數學中抽象代數的一支，為了將代數結構中的元素“表示”成向量空間上的線性變換，藉以研究結構的性質。
基本介紹
表示論是數學中抽象代數的一支。旨在將代數結構中的元素“表示”成向量空間上的線性變換，藉以研究結構的性質。
略言之，表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，并使得原結構中的操作對應到矩陣運算，如矩陣的合成、加法等等。此法可施于群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源縣最早，用途也最廣的是群表示論。設 G 為群，其在域 F （常取復數域）表示是一 F-向量空間 V 及映至一般線性群之群同態。
假設 V 有限維，則上述同態即是將 G 的元素映成可逆矩陣，并使得群運算對應到矩陣乘法。
表示論的妙用在于能將抽象的代數問題轉為線性代數的操作；若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示，并要求一些連續性條件，此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題。
表示論在自然科學中也有應用。對稱性的問題離不開群，而群的研究又有賴于其表示，最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色。“表示”的概念后來也得到進一步的推廣，例如范疇的表示。
引言
在20世紀后半葉，群論的主要工作與群表示論(representationtheory)有關．它起源于19世紀在不變量和共變量方面的積累．粗略地說，不變量是平凡表示，共變量就是某個非平凡表示的元素．這些概念的意義是如果我們希望用坐標的形式寫出等式和關系，那么我們期望坐標改變時等式描述的幾何特征或機構沒有變化．實現此目標的最簡單方法是確認表達式是不變量之間的等式，但是我們也能使用共變量之間的關系，條件是所比較的共變量是相應于同一表示的．只要想研究某種新對象，或許是直線、橢球或者慣性矩陣，就要問在坐標變換下新對象是怎樣變化的，以及這個對象是屬于什么表示的。
應用
表示論將一代數對象表作較具體的矩陣，并使得原結構中的操作對應到矩陣運算，如矩陣的合成、加法等等。此法可施于群、結合代數及李代數等多種代數結構；其中肇源縣最早，用途也最廣的是群表示論。
假設 V 有限維，則上述同態即是將 G 的元素映成可逆矩陣，并使得群運算對應到矩陣乘法。
表示論的妙用在于能將抽象的代數問題轉為線性代數的操作；若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示，并要求一些連續性條件，此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題。
表示論在自然科學中也有應用。對稱性的問題離不開群，而群的研究又有賴于其表示，最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色。“表示”的概念后來也得到進一步的推廣，例如范疇的表示。
參考資料 >