半群（英文：semigroup）是最簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結合（即滿足結合律的）二元運算的代數系統稱為一個半群。
半群作為群和環的推廣，其最早研究可以追溯至1904年蘇士凱維奇（Suschkwitz,A.K.）關于有限半群的研究，到了20世紀50年代才開始系統研究半群代數理論，在20世紀60年代，因《半群》和《半群代數理論》的出版，半群代數理論逐漸在國際上發展，后來在數學內部和外部的推動下，半群理論已成為代數學的一個公認的分支學科。半群相關性質有半群的同態以及格林關系，其類別較多，比如子半群、有限半群、正則半群等。
在半群的研究過程中，也利用了一些相關定理，比如半群的同態基本定理、喬治·格林定理等，同時，半群在數學、工程技術和生物學等領域都有廣泛的應用。
簡史
群的思想在《幾何原本》中已經出現，但一直到18世紀才萌生群的概念，1854年凱萊（Arthur Cayley）第一次給出了群的公理化定義。半群作為群的推廣，其最早研究可以追溯至1904年蘇士凱維奇（Suschkwitz,A.K.）關于有限半群的研究，不過半群代數理論的系統研究開始于20世紀50年代。在20世紀60年代，蘇聯和美國率先出版了兩本專著，利雅平（JIamn,E.C.）的《半群》和克利福德（Clif-ford,A.H.）與普雷斯頓（Preston,G.B.）的兩卷《半群代數理論》，推動了半群代數理論在國際上的發展。而且德國施普林格科學+商業媒體出版社出版的《半群論壇》是有關半群理論的一個重要的國際性刊物。在數學內部和外部的推動下，半群理論已成為代數學的一個公認的分支學科。
定義
群
群是一個非空的元素集合，具有一個稱為“乘法”的二元運算（即對任意的存在唯一的使得），且滿足：
半群
半群（semigroup）是最簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合連同定義在它上面的一個結合（即滿足結合律的）二元運算的代數系統稱為一個半群，簡記為
相關性質
半群的同態
設是兩個半群，是到的映射。若關于任意有則稱是半群到半群的同態。當時，稱是到的滿同態，而稱是的一個同態像。當是單射時，稱是到的單同態。當是雙射時，稱是到上的同構，此時稱半群與是同構的。
格林關系
格林關系是半群上五個重要的等價關系。設是一半群，用表示上的下述五個關系：
生成的等價關系，統稱為格林關系。
的由生成的主左理想（主右理想，主理想），即的含的最小左理想（右理想，理想），恰為因此，格林關系和分別是用主左理想、主右理想和主理想通過上式定義起來的。關于格林關系有其中是由生成的主擬理想。于是在交換半群上,在群上,全關系。
格林引理
設是一半群,若且其中則右平移與分別是從到上及從到上保持類的互逆雙射，其中表示含的類,表示在上的限制,時,是上的內右平移;時,是上的恒等變換。
格林定理
格林定理斷言：若是半群的一個類，則或者或者此時是的子群。
由此可知,類是一個子群，當且僅當含冪等元。當是群時，就是的極大子群。
分類
幺半群
幺半群是含幺元（即恒等元）的半群。半群若存在使得關于任意有則稱為幺半群。關于任意半群常用表示一個幺半群。若為幺半群，則若不為幺半群，則
子半群
子半群是與群的子群相平行的概念。設為一半群，若關于任意有則稱是的子半群，用表示是的子半群。
單演半群
單演半群是與群論中循環群相平行的概念。若半群是由一個元素所生成的，記為則稱為單演的。
詣零半群
若含有零元且關于任意存在使得則稱半群是詣零的。
關系半群
若是一集合，上所有二元關系的全體記為則在如下運算下成一半群：存在使得稱為上的全關系半群。的任意子半群稱為上的一個關系半群。
有限半群
與群論中有限群相平行的概念。半群稱為有限的且是有限集合，則稱是有限半群，否則稱為無限半群。
帶
帶是指僅有冪等元的半群。半群若關于任意有即中所有元均為冪等元，則稱為一個帶。利用帶的交換性可定義兩類特殊的帶，即半格（交換帶）和矩形帶。
正則半群
