǎo)致將圖的切線的斜率定義為函數(shù)f的差商的極限。這個(gè)限制是處的函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)，表示為。使用導(dǎo)數(shù)，切線的方程可以表示如下：
微積分提供計(jì)算由公式給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，例如功率函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)及其各種組合。因此，所有這些函數(shù)的圖形的切線方程以及許多其他方程式可以通過微積分方法找到。
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