微分流形（differentiable manifold），也稱為光滑流形（smooth manifold），是拓撲學(xué)和幾何學(xué)中一類重要的空間，是帶有微分結(jié)構(gòu)的拓撲流形。微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，是三維歐式空間中曲線和曲面概念的推廣，可以有更高的維數(shù)，而不必有距離和度量的概念。
概念
參見條目：流形
具體說來，設(shè)M是一個豪斯多夫拓撲空間。U是M的開集，h是U到n維歐氏空間R的開集(常取為單位球內(nèi)部或立方體內(nèi)部等等)上的一個同胚映射，則稱為一個坐標圖，U稱為其中點的一個坐標鄰域。設(shè)M為開集系{}所復(fù)蓋，則的集合稱為M的一個坐標圖冊。如果M的坐標圖冊中任何兩個坐標圖都是C相關(guān)的，則稱M有C導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)，又稱M為n維的C微分流形。C相關(guān)是指流形M上同一點的不同坐標之間的變換關(guān)系是C可微分的()，依通常記號C表示解析函數(shù)。具體來說，如分別是p在兩個坐標圖下的(局部)坐標，即那么它們之間的關(guān)系式可表為而?關(guān)于具有直到k次的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。時，M是拓撲流形；時，就是微分流形；時，是解析流形。C流形又常稱為光滑流形。如果微分流形M是一個仿緊或緊致拓撲空間，則稱M為仿緊或緊致微分流形。如果可選取坐標圖冊使微分流形M中各個坐標鄰域之間的坐標變換的雅可比行列式都大于零，則稱這個流形是可定向的。球面是可定向的，麥比烏斯帶是不可定向的。
同一拓撲流形可以具有本質(zhì)上不同的導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)。米爾諾(John Milnor)首先發(fā)現(xiàn)作為一個拓撲流形，七維球面上可有不同于標準微分結(jié)構(gòu)的怪異微分結(jié)構(gòu)。后來米爾頓·弗里德曼(Michael Freedman)等得出如下的重要結(jié)果：四維歐氏空間中也有多種微分結(jié)構(gòu)，這與其他維數(shù)的歐氏空間只有惟一的微分結(jié)構(gòu)有著重大區(qū)別。
類別
可微映射
設(shè)φ是從C流形M到C流形N的連續(xù)映射，如果對于N上的任意Cr函數(shù)?，M上的函數(shù)?。φ總是Cr的，則稱φ是Cr可微映射，或簡稱Cr映射。如果φ是從M到N上的同胚，而且φ和φ都是C的，則稱φ為微分同胚，此時也稱M與N是微分同胚的微分流形。
映射
設(shè)φ是從M到N的C映射。對M上點p的切向量x可以如下地定義N在點φ(p)處的切向量：
這個對應(yīng)用dφP表示，稱為φ在點p處的導(dǎo)數(shù)。微分dφP是從切空間TP(M)到
的線性映射，有時也稱為φ在切空間的誘導(dǎo)映射，常用或表示。利用對偶性，φ也自然地誘導(dǎo)了從余切空間
到T壩的線性映射，常記為()或φ壩或φ。由張量積運算，φ還可以誘導(dǎo)對應(yīng)點之間某些張量空間之間的線性映射。
N的嵌入
設(shè)M和N是兩個C流形，φ：M→N是C映射。如果微分在M的每一點都是單射，則稱φ是浸入，而φ(M)稱為N的浸入子流形。如果浸入φ還是單射，則稱為嵌入，此時φ(M)稱為N的嵌入子流形。
張量場
微分流形上可以定義可微函數(shù)、切向量、切向量場、各種張量場等對象并建立其上的數(shù)學(xué)分析，并可以賦予更復(fù)雜的幾何結(jié)構(gòu)以研究它們的性質(zhì)。
光滑函數(shù)
流形M上的實數(shù)值連續(xù)函數(shù)f:M→R是一個光滑函數(shù)，如果對每一個相容的坐標卡ρ：U→M，f(ρ):U→R是一個U上的光滑函數(shù)。因為坐標卡之間的坐標變換是光滑映射，這是一個良好的定義。特別的，光滑函數(shù)可以看成一種0階張量場。
向量場
設(shè)，M在點p處的一個切向量是指從F（M）到R的一個線性映射x，使得對于任意的，滿足：
