中位數(shù)（Median），又稱中值。指一組觀察值，按大小順序排列，位置居中的變量值 （n為奇數(shù)）或位置居中的兩個變量值的均數(shù)（n為偶數(shù)）。中位數(shù)是一個位次上的平均指標。
中位數(shù)概念最早出現(xiàn)在六世紀的《塔木德》，但未廣泛流傳。此后中位數(shù)在部分著述中被提及，但都沒有明確算法及應(yīng)用，且并未得到普及。直到1774年，法國數(shù)學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)明確建議使用中位數(shù)作為后驗概率密度函數(shù)(PDF)值的標準估計量，以最小化預(yù)期誤差。1843年，法國數(shù)學家安東尼·庫爾諾（Antoine Augustin Cournot）首次使用中位數(shù)(valeur médiane) 一詞來表示將概率分布分成相等的兩半的值。
在一組觀測值的數(shù)據(jù)中，大于的個數(shù)和小于的個數(shù)相等；此外，當與某一定值的離差的絕對值（也稱絕對離差）之和，以=時為最小。中位數(shù)表明總體中標志值小于中位數(shù)的單位數(shù)和大于中位數(shù)的單位數(shù)是相等的。用中位數(shù)來代表總體的一般水平可以避免受總體中極端標志值的影響，有時更具有代表性。
中位數(shù)可以應(yīng)用于任何定量資料，通常用于不適合用幾何平均值和調(diào)和平均值的偏度資料中，尤其適用于包含不完全信息的資料中。其具體可以應(yīng)用在生活、醫(yī)學及計算機等領(lǐng)域，如臨床上隨訪資料經(jīng)常包含一些中途失訪患者的某些數(shù)據(jù)；在生活中，中位數(shù)能夠反映考試分數(shù)集中趨勢的量。
定義
將總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數(shù)：。此外，也有一些人將變量x的中位數(shù)表示為med（x）、x?、為μ 1/2或M。當發(fā)生這種使用這些或其他中位數(shù)符號，都需要在使用時明確定義。
嚴格來說，中位數(shù)就是把所有數(shù)據(jù)按照一定的順序（通常情況下按數(shù)值大小）進行排列，處于排序后數(shù)據(jù)最中間位置所對應(yīng)的那個數(shù)值。如果數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)，中位數(shù)就是處在正中心的數(shù)值；如果數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)，中位數(shù)就是處在正中心位置左右兩項數(shù)據(jù)的平均數(shù)。中位數(shù)可用來說明社會經(jīng)濟現(xiàn)象各單位數(shù)量標志值的一般水平。
將研究的數(shù)列項數(shù)（無論是奇數(shù)或偶數(shù)）加1除以2，即可求得中位數(shù)的位置，從而可找出中位數(shù)。設(shè)未分組的統(tǒng)計數(shù)列資料為（已按大小排序）。
當數(shù)列項數(shù)為奇數(shù)時，則第項的標志值為中位數(shù)；當數(shù)列項數(shù)為偶數(shù)時，則以與這兩個標志值的和的簡單平均數(shù)為中位數(shù)。即：
由此，中位數(shù)的確定可表述為
簡史
在古代近東地區(qū)，科學家們并未普遍采用匯總統(tǒng)計數(shù)據(jù)，而是傾向于選擇能夠綜合多種現(xiàn)象并提供廣泛一致性的單一值。統(tǒng)計學中的平均值等概念主要是在中世紀和近代早期形成的。中位數(shù)這一概念最早見于公元六世紀的《塔木德》中，目的是用于公平地對不同的評價進行分析，但這一概念并未在科學界廣泛流傳。
與現(xiàn)代中位數(shù)最接近的祖先是中程數(shù)(mid-range)，由Al-Biruni提出?，他用這一方法來分析貨幣金屬，盡管其傳播情況不詳。在他的理論提出后，大多數(shù)分析者仍然傾向于使用對他們不利的數(shù)據(jù)值，以免被認為作弊。?直到大航海時代，隨著船舶數(shù)量的增加，導(dǎo)航員需要在惡劣天氣中確定緯度，這促使人們對匯總統(tǒng)計方法重新產(chǎn)生興趣，如哈里奧特在《Instructions for Raleigh's Voyage to Guiana, 1595》中推薦了中程數(shù)。
