李群是一種只有一個運(yùn)算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。
在數(shù)學(xué)中，李群（Lie group）是具有群結(jié)構(gòu)的實(shí)流形或者復(fù)流形，并且群中的加法運(yùn)算和逆元運(yùn)算是栁形中的解析映射。李群在數(shù)學(xué)分析、物理和幾何中都有非常重要的作用。
結(jié)構(gòu)定義
由挪威數(shù)學(xué)家S.李創(chuàng)立的一類連續(xù)變換群。
1870年前后，S.李開始研究連續(xù)變換群的概念，并用它們闡明微分方程的解，將微分方程進(jìn)行分類。1874年，他建立了李群的一般理論。一個李群可以表示成如下形式：
1，2，…，n，其中f對x和a都是解析的，x是變量，而a是參數(shù)，(x，x，…，x)表示n維空間中的一點(diǎn)。變量或參數(shù)都取實(shí)數(shù)值或復(fù)數(shù)值。1883年，S.李借助于一組微分方程定義連續(xù)變換群。他的目的是用各種不同的方法把常微分方程的不同類型化成可由積分求解的形式，并建立起它們之間的一致性。S.李證明，如果一階常微分方程接受由某個無窮小變換所確定的變換群，那么這個微分方程的解就可由積分式表達(dá)。他還考察了許多種帶有已給變換的方程。這樣一來，S.李就依據(jù)無窮小變換把微分方程進(jìn)行分類。
李群理論在最初的相當(dāng)長一段時間內(nèi)僅與一些微分方程的積分有聯(lián)系，而與數(shù)學(xué)的其他分支關(guān)系不大。在19世紀(jì)的最后10年以及20世紀(jì)，李群理論在各種不同方向，主要是代數(shù)和拓?fù)鋵W(xué)方面得到了迅速的發(fā)展，成為數(shù)學(xué)的一個重要分支。李群理論的第一個近代化的敘述是由原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家列夫·龐特里亞金于1938年給出的。20世紀(jì)50年代，李群理論的發(fā)展進(jìn)入了一個新的階段，主要標(biāo)志是代數(shù)群論的創(chuàng)立。代數(shù)幾何方法的應(yīng)用使李群理論的經(jīng)典結(jié)果得到新的闡述，從而揭示了它與函數(shù)論、數(shù)論等理論的深刻聯(lián)系。緊接著，p進(jìn)李群的理論也得到重大發(fā)展。事實(shí)上，李群理論與數(shù)學(xué)的幾個主要分支都有聯(lián)系：通過李變換群與幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)的聯(lián)系，通過線性表示論與分析的聯(lián)系等。李群在物理學(xué)和力學(xué)中也有著重要應(yīng)用。
群介紹
一種只有一個運(yùn)算的、比較簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu)；是可用來建立許多其他代數(shù)系統(tǒng)的一種基本結(jié)構(gòu)。
設(shè)G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數(shù)運(yùn)算“·”(稱為“乘法”，運(yùn)算結(jié)果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結(jié)合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對于所定義的運(yùn)算“·”構(gòu)成一個群。例如，所有不等于零的實(shí)數(shù)，關(guān)于通常的乘法構(gòu)成一個群；時針轉(zhuǎn)動(關(guān)于模12加法)，構(gòu)成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數(shù)學(xué)最重要的概念之一，已滲透到現(xiàn)代數(shù)學(xué)的所有分支及其他學(xué)科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質(zhì)，來定義各種幾何學(xué)，即利用變換群對幾何學(xué)進(jìn)行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)。
1770年，約瑟夫·拉格朗日在討論代數(shù)方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是埃瓦里斯特·伽羅瓦在1830年首先提出的。
提出者簡介
S.李是挪威數(shù)學(xué)家。生于努爾菲尤爾埃德，卒于克里斯蒂安尼亞(今奧斯陸)。1865年畢業(yè)于克里斯蒂安尼亞大學(xué)。1869年獲獎學(xué)金到柏林留學(xué)，與C.F.菲利克斯·克萊因在一起工作并結(jié)為好友。第二年在巴黎又結(jié)識了達(dá)布和卡米爾·若爾當(dāng)，受到法國學(xué)派的影響。1871年回國在克里斯蒂安大學(xué)執(zhí)教，1872年獲博士學(xué)位。1886年到萊比錫大學(xué)接替C. F.克萊因的職務(wù)主持?jǐn)?shù)學(xué)講座，12年后返回挪威。1892年當(dāng)選為法國科學(xué)院院士。1895年成為倫敦皇家自然知識促進(jìn)學(xué)會會員。他還是許多其他科學(xué)機(jī)構(gòu)的成員。S.李的主要貢獻(xiàn)在以他的名字命名的李群和李代數(shù)方面。1870年，他從求解微分方程入手，依靠微分幾何方法和射影幾何方法建立起一種變換，將空間直線簇和球面一一對應(yīng)。