設為一半群，若存在使得則稱是的正則元。稱中的元為的逆元。是的正則元，當且僅當也當且僅當與一冪等元有關系，所有元都是正則元的半群稱為正則半群。
單半群
單半群是類似于單群的半群。不含零的半群若不含任何真理想，則稱為單的。不含零的半群若不含任何真左（右）理想，則稱為左（右）單的。含零的半群，若和本身是它的僅有的理想，且則稱為零-單的。
自由半群
自由半群是指不附加任何其他條件的半群。若是一非空集合，做則
用如下定義的運算做成一個半群稱是上的自由半群，記為
相關問題
半群的伯恩賽德問題：是涉及半群的一種特殊擬正則性的一個問題。1902年，伯恩賽德（Burnside,W.）提出該問題：設是一半群，在是有限生成的，且是撓的（即關于每一都存在使得為的冪等元）條件下，問是否為有限。半群的伯恩賽德問題已演變成對有限生成半群尋求其有限性的充分必要條件，1984年羅斯蒂沃（Restivo，A.）與羅特諾耶（Reutenauer,C.）給出了結果：若是一有限生成半群，則是有限的，當且僅當是撓的，且具置換性，即存在使得關于任意有元置換滿足：
相關概念
環
在非空集合中定義加法“”和乘法“”運算，使得中任意元適合條件：
環在只考慮它的乘法運算的時候是一個半群，稱為環的乘半群；但任何一個帶零半群卻未必是某個環的乘半群。
代數碼
設是一有限非空集合（稱為字母表），上的自由幺半群的元素（子集）稱為的字（或語言）。上的一個語言若對任意有且則稱為上的一個代數碼。
相關定理
半群的同態基本定理
半群上同余：半群上相容于半群運算的等價關系。設是一半群，是上一等價關系。若關于任意有
則稱是上的同余。
設是半群上的一個同余，則到的自然映射是從到上的一個同態。反之，若是半群到半群上的一個同態，則是上的一個同余，其中且存在到上的惟一同構使下圖可換。
半群的霍爾定理
半群的霍爾定理是論及正則半群的完全擬正則性的一個結論。半群若關于每一都存在使得是的完全正則元，則稱為完全擬正則的。霍爾定理：若正則半群的每一類最多只含個類（為一固定自然數），則關于每一為的完全正則元，從而是完全擬正則的。
相關推廣
拓撲半群
拓撲半群是既有代數結構又有拓撲結構的一種數學結構。拓撲半群的研究始于20世紀50年代，阿爾弗雷德·華萊士（Wallace,A.D.）被公認為拓撲半群的奠基者。一個豪斯道夫空間，連同定義在其上的一個連續且可結合的二元運算所形成的數學系統稱為拓撲半群。任何半群，連同其上的離散拓撲，都是拓撲半群。因此，半群是拓撲半群的特例，而有限半群則可看成是緊致半群。拓撲半群涉及冪等元的結果如下：
其中
李半群
李半群是結構與李群有關的半群。設是有邊界流形上的團伙，當流形邊界恰為的子伙時，稱為李半群，記為半群。若含元，則拓撲同構于其中是的理想。又中乘法是可微的，當且僅當是標準的絲線。麥斯脫（Mostert,P.S.）與希爾茲（Shields,A.L.）證明：半群的邊界是緊致李群，且以左平移作用于上，其軌道空間是半群。又，在中可找到半群使恰為的橫截面。
應用
數學
利用半群求方程的解是近年來微分方程研究中很有意義的課題。設是矩陣其中
是對角矩陣，是的特征值是酉矩陣。
定理：其中
證明：因為令
即其中
工程技術
在研究高速飛行體飛行中出現的熱防護發汗控制模型導出的自由邊界問題上，引入變換將其化為發展方程，研究其相應產生的發展系統，用半群方法證明了發汗控制邊值問題解的存在性，唯一性。該方法對一般拋物算子非線性自由邊界問題及高維問題也適用。
生物學
在周期性血液病的研究中，血紅細胞數量的變化是重要的指標之一。在對血紅細胞的數量建立模型和模型分析時，考慮到細胞分裂、分化、成熟等生命過程所花費的時間，有必要在模型中加入一些時滯項，以使其更契合地描述血紅細胞數量的動態變化。對一個帶有時滯的血紅細胞模型在平衡點處線性化，并利用泛函分析方法，將線性化模型寫成抽象發展方程，借助半群理論證明了方程的適定性。對系統算子細致的譜分析，得到了本征值的漸近表達式，通過對算子的Riesz譜投影范數的漸近估計，證明系統的本征向量不能構成狀態空間的基，但仍給出了方程的解在平衡點附近按照本征向量的的漸近展開。
參考資料 >
進擊的幺半群.知乎專欄.2024-01-27