對于在p點的切向量和實數(shù)，定義如下：那么，點p處的切向量全體構(gòu)成一個n維的實線性空間TP，TP稱為在p處M的切空間或切向量空間(也記為TP(M))。如果（x，x，…，x）為點p處
的局部坐標系，則由
定義的n個獨立的切向量，構(gòu)成TP的一組基，稱為自然標架（或坐標標架）。M的切向量全體構(gòu)成以M為底空間的向量叢（見纖維叢），稱為M的切向量叢，簡稱切叢。M的切叢的一個截面稱為M上的一個向量場。在局部坐標系中，向量場可表成
的形式，式中ξ(x)是坐標(x)的C函數(shù)。
TP的對偶空間稱為M在點p處的余切空間，記為T壩。T壩中的元素稱為余切向量，也稱協(xié)變向量。M的余切向量全體構(gòu)成M的余切向量叢，簡稱余切叢，它的截面稱為M上的一次微分形式。“”
一般張量場
由切空間和余切空間通過張量積的運算可以得到M在點p處的各種(r，s)型張量，M的(r，s)型的張量全體構(gòu)成張量叢，它的截面就是M上的一個(r，s)型張量場（見多重線性代數(shù)、張量）。
形式
在微分流形上還可以定義外微分形式(見外微分形式)。p次外導(dǎo)數(shù)形式(2)是一些微分的外積的線性組合，這些微分的外積是反對稱的，即是p階反對稱協(xié)變張量，
M上p次外微分形式的全體構(gòu)成一個實數(shù)域上的無限維向量空間E。對外微分形式可以進行加法運算(同次外微分形式可以相加)，外積運算(p次外微分形式與q次外微分形式的外積是一個()次外微分形式)，還可以進行外微分運算及積分運算。在局部坐標下，外微分運算為
(3)設(shè)且，則稱ω為閉形式。M上p次閉形式的全體構(gòu)成E的一個子空間記為Z。設(shè)，且(，則稱ω為正合形式。正合形式一定是閉形式。M上p次正合形式的全體也構(gòu)成E的一個子空間記為B，BZ。商空間(4)稱為p次德·拉姆上同調(diào)群(de Rham cohomology group)。
結(jié)構(gòu)
我們可以在微分流形上賦予不同的幾何結(jié)構(gòu)（即一些特殊的張量場）。不同的幾何結(jié)構(gòu)就是微分幾何不同的分支所研究的主要對象。
伯恩哈德·黎曼度量
主條目：黎曼幾何
仿緊微分流形均可賦予黎曼度量（見黎曼幾何），且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內(nèi)容，就可以測量長度，面積，體積等幾何量。
近復(fù)結(jié)構(gòu)和復(fù)流形
參見：復(fù)流形
微分流形M上的一個近復(fù)結(jié)構(gòu)是M的切叢TM的一個自同構(gòu)，滿足J·J=-1。如果近復(fù)結(jié)構(gòu)是可積的，那么我們就可以找到M上的全純坐標卡，使得坐標變換是全純函數(shù)。這時我們得到了一個復(fù)流形。
辛流形
參見：辛幾何
微分流形上的一個辛結(jié)構(gòu)是一個非退化的閉的二次微分形式。這樣的流形成為辛流形。
四維
在拓撲學(xué)中四維是一個非常特殊的維數(shù)。譬如斯蒂芬·斯梅爾的龐加萊猜想的證明只應(yīng)用于大于四維的維數(shù)，他的h-配變定理不能應(yīng)用于四維流形。而米爾頓·弗里德曼的對四維龐加萊猜想的證明則更復(fù)雜。而且人們發(fā)現(xiàn)，存在四維拓撲流形，在其上不能賦予任何導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)。而四維歐式空間是唯一一個存在怪異微分結(jié)構(gòu)的歐式空間。
對四維微分流形的研究中具有里程碑意義的是英國數(shù)學(xué)家西蒙·唐納森的工作。他的想法來源于理論物理中的規(guī)范場理論。他由此定義了被稱為唐納森不變量的四維微分流形的不變量。后來物理學(xué)家賽博格和愛德華·威滕將唐納森不變量簡化為一種更易于計算的不變量，后來被稱作賽博格-威騰不變量（Seiberg-Witten invariants）。這些不變量都大大推進了人們對四維微分流形的理解。
而對于四維拓撲流形，許多問題還沒有解決。其中最重要的是四維流形的光滑亨利·龐加萊猜測：（作為一個拓撲流形）四維球面上只存在標準的導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)。
參考資料 >