不久他發(fā)現(xiàn)，這種對應(yīng)是連續(xù)的，能將微分方程的解表示出來并加以分類。由此S.李引入了一般的連續(xù)變換群概念，證明了一系列定理來發(fā)展他的理論。他把微分方程的自同構(gòu)群作為工具，對二維群和三維群進(jìn)行分類。在以后的多年中，S.李和他的助手繼續(xù)豐富完善連續(xù)群論學(xué)說，出版了3卷本的專著《變換群論》(1888—1893)，后人為紀(jì)念他的貢獻(xiàn)，將連續(xù)群改稱“李群”。為研究李群，他還創(chuàng)立了所謂“李代數(shù)”——一種由無窮小變換構(gòu)成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，并研究了二者之間的對應(yīng)關(guān)系。李代數(shù)現(xiàn)已成為現(xiàn)代代數(shù)的重要分支。此外，S.李在代數(shù)不變量理論、導(dǎo)數(shù)幾何學(xué)、分析基礎(chǔ)和函數(shù)論等方面也有建樹。S.李的工作在20世紀(jì)初由法國數(shù)學(xué)家E.嘉當(dāng)?shù)燃右园l(fā)展。
同態(tài)和同構(gòu)
同構(gòu)
G,H均為李群，二者之間的一個同態(tài)：f\,:G→H為 群 并且是 解析映射（事實(shí)上，可以證明這里解析的條件堪需滿足連續(xù)即可）。顯然，兩個同態(tài)復(fù)合是同態(tài)。所有李群的 類 加上同態(tài)構(gòu)成一個 范疇。兩個李群之間存在一個 雙射，這個雙射及其逆射均為同態(tài)，就稱為同構(gòu)。
兩個數(shù)學(xué)系統(tǒng)(例如兩個代數(shù)系統(tǒng))，當(dāng)它們的元素及各自所定義的運(yùn)算一一對應(yīng)，并且運(yùn)算結(jié)果也保持一一對應(yīng)，則稱這兩個系統(tǒng)同構(gòu)，記為≌。它們對于所定義的運(yùn)算，具有相同的結(jié)構(gòu)。例如，十進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)是同構(gòu)的。
建立同構(gòu)關(guān)系的映射，稱為同構(gòu)映射。例如，當(dāng)映射為一一映射，并且對應(yīng)元素關(guān)于運(yùn)算保持對應(yīng)時，就是同構(gòu)映射。
同構(gòu)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構(gòu)的、似乎與它不相關(guān)的、已經(jīng)解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數(shù)學(xué)發(fā)展得越來越復(fù)雜，但利用同構(gòu)概念，不僅使數(shù)學(xué)得到簡化，而且使數(shù)學(xué)變得越來越統(tǒng)一。表面上似乎不同，但本質(zhì)上等價的結(jié)果，可以用統(tǒng)一的形式表達(dá)出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數(shù)學(xué)分支中與它同構(gòu)的幾十個假設(shè)，也同時得到了證明。
同態(tài)
E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與?. 稱從E到F中的映射f是群胚同態(tài)，如果對于E的任一元素偶(x，y)，有：
設(shè)E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是幺半群(群)的同態(tài)，如果f是群胚的同態(tài)，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x?0是群胚的同態(tài)，而并不因此就是幺半群的同態(tài))。
設(shè)G為乘法群，而a為G的化學(xué)元素 由關(guān)系f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態(tài)。
設(shè)A與B為兩個環(huán)(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(huán)(體)的同態(tài)，如果f是加法群的同態(tài)，且為乘法么半群的同態(tài). 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
并且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設(shè)n為非零自然數(shù)；使任一有理整數(shù)對應(yīng)其對模n的剩余類映射是從環(huán)Z到環(huán)Z/nZ上的同態(tài)。設(shè)E與F為兩個A-代數(shù)(兩個酉A-代數(shù)). 稱從E到F中的映射f是A-代數(shù)(酉A-代數(shù))的同態(tài)，如果它是線性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態(tài)。
例如，設(shè)E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態(tài)之酉代數(shù)?(E)到K中元素構(gòu)成的全體n階方陣之酉代數(shù)Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態(tài)對應(yīng)它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數(shù)的同態(tài).
參考資料 >