而中位數(shù)的概念最早可能在英國數(shù)學家愛德華·賴特(Edward Wright)于1599年出版的《Certaine Errors in Navigation》一書中提出，他在討論羅盤導(dǎo)航時提到了中位數(shù)。賴特傾向于保留所有測量值，并認為中位數(shù)更有可能正確，但他沒有提供具體的應(yīng)用示例，因此很難驗證他是否描述了現(xiàn)代中位數(shù)概念。中位數(shù)在概率背景下也出現(xiàn)在荷蘭數(shù)學家克里斯蒂安·惠更斯(ChristiaanHuygens)的信件中，盡管它被視為不適合精算實踐的統(tǒng)計例子。
1757年，意大利數(shù)學家波斯科維奇(Roger Joseph Boscovich)開發(fā)了一種基于L 1范數(shù)的回歸方法，隱含地表達了基于中位數(shù)所推出。1774年，法國數(shù)學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)明確建議使用中位數(shù)作為后驗概率密度函數(shù)(PDF)值的標準估計量，以最小化預(yù)期誤差。為此，拉普拉斯在1800年代初確定了樣本均值和樣本中位數(shù)的分布。十年后，德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯(Guass，C.F,)和法國數(shù)學家阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德(Adrien-Marie Legendre)開發(fā)出最小二乘法，因其計算簡便而取代了拉普拉斯的方法。
1843 年， 安東尼·庫爾諾(Antoine Augustin Cournot)是第一個使用中位數(shù)(valeur médiane) 一詞來表示將概率分布分成相等的兩半的值的人。德國物理學家古斯塔夫·費希納(Gustav Theodor Fechner)在社會學和心理現(xiàn)象中使用了中位數(shù)(Central werth)。它早些時候僅用于天文學和相關(guān)領(lǐng)域。古斯塔夫·費希納 (Gustav Fechner)將中位數(shù)推廣到正式的數(shù)據(jù)分析中。且中位數(shù)出現(xiàn)在F. Y. 埃奇沃斯(F. Y. Edgeworth)的書中。之后，弗朗西斯·高爾頓 (Francis Galton)在1869年使用了“中最值”(middle-most value)，接著在1880年使用了“中值”(media)，之后在1881年正式使用了英語術(shù)語中位數(shù)：median。
整個19世紀，統(tǒng)計學家大力鼓勵使用中位數(shù)，因為它直觀清晰。然而，中位數(shù)的概念并不像算術(shù)平均值那樣適用于高矩理論，而且更難計算。20世紀，中位數(shù)作為平均數(shù)的概念逐漸被算術(shù)平均數(shù)所取代。
相關(guān)概念
眾數(shù)
眾數(shù)，是指變量數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的變量值。用它來作為該變量數(shù)列的代表值，反映變量分布的集中趨勢。眾數(shù)的次數(shù)越多，集中趨勢越顯著。反之，若眾數(shù)的次數(shù)較少，眾數(shù)的代表性就較差。因此，只有集中趨勢顯著時，才能用眾數(shù)作為總體的代表值。
平均數(shù)
平均數(shù)指同質(zhì)總體某一標志值在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平，是總體的代表值。是用來度量統(tǒng)計頻率分布集中趨勢的指標。在次數(shù)分布中，多數(shù)變量聚集于平均數(shù)的周圍因而平均數(shù)總是處在頻率分布集中的位置或附近、反映事物的集中趨勢。
