纖維叢是1946年提出的數理科學理論，是拓撲學與微分幾何相結合的產物，是研究空間整體性質與局域性質間關系的最有效的工具，同時它也是研究近代物理學的強有力的武器，不僅為Yang-Mills（楊一米爾斯）規范理論和相對論提供了數學框架，而且也是描述Hamilton（哈密爾頓）力學和Maxwell電磁理論的合適的數學手段。
簡介
纖維叢為坐標叢的等價類，或者說，纖維叢是擁有極大叢圖冊的坐標叢。
理論介紹
每個纖維叢是一個連續滿射：，使得E對于某個F （稱為纖維）局部看來象直積空間（這里局部表示在B上局部） ，一個可以整體上如此表達的叢（通過一個保持的同胚）叫做平凡叢。叢的理論建立在如何用一些比這個直接的定義更簡單的方法表達叢不是平凡叢的意義的問題之上。
纖維叢擴展了向量叢，矢量叢的重要實例就是流形的切叢和余切叢。他們在微分拓撲和微分幾何領域有著重要的作用，也是規范場論的基本概念。
概念發展
纖維叢是拓撲乘積的推廣，產生于微分幾何研究，系統研究始于20世紀30年代。1936年瑞士數學家施蒂費爾考慮以微分流形的每一點為原點的有限個線性獨立向量場，引入流形的微分同胚不變量。
1937年美國數學家惠特尼把流形及以其上每一點為原點的線性獨立的切向量組全體總括在一起而得到纖維叢的概念。他還證明了微分流形的嵌入定理，正式創立微分拓撲。
1946年陳省身認識到E.嘉當的聯絡的幾何學思想與纖維叢理論有密切關系，從而把微分幾何推進到大范圍的情形。
20世紀50年代初，法國數學家塞爾在é.嘉當的指導下，在代數拓撲學方面做出重要貢獻。他發展了纖維叢概念，得出一般纖維空間概念。1951年美國數學家斯廷羅德出版《纖維叢的拓撲》一書，系統總結了纖維叢理論。纖維叢的截面的存在性問題與阻礙理論有關，由此得到底空間的某些上同調類，稱之為示性類。施蒂費爾、哈斯勒·惠特尼、陳省身和原蘇聯數學家列夫·龐特里亞金、中國數學家吳文俊都在示性類研究中做出重要貢獻。近幾十年來纖維叢理論在示性類、纖維叢上的同調與同倫等方面繼續獲得發展，并在微分幾何學、代數幾何學、復變函數與復流形理論以及大范圍分析學等方面有廣泛而深刻的應用，還成為物理學中表達規范場的合適的數學語言。
形式化定義
一個纖維叢由四元組（ ）組成，其中E、B、F是拓撲空間而是一個 連續滿射，滿足下面給出的局部平凡條件。B稱為叢的基空間，E稱為總空間，而F稱為纖維，映射 稱為投影映射。下面我們假定基空間B是連通的。
我們要求對于B中的每個x，存在一個x的開鄰域U，使得是同胚于積空間的，并滿足π 轉過去就變成到第一個因子的投影。也就是一下的圖可交換：
其中Proj1 :是自然投影而φ： 是一個同胚。所有的集合稱為叢的局部平凡化。
對于B中每個x，原象 和F同胚并稱為x上的纖維。一個纖維叢（ ）經常記為以引入一個空間的短恰當序列。注意每個纖維從都是一個開映射，因為積空間的投影是開映射。所以B 有由映射 決定的商拓撲。
一個光滑纖維叢是一個在微分流形的范疇內的纖維叢。也就是說，E、B、F都必須是光滑流形而所有上面用到的函數都必須是光滑映射，這是纖維叢研究和使用的通常環境。
光滑纖維叢
一個光滑纖維叢是一個在光滑流形范疇內的纖維叢。也就是說，E、B、F都必須是光滑流形而所有上面用到的連續映射都必須是光滑映射，這是纖維叢研究和使用的通常環境。
例子
令 并令：為對第一個因子的投影，則E是B上的叢。這里E不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢。
相應的平凡叢看起來像一個圓柱，但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來；局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣（在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間）。
一個類似的非平凡叢是克萊因瓶，它可以看作是一個"扭轉"的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環面，即。
一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢，纖維叢的一個特例，叫做向量叢，是那些纖維為矢量空間的叢（要成為一個矢量叢，叢的結構群—見下面—必須是一個線性群），矢量叢的重要實例包括光滑流形的切叢和余切叢。
截面
纖維叢的截面 （section ）是一個連續映射 : 使得 對于所有B中的x成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面，理論的一個重要作用就是檢驗和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的特征類理論。
纖維叢的局部截面是一個連續映射，截面經常只被局部的定義（特別是當全局截面不存在時）。
纖維叢的局部截面是一個連續映射 : 其中 U 是一個B中的開集而 對所有U中的x成立。若是一個局部平凡化圖，則局部截面在 U上總是存在的。這種截面和連續映射有一一對應。截面的集合組成一個層（sheaf）。
結構群和轉移函數
纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的相容條件。
特別的，令G為一個拓撲群，它連續的從左邊作用在纖維空間F上。不失一般性的，我們可以要求G有效的作用在F上，以便把它看成是F的同胚群。
纖維叢的一個G-圖冊（E, B, π, F）是之前定義過的局部平凡化并且滿足：對任何兩個重疊的局部平凡化中的元素也就是圖（Ui, φi）和（Uj, φj）且 {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }，則函數{\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}:(U_{i}\cap U_{j})\times F\to (U_{i}\cap U_{j})\times F}是由以下方式給出：{\displaystyle \varphi _{i}\varphi _{j}^{-1}(x,\xi )=(x,t_{ij}(x)\xi ),\quad \forall x\in U_{i}\cap U_{j},\xi \in F}其中 {\displaystyle t_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\to G} 是一個稱為轉移函數（transition 函數）的連續映射。兩個G-圖冊是等價的如果他們的聯集也是G-圖冊。
一個G-叢是有G-圖冊等價類的纖維叢。群G稱為該叢的結構群（structure group）。在光滑范疇中，一個G-叢是一個光滑纖維叢，其中G是一個李群而相應的在F上的作用是光滑的并且變換函數都是光滑映射。轉移函數tij滿足以下條件{\displaystyle t_{ii}(x)=1}{\displaystyle t_{ij}(x)=t_{ji}(x)^{-1}}{\displaystyle t_{ik}(x)=t_{ij}(x)t_{jk}(x)}第三個條件用到三個相交的 {\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}上叫做上鏈條件（cocycle condition，見?ech上同調）。
一個主叢是一個G-叢，其纖維可以認為是G本身，并且有一個在全空間上的G的右作用保持纖維不變。
參考資料 >
規范場與纖維叢：它的內容，方法和意義.物理學進展周刊.2024-08-02
纖維叢：萬物之理.自然雜志.2024-08-02
纖維叢.科普中國.2024-08-02