方差
方差是用來描述隨機變量取值的分散程度或波動大小的特征數(shù)：方差越小，說明隨機變量的取值越集中(集中于均值附近)；方差越大，說明隨機變量的取值越分散。標準差是方差的算術(shù)平方根，其功能與方差相似，差別在于量綱上。由于標準差與隨機變量本身和其期望有相同的量綱，所以在應(yīng)用中常用標準差，但標準差的計算必須通過方差獲得。說明：隨機變量的數(shù)學期望存在，其方差不一定存在；但當方差存在時，由于總是成立，因此其數(shù)學期望一定存在。大多時候使用此公式：。
概率分布中位數(shù)
對于任何具有累積分布函數(shù)的實值概率分布，中位數(shù)被定義為滿足以下不等式的任何實數(shù)：，
，并且，這個定義并不要求具有絕對連續(xù)分布以及離散分布。
實數(shù)集上的任意概率分布至少有一個中位數(shù)，但在特殊情況下，可能存在多個中位數(shù)。例如當分布在某個區(qū)間上恒等為 1/2（概率分布在該區(qū)間內(nèi)為0），則該區(qū)間的任何值都是中位數(shù)。
樣本中位數(shù)
樣本按大小次序排列后處于中間位置上的統(tǒng)計量稱為樣本中位數(shù)，常用表示。
設(shè)是來自某總體的一個樣本，其次序統(tǒng)計量記為
則。
多元中位數(shù)
邊際中位數(shù)
邊際中位數(shù)是為在一組特定坐標系下定義的向量而設(shè)定的概念，它指的是一個向量，其每個分量均為對應(yīng)的單變量數(shù)據(jù)集的中位數(shù)值。
幾何中位數(shù)
在幾何學領(lǐng)域，對于位于三維空間內(nèi)的一系列離散樣本點，幾何中位數(shù)被定義為一個特殊位置的點，該點的能夠使其自身到這些樣本點的累積距離達到最小。
幾何中位數(shù)的定義為：
幾何中位數(shù)不僅在一維數(shù)據(jù)中通過最小化各點間距離的總和來體現(xiàn)其集中趨勢，在多維空間中同樣適用。幾何中位數(shù)有時也被稱作1-中位數(shù)、空間中位數(shù)、歐幾里得最小點或托里拆利點。此外，幾何中位數(shù)對于歐幾里得相似變換（例如平移和旋轉(zhuǎn)）是等變的。
全方位中位數(shù)
當一個數(shù)據(jù)集在所有坐標系中的邊際中位數(shù)都匯聚于同一點時，這一點被稱作“全方位中位數(shù)”，這個概念與投票理論相關(guān)。對于離散分布而言，當全方位中位數(shù)出現(xiàn)時，它與幾何中位數(shù)能夠達成一致。
中心點
中心點是中位數(shù)對高維歐幾里德空間中數(shù)據(jù)的推廣。其概念為：在一個位于d維空間中的點集，該集合的中心點是一個點，通過該點的任何一個超平面都將點集劃分為兩個大致相等的部分，其中較小部分的點數(shù)至少占總點數(shù)的1/（d + 1）。與中位數(shù)一樣，中心點可以不是原始數(shù)據(jù)點集中的任何一個點。任何不含重復(fù)元素的非空點集都至少存在一個中心點。
中線
1940年，匈牙利數(shù)學家瓦爾德(Abraham Wald)提出了一種處理雙變量數(shù)據(jù)集的策略，即根據(jù)獨立變量x的中位數(shù)將數(shù)據(jù)分為兩部分——一部分包含值低于中位數(shù)的數(shù)據(jù)，另一部分包含值高于中位數(shù)的數(shù)據(jù)。他的方法包括分別計算這兩部分的因變量y和自變量x的平均值，并據(jù)此估算連接這兩點的直線斜率，隨后對這條直線進行調(diào)整，使其盡可能貼合數(shù)據(jù)集中的大部分點。
相關(guān)定律
詹森中位數(shù)不等式
詹森不等式指出，對于具有有限期望的隨機變量，以及對于任何凸函數(shù)，都有以下不等式成立：。這個不等式也可以推廣到中位數(shù)。
如果函數(shù)對于任何滿足以下條件：
而這是應(yīng)該閉區(qū)間（允許單點或空集的退化情況）。則稱任何凸函數(shù)是一個函數(shù)，但反之則不成立。如果是函數(shù)，則。
中值無偏估計量
對于一個確定的一維參數(shù)，估計量的分布中位數(shù)恰好等于的值，那么這個估計量就被稱為中值無偏估計量。也就是說估計值低估的次數(shù)與高估的次數(shù)一樣多。這種要求在大多數(shù)應(yīng)用中與均值無偏性同樣有效，并且具有在一對一變換下不變的性質(zhì)。
性質(zhì)
性質(zhì)一
在一組觀測值中，大于的個數(shù)和小于的個數(shù)相等。是累積頻率為0.50所對應(yīng)的的值，如下圖1。
這便是在觀測值沒有（或很少）重復(fù)的情形下中位數(shù)的性質(zhì)。
當觀測值中重復(fù)數(shù)值很多，這一性質(zhì)就不一定成立。如九名學生的成績是95，90，90，85，85，85，85，80，75。那么=85。大于的有3個，小于的有2個，個數(shù)不等。
性質(zhì)二
我們還常用到各與某一定值的離差的絕對值（也稱絕對離差）之和。表示為：
得出中位數(shù)有這樣的性質(zhì)：上述絕對離差和以=時為最小。
證明：一組數(shù)與某一定值的離差的絕對值之和
按分別討論，以時為最小。
設(shè)各按由小到大排列，而
將式分成兩項以脫去絕對值號，證明完畢。
計算
根據(jù)中位數(shù)的概念，確定中位數(shù)的要領(lǐng)是如何準確計算累計次數(shù)的中點。由于統(tǒng)計務(wù)實中所掌握的計算資料不通，計算中點的方法也有所不同。
第一種方法：由未分組的原始資料確定中位數(shù)的方法。要確定未分組資料的中間項，首先把不規(guī)則的原始資料按變量大小依次排列，以總次數(shù)除以2，求之。計算公式為：。
公式中：代表中位數(shù)所在的中間項次，代表總次數(shù)。如果總次數(shù)是奇數(shù)項，則居中間位置的標志值就是中位數(shù)。如果總次數(shù)是偶數(shù)項，則居中間位置的相鄰兩個變量值的算術(shù)平均數(shù)便是中位數(shù)。
第二種方法：由分組資料計算中位數(shù)的方法。在掌握分組資料時，中間位置的計算方法如下：
因為分組資料有次數(shù)分配，要以累計次數(shù)計算。累計次數(shù)，可以從變量值最低組開始，稱以下累計法，也可從最高組開始，稱以上累計法。用“以下累計”法確定中位數(shù)，亦稱下限法，用“以上累計”法確定中位數(shù)，亦稱上限法。根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，下限法與上限法所計算的結(jié)果應(yīng)該一致。但是，如果采用(n+1)/2確定中間位置項來求中位數(shù)，則下限法所計得的答案，不能與上限法的答案相等，這就違背了中位數(shù)是一固定中間位置值的數(shù)學性質(zhì)。故采用確定中間位置項，才能使這兩種方法的計算結(jié)果相同。
兩個計算公式如下：
下限法計算公式：
上限法計算公式：
上述公式式中：代表中位數(shù)所在組下限值；代表中位數(shù)所在組上限值；
代表中位數(shù)所在組前面各組的累計次數(shù)（以下累計）；
代表中位數(shù)所在組后面各組的累計次數(shù)（以上累計）；
代表中位數(shù)所在組的次數(shù)；
代表中位數(shù)所在組的組距。
推廣
分位數(shù)
分位數(shù)是中位數(shù)的推廣，將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，對于，它的分位點定義為
其中，[]表示的整數(shù)部分。
百分位數(shù)
百分位數(shù)的概念是中位數(shù)概念的推廣。
定義：一組個觀測值按數(shù)值大小排列如。
處于位置的值稱為第百分位數(shù)。
中位數(shù)是第 50 百分位數(shù)。
第百分位數(shù)就是一般順序中第位的數(shù) (如不是整數(shù)，取大于它的最小整數(shù))。
應(yīng)用
中位數(shù)的應(yīng)用一不受極端標志值的影響，二不受開口組的影響。可以應(yīng)用于任何定量資料，通常用于不適合用幾何平均值和調(diào)和平均值的偏度資料中，尤其適用于包含不完全信息的資料中。
醫(yī)學領(lǐng)域
中位數(shù)在醫(yī)學統(tǒng)計學中常用于描述偏態(tài)分布資料的集中位置，反映位次居中的觀察值的水平。特別是用于分布不清楚或變量值一端（或兩端）無確定數(shù)值。在醫(yī)學領(lǐng)域中還可以應(yīng)用在如臨床上隨訪資料經(jīng)常包含一些中途失訪患者的某些數(shù)據(jù)；有時因受儀器和試劑的靈敏度的限制，指標的含量過低時無法準確測，只知道一組數(shù)中有幾個數(shù)低于某數(shù)值。
中位數(shù)可創(chuàng)建篩查體制：國內(nèi)首個篩查中心結(jié)合歐洲的篩查質(zhì)控經(jīng)驗，提出建立以篩查指標中位數(shù)倍數(shù)值(multiple of median，)中位數(shù)（即）為核心的評價質(zhì)控體系，該評價體系是唐氏綜合征產(chǎn)前篩查質(zhì)量控制工作的一個重要而有效的辦法。利用某醫(yī)院的發(fā)病數(shù)據(jù)，可以建立中位數(shù)回歸模型，能夠預(yù)測嚴重急性呼吸綜合征發(fā)病病例。
生活領(lǐng)域
中位數(shù)反應(yīng)在生活領(lǐng)域，可以幫助工廠預(yù)估生產(chǎn)零件件數(shù)。中位數(shù)能夠反映考試分數(shù)集中趨勢的量，即反映考試分數(shù)整體水平的數(shù)值。中位數(shù)的計算不是由每個分數(shù)都參加運算求得，而是由中間位置相鄰的部分分數(shù)求故中位數(shù)一般不受兩極端分數(shù)的影響。當一組考試分數(shù)中出現(xiàn)特大或特小兩極端分數(shù)時，可用中位數(shù)代表整體水平。由于中位數(shù)僅利用了考試分數(shù)中相對位置的信息，故在充分利用考試分數(shù)整體的信息上，中位數(shù)不如平均分數(shù)。所以在一般情況下，中位數(shù)的集中代表性不如平均分數(shù)，中位數(shù)的應(yīng)用也不如平均分數(shù)廣泛。
計算機領(lǐng)域
中位數(shù)還可應(yīng)用于MATLAB函數(shù)中。在Matlab中，median()函數(shù)是計算數(shù)據(jù)的中位數(shù)的內(nèi)置函數(shù)，其使用格式為
。
參考資料 >
Edward Wright and His Work. Imago Mundi.2024-03-01
Statistical Median.MathWorld.2024-03-01
中位數(shù).術(shù)語在線.2024-03-01
How the Average Triumphed Over the Median.Priceonomics.2024-03-01
Talmud and Modern Economics.Jewish American and Israeli Issues.2024-03-01
Modern Economic Theory in the Talmud by Yisrael Aumann.Economics in the Talmud: A Glimpse.2024-03-01
The Development of the Concept of the Best Mean of a Set of Measurements from Antiquity to the Present Day (PDF) (Speech). .131st Annual Meeting of the American Statistical Association. Colorado State University..2024-03-01
The Life and Works of Luca Pacioli (1446/7–1517), Humanist Educator.Abacus.2024-03-01
encyclopediaofmath.org.Encyclopedia of Mathematics.2024-03-04
personal.psu.edu.PennState.2024-03-04
AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions.Internet Archive.2024-03-04